2026高考数学专项复习：直线圆锥曲线4题型结论6

012二次曲线相交问题

二次曲线一般包括圆锥曲线和圆，二次曲线与二次曲线的方程联立时，并不能保证二次曲线与二次

曲线的轨迹相切，具体见附件《一个椭圆最值问题构圆解法的反思.曹军》

例若双曲线系与圆没有公共点，则实数&的取值范围为----------

解8，一£)。6，+8)；画图易知，只须9r>1即可，

例试判断圆O：V+y2—©+2=0与抛物线c：V=7x有无交点，并说明道理.

错解两方程联立|：+旷―4丫2=()…①，消去可得12+3x+2=0…③，由于△>(),故两曲线

y2=lx…②

有两个不同的交点.

错因分析△>()只是两曲线有交点的必要条件，而非充分条件！因为方程③中的x有解，并不能保证

方程①和②中的)，也有解！设③的两根为不，上，由韦达定理可知：显然有这与方

xix2=23<°

程②中的“xNO”相矛盾，故这两个曲线没有交点！

例若抛物线)=/+/〃与椭圆、+),2=1有4个不同的交点，则〃?的取值范围是().

1717

A.m>—2B.m>C.—2<nz<—1D.----</?7<—1

88

解选D；联立两个方程得：2y~+y-2-m=0,则等价于/(y)=2)?+y-2-/〃在ye(-l,1)上有两

A>()

个不同实根，即<一7£(—1/)；当然，也可以参数分离令〃?=2产+'一2,画图分析即可.

/(1)>0

/(-1)>0

注为些资料书上，给出的方法是等价于/()，)=2V+y-2-阳在ye(小，+oo)上布两个不同实根，此

A>0

时则有：,也可以得到上述答案，估计有人会疑惑究竟哪种方法正确？

4

/(w)>0

实际上，这两种方法是一致的，因为在联立的时候有：三竺+丁=1,显然，只要)，£(〃?,+8),亦必

有)，因此，在处理二次曲线交点的问题时，一般选取不含参数的区间分析求解，理清笼这一点的

话，对于二次曲线的公共点问题的处理就很简单了.

例请讨论抛物线V=与圆F+/-2办+/-1=。的交点的个数.

法一利用二次函数根的分布，由于此题的根是以0为界，可以直接利用韦达定理分析

,1

%+々=2〃-5,

抛物线和圆的方程联立：2Y+(l-4a)x+2(/-l)=0,设此方程的两根为内、起，则，

2

xlx2=«-1

同时，A=17-8a,因此，讨论如下:

(I)当八<0,即〃〉没有交点:

17

(2)当△=(),即〃=一时,x=x,=—>0,故有2个交点;

88

(3)当△>(),即av□时,

艰据两个根中是否含有0：

8

(i)有一个根是玉=0,则a=±\：

①当口时，另一个根寸|>。，因此，有3个交点;

②当。=一1时，另一个根毛=-|<0,因此，有I个交点;

(ii)两个根中都不含有0,根据根的正负分布:

:C解得小今此时有4个交点;

①有两个正根，则，

②有两个负根，贝IJ解得av—1,此时没有交点;

xix2>0

③有一正一负根，则%与<。，解得此时有2交点;

综上所述，当。=-1时，有1个交点；当〃=□或时，有2个交点；当a=l时，有3个交点;

8

当时，有4个交点；当tZ>U■或4<-1时，没有交点.

88

法二利用参数方程+分参

圆f+y2_2奴+/一]=。的参数方程是•一(0”<2兀)，代入抛物线方程，并整理化简可得

[y=sin”

2

2COS<9+COS<9+«-2=0;此时原方程组的解的组数，可以转化为cos。的值对应的。的个数.

显然，可以分离常数，«=-2COS26>-COS<9+2,令/=COS0,则让[一1,1],a=-2r-t+2,作出函数

八/)=-2/一+2在/日-1,1]上的图象，然后平移直线_>，=[进行分析即可！

如图所示，函数/(，)=—2产—i+2的两个端点是A(T,1),即，一1),顶点是C(-弓)，平移直线y=〃,

分类讨论如下：

①当”=□时，J=cos6=-L又OK0V2人，故0有两个值，对应的交点也是两个；

84

②当々=1时，r(=-1,r2e(-l,l),故。有三个值，对应的交点也是三个；

类似分析，可得：③当。=-1时，1=1,有一个交点；④当1<〃<?时，有四个交点；⑤当—Ivavl

8

时，有两个交点；⑥当装或。<-1时，没有交点！

注法一和法二对比，显然，法二更加简单，因此，在解决此类问题时，参数方程结合参数分离更具

有优势，不过对于根的分布也要热练掌握.

