2026届高三数学二轮复习：提优点4 衍生数列问题

提优点4衍生数列问题

【知识拓展】

衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列,

解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系,确定衍生数列的特征，以此来解决问题.

【类型突破】

类型一数列中的去项问题

例1(2025•苏州模拟)已知数列｛〃“｝的各项均为正数,3>小，记S〃为｛〃〃｝的前n项和.

⑴已知折20,数列摄｝是等差数列，证明:｛如｝是等差数列；

⑵若0=1,在⑴的条件下，将在数列｛侬｝中，但不在数列｛2刃中的项从小到大依次排列构成数列

｛儿｝，求数列｛仇｝的前20项和.

⑴证明因为数列糕｝是等差数列，且。2=2"

所以公差为&-&=山-1=弩电-11，首项为1=1，

。2。22d]2即

所以41名L1尸等，

所以2Sn=(n+l)an.

贝I当〃，2时，2S“=(〃+l)a“，2Sn-\=nan-\,

两式相减并化简得上22),

所以dx—xax-x^=—X—X—X-,

<ln-lan-2an-3ax兀-1n-21

所以3=〃，所以a=na\(n^2)

Qinf

又当〃=1时上式也符合，所以小二〃功，

贝I1-a>t=(n+1)a\-na\=a\t

所以数列他”｝是等差数列，得证.

ann

(2)解s=l,由⑴得an=n,ci2n=2n,2=2f

当数列｛瓦｝取前20项时，设在数列仅2〃｝中取X项，去掉属于数列｛2)｝的y项,

则有2匕其中“,为正整数，

则当产25,产5时，2X25=50£[25,26),不等式组成立；

当x=26,y=6时，2X26=52<64=2:不等式组不成立，

所以取425,产5.

设数列｛瓦｝的前20项和为720,

则不，尸〃2+。4+46+***+6750-(21+2Z+23+24+25)

=2+44-6+­••+50-(2,+22+23+24+25)

3至M31=65O-62=588,

21-2

所以数列｛6｝的前20项和是588.

易错提醒解答去项问题的易错之处是不能准确确定数列中去掉的项数,或求和时不会采取原数列

和减去去掉各项和的方法.

训练1已知正项数列｛跖1｝和｛瓦｝,S〃为数列｛〃〃｝的前n项和,且满足45“二。2+2〃〃,〃〃二210g2人“.

(1)求数列｛%｝和｛为｝的通项公式;

(2)将数列｛m｝中与数列｛d｝相同的项剔除后,按从小到大的顺序构成数列｛品｝,记数列｛c〃｝的前〃项

和为T〃,求力oo.

解⑴因为4s〃二嫌+2a〃，

所以，，22时，4S“-i—十2a“-i,

两式相减得4alt=a^-an-i+2alt-2an-1,

(an+alti)(a,-an-1-2)=0,

因为att>0,所以a,-a,i-\=2f

又4a\=al+2aitm>0,

所以ai=2,

所以〃产2+2(〃T尸2〃，

2〃=210g2篇bn=2n.

(2)根据(1)的结论，数列｛6｝的前8项依次为:2,4,8,16,32,64,128,256对应数列｛〃〃｝的第

1,2,4,8,16,32,64,128项，

故数列｛。?｝的前10()项为数列｛析｝的前107项,剔除数列｛5｝的前7项的数列.

所以71oo=(ai+a2+*,t+a\oi)-(b]+bi+…+Zr7)=i07x(；+2i4)_2(i-:)=[1302.

21-2

类型二数列中的公共项问题

2

例2(2025•成都诊断)已知数列｛〃〃｝的前n项和S〃满足3n-29n-2Sw=0.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)已知数列｛d｝的通项公式d=2",若由数列｛劣｝与｛仇｝的公共项按从小到大排列得到数列｛c.｝,求

数列｛C“的前〃项和T„.

解(1)因为3〃2-29〃-2s尸0,

所以Sn=z-n2-^n.

22

当〃=1^,t/|=1-y=-13；

当〃22时,an=Sn~Sn|=|/72-y/?-1(/?-1)2+^(/?-1)=3/7-16.

当n=1时满足an=3n-16,

故数列｛〃〃｝的通项公式为afl=3n-\6.

m

(2)设bni=any即2=3n-16,m,n^N*.

