2026届高三数学二轮复习：提优点1 极化恒等式与等和线

提优点7极化恒等式与等和线

【知识拓展】

1.极化恒等式:ab=%(a+b)2-(。一田2]

4

(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角

线”平方差的;.

(2)模式:在平行四边形ABCD中,。是对角线交点,则：

①丽•前三(由F-I丽F)(平行四辿形模式)；

②而.而二|而2T前|2(三角形模式).

2.平面向量共线定理

己知平面内一组基向量瓦彳,而及任一向量赤,且而二/07+〃赤(Z〃£R),若2+〃=1,则A,B,P三点

共线;反之亦然.

3.平面向量等和线定理

平面内一组基底UX后及任一向量且赤之瓦5+〃旗(2,〃£R),若点P在直线AB上或在平行于

AB的直线上,且h震二需二霭,则2+〃的定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平

I。卜I1。见\UA\

行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.

(1)当等和线恰为直线AB时,

(2)当等和线在。点和直线之间时,2£(0,1);

(3)当直线AB在。点和等和线之间时,左£(1,+8)；

(4)当等和线过O点时，:0.

【类型突破】

类型一利用极化恒等式求向量的数量积

例1⑴(2023•全国乙卷)已知正方形的边长为2,E为的中点，则前•前二.

(2)(2025•宁波调研)在平面直角坐标系中,A(-12,0),8(0,6),点尸在圆O:f+尸=50上.若方•丽W20,

则点尸横坐标的取值范围是.

答案⑴3⑵[-5企,1]

解析⑴法一(公式法)在正方形ABCD中，E为A3的中点，且AB=2,

所以旧@二区力|二，5,

前与而的夹角为/DEC,

且cosZ£>EC=5+5-4=-,

2X55

所以正前二遍X«X1=3.

法二(基底法)在正方形48co中，石为的中点，且A8=2,

所以正前二(而+万？).(阖+而)

=(丽+赤)面-丽尸阮|2_|函2

=4-1=3.

法三(坐标法)以A为坐标原点，万，而的方向分别为轴的正方向,

建立如图所示的平面直角坐标系，则ZXO,2),E(1,0),C(2,2),

所以正二(1,2),前二(-1,2),

所以正•前二1X(-1)+2X2=3.

法四(极化恒等式)设。。的中点为F,

贝i|EF=BC=2,

由极化恒等式得前•ED=|EF|2--|CD|2=22-iX22=3.

44

(2)法一(坐标法)设P(x,y),

则PA=(-12~x,-y),

PB=(-x,6-y),由同•丽W20,

得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)W20,

即(入T6)?+(y3><65,

所以点P为圆(x+6)2+(.y-3)2・65上或其内部一点，

又点P在圆Ar+^=50上，

碎号售俨2+y2=50,

,八工寸(x+6)2+(y—3)2=65,

解得曰或｛j=W

y=7,(y=-5,

即P为圆炉+户5()的劣弧MN上的一点(如图所示虚线部分).

易知-

法二（极化恒等式）设AB的中点为E,则七（-6,3）,

由极化恒等式知刀♦而二朋2二而2二而2一45w20,即而2w65,

4

所以点。在以E为圆心，以候为半径的圆上或其内部，

即圆£。+6）2+（厂3）2=65.

联立圆O：j~+y2=50与圆七:（x+6/+（厂3户=65得,y-l或户-5,）=-5.

易求得圆。与工轴的交点为（-5加,0）,（5企,0）,所以点P横坐标的取值范围是[-5企,1].

规律方法在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤

⑴取第三边的中点,连接向量的起点与终点；

（2）利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

（3）利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.如需进一步求数量积

的范围，可以用点到直线的距离最小,或用三角形两边之和大于第三边,或用基木不等式等求得中线

长的最值（范围）.

注:对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点（终点）的向量，再利用极叱恒等式.

训练1（1）（2025・武汉质检）已知△A3C是边长为4的等边三角形，尸为△ABC所在平面为一点，则

甫.（而+玩）的最小值为.

（2）（2025.重庆诊断汝【I图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且04=3,OC=5.若希.荷二-7,则

BC-'DC=.

答案⑴-6（2）9

解析（1）如图，取BC中点/）,

BD

连接A。,PD.

可知AD=2V3,由平行四边形法则知而+近=2万,

则港•（而+玩）=2同•丽.

在△P4Q中，取A。的中点E,连接PE,

贝AE二百，由极化恒等式得，

2前方=2(超一族2)=2(而2-3).

因为P为△A8C所在平面内一点，

所以当点P与点E重合时，即PE=O时，有最小值，最小值为-6.