法三利用数形结合法，从左向右平移圆*-。)2+),2=],如图所示，观察圆与抛物线),2=』％的交点

当一1<。<1时，相交，有2个交点；当。=1时，相切+相交，有3个交点；

当1<”口时，相交，有4个交点；当4=口时，相切，有2个交点；当?时，相离，没有交点.

888

显然，此法对于解答题来说并不严密，但是，我们可以借此更加直观的了解两条曲线间的位置关系以

及变化规律.

练习已知曲线G：/+生竺之及G：y=f+],讨论C|与C2的公共点的个数・

答案①当机>2或机vi-应时，没有公共点；②当机=1-夜时，有1个公共点；

2

③当〃?二』或1-也<〃?<1+及时，有2个公共点；④当〃?=1+及时，有3个公共点；

2

⑤当1+正<〃?<3时，有4个公共点.

2

例（1988全国卷理压轴）如图，直线/的方程为工=-卷，其中〃>0,椭圆的中心为O（2+^,0）,焦

点在x轴上，长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点为乂^,。）.问〃在哪个范围内取值时，椭圆

上有四个不同的点，它们中每一个点到点4的距离等于该点到直线/的距离.

解根据题意易知：等价于箱圆〕x.（2+4f

\2川+y2=l和抛物线）,2=2Px有四个交点.

7〃_4）工+式+2〃=0,则等价于该方程有两个不相等的正根，不妨

联立椭圆和抛物线的方程：r+（

4

△=（7〃_4）、4（『+2〃>0

设为X]、“2>0，故,X+々=一（7〃-4）>0.同时结合〃>0,最终可解得Ov”V』.

23

x（x2=?+2〃>（）

例（1985广东）在直角坐标系中，有椭圆I和抛物线1【，它们的参数方程分别为

3、

x=〃？+2cos。x=—+r

IJr（用是常数，夕是参数），H：2（，是参数），

IkEsin*[t疝

17

求证：当且仅当用e时，椭圆I和抛物线1【有交点.

L22]

法一从I和n中分别消去外/得：任答.+《=1、y=6（彳一5），

联立这两个方程得：

x2-2（/??-4）x+mr-16=0,

欲使得椭圆I和抛物线II有交点，等价于上述方程至少有一个不小于之的根，令

2

f(x)=-2(m-4)x+nr-16,利用根的分布可得:

①有一个不小于』的根，则/口

<0,解得一-<m<—；

A=4(/??-4)2-4(/n2-16)>0

②有两个不小于』的根,

m-4>—，无解.

2

综上所述，当且仅当me时，椭圆I和抛物线II有交点.

L22」

注也可以从反面考虑，同祥分成两种情况：

A=4（机-4）2-4（用2-16）＞0

①不存在实数根，则△＜（）:②两个根都小于士，则m-4＜-

00

法二将I的参数方程代入【I中：3如2夕=63+285。-口，整理得:

因此，欲使得椭圆I和抛物线II有交点，等价于求关于。的函数，〃的值域，易求得-1,-

22

例当实数皿、〃、〃满足何关系时，曲线。1：1+马=1（。＞人0）与曲线6：5=/+〃?有四个不同的

交点？

解联立两个曲线的方程：a2y2+b2y-b2（m+a2）=O,欲使得两个曲线有四个不同的交点，等价于该

方程在（-力,））上有两个不同实根，令/（y）=a2y2则

△=。4+4a~b2(m+a2)>0

2/

f(-b)>0

/0)>0

最终解得：当加2且b时，两个曲线有四个不同的交点.

二次函数根的分布规律一抓或三抓

例（2016浙江理）如图，设椭圆++＞，2=］（〃＞［）.

（I）求直线），=去+1被椭圆截得的线段长（用“、太表示）；

（2）若任意以点40,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

解⑴设直线被椭圆截得的线段为AP,A(O,1),PH，/)，直线丁=h+1与椭圆联立:

(1+<也2濡+2/"=0,可得：故|4H=VF7F|o-wl=V^.^&.

(2)法一参考答案的解法，利用了第(1)小问

假设圆与椭圆的公共点有4个，利用对称性，可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q,满足

|AP|=|A0|.