由历，尸2勺所以历“+1=2m+|=2・2〃三2(3〃-16)=6〃-32=3(2八一号)-16,

由2〃-弓61^*,可知如,+】阵｛a”｝,

即瓦向不是两个数列的公共项.

W+22Z,,

/?,„+2=2=2-2=4(3H-16)

=12/7-64=3(4/1-16)-16,

由4〃-16£N*,可知hm+2《｛〃”｝,

所以小1+2是两个数列的公共项，

因此，若Ck=bm=Clth

贝U以+1=匕加+2=44〃16,

所以管=置=詈斗且g

所以两数列的公共项所构成的新数列｛c“｝是以2为首项，以4为公比的等比数列，

所以数列｛金｝的前〃项和7；产与鲁二竺

1-43

规律方法两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数;两个等比

数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数;等差数列与等比数列的公共项

所构成的新数列,一般仍为等比数列.

训练2(2025・宜昌调研)己知等差数列｛如｝的前〃项和为Sn,满足55=6/7,。3=-2.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

(2)将数列｛〃〃｝与｛5-3〃｝的公共项从大到小排列得到数列｛儿｝,求数列｛仇｝的前〃项和为Tn.

解(1)记等差数列｛小｝的公差为“，

由题意知［S%+~d=%+6df

+2d=-2,

即解得"=2；

所以数列｛｝的通项公式为“尸4-2〃.

(2)数列｛〃〃｝的公差为-2,数列｛5-3〃｝的公差为-3,

所以数列｛仇｝的公差为-6,

又数列｛〃〃)和｛5-3〃｝的首项都为2,

所以数列｛仇｝是以2为首项6为公差的等差数列，

所以Tn=2n+^^-X(-6)=-3/i2+5n.

类型三数列中的并项问题

例3三知等比数列优〃｝为递增数列，其前n项和为S”,满足52=6,54=30.

⑴求他〃)的通项公式；

(2)记儿=2丁1,将数列｛〃〃｝与｛d｝中的项按从小到大的顺序依次排列,构成一个新数列｛c〃),求数列

｛◎｝的前50项和Tso.

解(1)设等比数列｛〃〃｝的公比为名

显然q>0且夕工1,

伴生吧=6,

由已知得卜鼠4)30得4=2(负值舍去)，

所以。尸2,所以。，尸山q”i=2〃.

(2)数列■“｝中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128,…，

又Z?4O=79,Z?5O=99,

所以依题意可知新数列｛金｝的前5()项中，数列｛〃“｝中的项只有前6项，数列｛d｝中的项有44项，

所以*=(2+4+8+16+32+64)+(1+3+5+7+…+87产-6)「*叽126+1936=2062.

1—22

易错提醒解决数列的并项问题的难点，也是易错之处，为确定两个数列中各有多少项作为新数列

的项,求解时可利用解不等式法或试探法.

训练3已知等比数列｛〃“｝的前〃项和为S”,公比夕>0,52=2672-2,53=04-2,数列｛九｝满足

2bn=btl-\+bn+\,J0L672=4Z?|,。3二88.

(1)求｛〃〃｝和｛儿｝的通项公式；

(2)将他，/和｛5｝中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列｛c〃),求数列｛c〃｝的前10()项和7100.

解⑴由52=2^2-2,53=6/4-2两式作差可得43=。4-2。2,即可二^^-2a2,

•「gWO,贝I」^2-^-2=0,V^>(),解得夕=2,

2s-2=4。1-2=。।+。2=3。।,

解得。尸2,・・・z=m/i=2〃.

2bn=bn-\+blt+lt

故数列｛d｝为等差数列，设该数列的公差为d,

由于。2=4加=4,可得。尸1,。3=加=8,

...^£8^1[,b.1+(〃T)d=〃.

⑵当〃W6时,m=2Y64,

当〃27时，〃〃=2"2128,

・•・数列｛◎｝的前100项中，｛〃〃｝有6项，｛5｝有94项,

力产苧+”#*91.