(2)法一由极化恒等式可得而'•而百不一半二一7,解得|丽|=8,

4

故由极化恒等式可得丽•比二反2一字二9.

4

法二在平面四边形ABCO中，。为B。的中点，且04=3,。。=5,

・,・前十赤一0.

福而二-7,

则而而二(而+砺)•(与+两

—■一.——・・・♦・・・・・•♦....................•...........♦・“3・・♦

=A0z+A00D+A00B+0B0D

=AO2-OA\OD+OB)-OB2

=32-0B2=-7,

：.OB2=\6,

：.\0B\=\0D\=4,

・・・BCDC=(B0+0Cy(D0+0C)

=~BdDd+~Bd0C+Dd0C+0C2

=-BO2+OC-[-(OB+OD)]+OC2

=-42+0+52=9.

类型二利用等和线求基底系数和的值

例2⑴如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段A0的中点.若

BE=ABA+/.IBD(X,//£R),则2+〃=()

321

A.lB.-C.-D.-

432

(2)设D,E分别是△43C的边AB,3C上的点,AD=^AB,8E=|BC.若历二九荏+为前(九,及为实数),则

X1+A2的值为.

答案(1)B(2)1

解析(1)法一YE为线段40的中点，

：.~BE=^BA+B0)=^(JA+回)

=1BA^BD=XBA^iBDt

.*.A=p//=j,则

法二（等和线法）

如图,A。为以瓦彳,而为基底值是1的等和线，过E作4。的平行线,

设4+厘,

则喘

由图易知黑三，故选B.

出刊4

(2)法一由题意作图如图.

・・,在中，正而+群呼+|近

=^AB^(AC-AB)

二一2力B+±AC=九力B+%4C,

63

•*-Ai=-p，2乏•故为+%2="

632

法二(利用等和线)

如图,过点A作而二方,连接DF.

设A尸与BC的延长线交于点H,

如图,B”为以荏，而为基底值是1的等和线,

设为+22二匕则％='

\AH\

由图易知,.因此九十%2二).

\AH\22

规律方法利用等和线求基底系数和的步骤

(1)确定值为1的等和线；

(2)平移该线，作出满足条件的等利线；

⑶从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.

训练2在△ABC中,M为边8c上任意一点,N为AM的中点,AN=)JB+fiAC,则的值为()

A.-B.iC.-D.1

234

答案A

解析法一设前女前，

贝I」前W府字通+丽尸海+(就WAB+^AC-AS)

=o《混

・・・/=;一1,"=a・\4+"二右

法二(等和线法)如图，BC为以说，而为基底值是1的等和线，过N作BC的平行线，设2+〃二%,

则

\AM\

由图易知，SH故选A.

【精准强化练】

一、单选题

I.设向量》满足|a+》|=\/TS,|。-勿二遥,贝I」ab=()

A.lB.2C.3D.4

答案A

解析由极化恒等式得a-b=^[(a^-b)2-(a~b)2]=^(\a+b\2-\a-b\1)=^X(10-6)=1.

2.如图,在四边形MNPQ中，若丽二丽,|丽|=6,|而|=10,丽・丽二一28,则称•丽二()

答案C

角翠析由丽•丽二丽2_而产

=36-丽2=-28,

解得0瓦2=64,所以的2=64,

所以丽丽网•两二而2—而2=1009=36.

3.在平行四边形ABCD中,AC与3。相交于点O,点E是线段O。的中点,A七的延长线与CD交于

点F,若力d=a,B4且4日则%+〃=()

答案A

解析（等和线法）如图，作而二而，延长C。与AG相交于G,

因为CF,G三点共线，所以/l+/rL故选A.

4.（2025・泉州质检）已知半径为2的圆。上有三点A,B,C,满足够+四+五?=0,点P是圆内一点，则

西•丽+丽.玩的取值范围是（）

A.[-4,14)B.(-4,14]

C.[-4,4)D.(-4,4]

答案A

角星析由52+祠+公=0^AB+AC=AO,

在平行四边形48OC中，OB=OCf故易知平行四边形A8OC是菱形，且8c=2遮.

设菱形AZJOC对角线的交点为E,

由极化恒等式得港•丽二而2二AO2=PE2-\,

4

~PBPC=PEz--BCz=PEz-3

4f

所以万标+而同二2而2-4.

因为尸是圆内一点，所以0W屉|<3,

所以-4忘2屋2—4<14,

即-4〈西・丽+丽・玩<14.故选A.