记直线AP、AQ的斜率分别为4、&,且占、&>(),k”.

由⑴知|AP|=2a*|gJR,|从。|=生典当，故2al正=2°2间丘石,整理可得：

1+〃"I；\+a~k;/\+a^krI\+crk；/

伏;-后)[1+&；+后+/(2_。2*砌=0,即]+&：+后+。2(2_7庶后二。，

即(3+1](3+[=1+。2(/-2),此式关于4、匕的方程有解的充要条件是：\+a2(a2-2)>\,解得

a〉近,乂。=£=包二1=故所求离心率的取值范围为0<eW也.

法二圆和椭圆存在公共点।因此，也可以联立圆和椭圆的方程，利用根的分布进行求解.

x+(y-lr=r

设以点4(0,1)为圆心的圆的半径为“厂>0),则<d,zz>(£72-1)/+2y+r2-1-6Z2=0,此

—+r=i

方程在(-1,1)上有两个不同的解的充要条件为：令/*)=(/-1)产+2)，+/-1-42,则

△=4-4(«2-l)(r-l-«2)>0

-1<——r—<1

2(a—l)

/(l)=(«2-l).l2+2xl+r2-l-fr>0

/(-I)=(a2-l).(-l)2+2x(-l)+r2-l-«2>0

a2>2

解得1,,因此，当/>2时，圆和椭圆有4个交点，进而，当1</«2时，圆

——+。~-1+2>/>4

a2-\

和椭圆至多有3个交点，由于e=£=近巨1-5，故所求离心率的取值范围为0yq.

法三假设圆和椭圆有4个公共点，则点之间存在着对称关系，因此，也可以从对称的角度分析.

有对称性可知，如果圆和椭圆至多有3个公共点，也就等价于椭圆上不能存在关于直线y=H+l对称

的两个点，因为，假设存在两个点关于直线），=依+1对称，结合对称性可知，此时椭圆上必定存在4个点

到点40,1）的距离相等，亦即此时圆和椭圆有4个公共点.

设P（%,y）、。（占，%）两点关于直线>=依+1对称，设点尸、。的中点为M（%,）b），利用点差法,

%+21

），nXZ±・2L±a.=2i二土.•生=_[,即％.生=_,，又％=日。+1,联立方程组,

可得

xx

宕+,2_]\~2百+々-x22x0a-2x0a-

可解得点用j"1，~^1，此时只需要点M不在椭圆内部即可，即"W"-+f—21，整理

（（1一才）攵\-a-）a~U-«/

得：a2-2<-^,故/一2工0,即苏42,由于。=£=业==/3X，故所求离心率的取值范围为

k2aa\

0<e<—.

2

注此题的第（2）小问，在表述上，实际上是有问题的，因为不可能出现至多3个公共点情况，要么至

多4个，要么至多2个.

例（2014天津文理）设椭圆汇+与=1（。>〃>0）的左、右焦点为耳、F2,右顶点为A,上顶点为反已

（Tb"

知朋=和用.

（1）求椭圆的离心率；

（2）（理）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段尸8为直径的圆经过点入，经过原点的直线/与该圆

相切.求直线的斜率.

（2）（文）设尸为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点居，经过点用的直线/与该圆

相切于点M,|加6|=2近,求椭圆的方程.

例（2014重庆文压4由、理）如图，设椭圆三十£=1（。>〃>0）的左、右焦点分别为£、6点D在椭

圆上，簿^=2拉，△。耳鸟的面积为日.

（I）求椭圆的标准方程；

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直

并分别过不同的焦点，求圆的半径.

答案（1）[+），2=1;（2）半.

例（2006湖南文理压轴）已知椭圆G：?+]■=1,抛物线G：（）'-〃7）2=2px（P>。），且CI、G的

公共弦AB过椭圆。的右焦点.

⑴当ABLi轴时，求〃7、〃的值，并判断抛物线G的焦点是否在直线A8上；

（2）（理）是否存在〃人〃的值，使抛物线C2的焦点恰在直线A8上？若存在，求出符合条件的〃?、〃的

值；若不存在，请说明理由.

（2）（文）若〃=&且抛物线G的焦点在直线AB上，求〃?的值及直线的方程.

3

例（1989全国卷文压柚）给定椭圆方程a+A=l（a>Z7>0）,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使

得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标.