类型四数列中的插项问题

例4(2025・嘉兴调研)已知等比数列｛〃“｝的前n项和为S“,ZM=2S〃+3.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

(2)在数列｛〃〃｝的相邻项at与四+i(火WN)之间插入k个相同的数(-1)、使其与原数列构成新数列｛5”,

设7；为数列出〃｝的前〃项和,求740.

解(1)由a“+i=2S〃+3,

得“尸2s”1+3(〃22),

两式相减得4”+L4”=2(S〃-SN-I)(〃22),

即an¥1-an=2an(n>2),。〃+产3。〃(〃22),

得等比数列｛〃”｝的公比q=3,

又当/?=1时，42=2Si+3=2m+3=3〃i,

i

所以。1=3,所以an=y.

⑵数列｛儿)为:3,-1,32,1,1,33,-1,-1,-1,34……

以如下划分：3,卜1,32,|1,1,33,|-1,一1,一1,3匕|……

得项数X,t=1+2+3+4+,••+〃="(；+”,

当〃二8时共有项数X8=36,

当〃二9时共有项数X<;=45,

所以740=3+32+33+34+•,-+38+(-l)Xl+lX2+(-1)X3+••41X6+(-1)X7+1X4

汽苧+3-7+4=|(3J)=9840.

规律方法解决插项问题,首先要清楚插入数列的项数,新插入数列与原数列各项之间的关系,然后

利用分组或并项法求和.

训练4(2025・长沙模拟)已知等比数列｛〃〃｝的前n项和为S小且〃“+产2S+2(〃WN)

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

⑵在〃〃与斯+i之间插入n个数，使这〃+2个数组成一个公差为义的等差数列,在数列｛d〃｝中是否存

在不同的3项品,dk,4(其中机,k,〃成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项,若不存在,请

说明理由.

解(1)设等比数列｛〃〃｝的公比为“由题意知,

当n=]时,。同=2。|+2,①

当n=2时,。同2=2(。|+。同)+2,②

联立①②，解得a\=2,q=3,

所以数列｛m｝的通项公式为为=2X3"L

(2)由⑴知an=2X3叫%+1=2X3".

所以an+]=an+(n+2-1)dn,

an+]an_4x3”T

所以&=

71+1H+1

设数列｛4｝中存在3项dm,dk,C从其中m,%,〃成等差数列)成等比数列，则或=4”•小

即(端4x3m-14x3P-1

:------Xx/------

%m+1p+1

2m+p-2

即(若4x3

(m+l)(p+l)'

又因为外攵，〃成等差数列,

所以2k=m+p,所以伏+1)2=(〃z+1)[p+1),

化简得R=mp,所以k=m=p,与已知矛盾，

所以在数列｛4｝中不存在不同的3项4，办成等比数列.

【精准强化练】

1.(2025•青岛质检)记等差数列｛词的前〃项和为S”,已知55=15,«2=2,等比数列｛d｝满足

41+。3=82,2a4=83.

(1)求数歹(]｛%｝,｛5｝的通项公式;

2〃

(2)将数列｛4〃｝中与｛仇｝的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列｛如｝,求£Ci(neN*).

解⑴由题意可得竹=5%+三4=15

\a2=Qi+d=2,

解解I%=1，

骄F、d=1,

所以｛0〃｝的通项公式为a“=l+(〃T)X1=//,

因为岳=0+43=1+3=4,

63=244=2X4=8,

所以等比数列｛5｝的公比为行合92,

且Z?i=—=^=2,

q2

所以等比数列｛及｝的通项公式为为=〃“〃J2X2〃7=2〃，

n

所以数列｛。〃｝,｛仇｝的通项公式分别为an=ntbn=2.

2«

(2)将数列｛〃〃｝中与｛d｝的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列｛c〃｝,Wc尸C1+C2+…+。2心

J=1

｛c〃｝中前2〃项是由｛〃〃｝的前2〃+〃项去掉与｛5｝的前〃项相同的项构成的，

2〃

所以£Ci=C\+C2+…+C2n

/=1

=(2n+吗+2"+叽(2+22+・・包)

_(2"+?1)(1+24+叽2(1-2与

21-2

二3，+八)(1+2，1+/)+?(1~2，1)

4〃1+(2〃-3)2“。标+；-4.

2.(2025・贵阳调研)已知各项均为正数的数列