5.（2025•沧州模拟）如图，△8CO与△A8C的面积之比为2,点P是区域A8ZX?内（含边界）任意一点,

且万与荏+〃前（九〃仁R）,则2+4的取值范围是（）

D

AJO,11B.[0,2]C.fO,3]D.[0,4]

答案C

解析过点尸作GH//BC,分别交4cA8的延长线于点G,H,过点。作。夕〃G凡分别交4cA8

的延长线于点C；B；则而=乂花+），丽，且x+y=l.

当点P位于点。处时,G,，分别位于。',方处，

与△48C的面积之比为2,

.•・AC'=3AC,A6'=3A6,

此时正二言,AH=A^,

：.AP=xAG+y^AH=xACt+）^

=X'3AC+y-3AB="4C+AAB,

//=3x,A=3y,即A+"=3x+3产3.

当点P位于点4处时，显然有/l+〃=0,

的取值范围是[0,3].故选C.

6.A3为OC：（尸24（厂4）2=25的一条弦,|A阴=6,若点尸为。C上一动点，则可•而的取值范围是（）

A.[0,100]B.[-12,48]

C.[-9,64]D.[-8,72]

答案D

解析如图，取A8中点为。，

连接PQ.

：.PA+PB=2PQt

PA-PB=BA,

・•・港・丽W屈+丽）2-（同一丽）写（4西|2一函2）

又・・•丽|=6,理|小5-（J"

・・・黑.而=|而|2-9,

・・•点。为OC上一动点，

・・・|PQmax=5+|CQ|=9,

ipeimin=5-icei=i,

・・・PAPB的取值范围为[-8,72].

7.（2025・广州调研）如图，在边长为2的正六边形48co中，动圆。的半径为1,圆心。在线段

C。（含端点）上运动,P是圆。上及内部的动点.若向量方”荏+〃刀^刀,〃WR）,则〃的取值范围

是（）

E

/

AB

A.（l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

答案C

解析连接BF,过线段8C的中点Pi作8尸的平行线，交AB的延长线于点G,

分别X。,。为圆心，1为半径作圆，

过A8延长线上点”作平行于8尸的直线HPv且与圆。相切于点连接如图所示.

二■一

d

\£r__________।-________-__________

ABGH

设福刁〃而+〃而，

由等和线定理可知，〃+"二*二蜉二2,

ABAB

此时〃什〃取最小值，点P位于点Pl处；

同理，设丽T〃荏+〃而，

由等和线定理可知〃?+片黑=5,

AB

此时〃Z+〃取最大值，点P位于点尸2处.

综上可知，〃汁〃£[2,5].

二、多选题

8.在aABC中,A=30。,BC=2,则荏J?的值可能是（）

A.OB.2C.4D.13

答案BC

解析因为A=30o,BC=2所以三『4,

fsinA

则AABC外接圆的半径为2.

如图圻示，圆。的半径为2,BC是圆。的一条弦，点A在圆。的优弧式上,D是线段BC的中点，连

接。。并延长交圆。于点E.

因为止而+函AC=AD+DC=AD^DB,

所^AB-AC=AD2-~DB2=AD2-\.

因为点A在圆O的优弧gC上，

所以1<|而|三|屁|=2+百，

所以近•元的取值范围是（0,6+4百］.结合选项可得选BC.

9.阅读以卜材料,解决本题:我们知道①（。+5）2=层+2。仍十斤;②（。一5）2=。2-2。力+力2.由（1）一（^得（。+力尸一（。一

万片二加力OQ心=3产些,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与

4

的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形A8C。中，瓦A8,南•m=48,E

为BZ）中点，且前二2荏，则（）

A.AE=8B.XE=4

C.函而二24020

答案AC

解析因为了耳亚=48,5£>=8,

由极化恒等式得

荏.而-（而+而广（而一而产

4

;（2荏）2-前2—八/_B£>2

44

=/1£2-16=48,

所以AE=8,

又2AE=EC,

所以比—6,

由极化恒等式得

亍g而二（而+访）2-（而一丽）2

,4

(2函2—而2r\o2

=c/?2--=256-16=240.

44

三、填空题

10.给定两个长度为1的平面向量潦和砺,它们的夹角为§如图所示，点C在以O为圆心的弧加

上运动,若沆二而不），砺（x,yWR）,则x+y的最大值是.

答案2

解析（等和线法）如图所示，设工+广上则直线AB为以赤，而为基底;1的等和线，所有与直线AB

平行的直线中，切线离圆心。最远，即此时Z取得最大值，易知OELA8,

因为。A=l,ZAOB=^

所以。E。,则对捐=2,

即x+），的最大值为2.

11.（2025•长沙模拟）已知点C为扇形AOB的弧崩上任意一点,且NAOB=60。,若左=疝5+〃丽（尢〃

ER）：则2+"的取值范围是