解由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，因此，不妨设

交点为Ssine,acos6）,则面积S=4|加由0・〃8S。=2aZ?|sin26|,当且仅当|sin2。|=1,即20=：+%兀，即

。=二+如时，S有最大值26心，此时相应的四边形的顶点坐标分别为：f--1/?,--t/'）■»f———Z?,——>

422222I

X/\

同时，设此时的双曲线方程为二-二=1,贝h〃2+〃2=/一〃…①，同时，代入上面的顶点坐标，可

得：工-<=2…②，联立①@可解得4=/」（/_/）,故双曲线方程为一^————=|,

“〃-2；（/一从）；面_从）

恰好是等轴双曲线！

练习已知双曲线G与椭圆C：?+?=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面

积最大时，双曲线G的离心率为.

解夜；

例如图,正方形A8CO内接于椭圆*■+**=1(。>/2>0),且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ

的顶点M、N在椭圆上，顶点P、。在正方形的边A8上，且4、M都在第一象限.

(1)若正方形A8C。的边长为4,且与)，轴交于七、尸两点，正方形MNPQ的边长为2.

(i)求证：直线4M与△ABE的外接圆相切；(ii)求椭圆的标准方程.

(2)设椭圆的离心率为e,直线人M的斜率为k,求证：2e2—k是定值.

解⑴⑴依题意:42,2),E(0,-2),则AM=(2,-1),A£=(-2,-4),故AM・AE=O,

即/U/_LA£,由于八七是外接圆半径，因此，直线AM与△八4K的外接圆相切；

44,

示+m二1

"：=20,即椭圆的标准方程为二+21=1

(ii)将点A、历代入椭圆方程：•’?，解得

161,h2=5205

/7

⑵设正方形人BCD的边长为为，止方形MNPQ的边长为2/,则&s,s),M(s+2/"),代入椭圆方程

s~s~.Is-t

a2/($+3/),b~St-s

得；2

14ra~4t

y+Qb2s2(s+3/)

lS2

Xk=~=—,因此，2e-k=2f即V-攵是定值2.

s+2t-s2t

例(2012辽宁理)如图，椭圆Co：二+工=l(a>〃>(),。、)为常数)，动圆G：/+y2",b<ti<a,

ab

点A、4分别为Co的左、右顶点，G与C0相交于4、B、C、D四点.

(1)求直线A4,与直线AZB交点M的轨迹方程：

(2)设动圆G：f+V=%与C。相交于A、B'、C'、。'四点，其中力jva,乙乜.若矩形ABC。与

矩形483的面积相等,证明：片+片为定值.

解⑴设A(%,y),8(/,-y),又A(-%0),4(%0),

故直线A4,、A?8的方程分别为：y=—*—(%+〃)…①，v=——(x-fl)-*@

2222

2

由①X②可得：y=^L(x2_a2)=___健"_心，即为二一三=1,

x；-crx[-a~a~b~

因此，点M的轨迹方程为乂-*=1(XVF,)，V0).

⑵法一设4(占，为)，由矩形ABC。与矩形AFUD的面积相等可得：4|x,y,|=4|x2y2|,即为

/2\/2\

x-y~=x}y],即为1-4=xi•b'1一与，由于1尸，2，再工七，可解得：x；+x；=J,进而可得

、。)IaJ

y；+y；=〃，故[+g"+y：+考+¥=/+/,即1+g为定值心+6.

法二设£)(acosa,Z?sina),£>'(〃cos/7,〃sin/7),不妨取a、pw(0,]),

由矩形ABC£)与矩形4'夕CTX的面积相等可得：4^cosa«/?sina=4t/cos/?«/?sin/?,即为sin2a=sin24,

由于点D、。'不重合，即a予户，则必有加=冗-26，即。='-夕，故"°s；a=smj,因此，

2[sin'a=cos'0

R+片=a?cos?a+b2sin2a+a2cos2+b2sin2/3=a2+b2,即/；+片为定值a2+b2.

注对于第(1)小问中的轨迹范围限制"x<-a,y<0"，这个是有争议的，不能“如图”得到.

2

例(2012辽宁文)如图，动圆G：d+),2=/，与椭圆G：3~+y2=l相交于4、B、C、。四

点，点A、4分别为G的左，右顶点.

(I)当/为何值时，矩形A8CO的面枳取得最大值？并求出具最大面积；

(2)求直线A4,与直线&B交点M的轨迹方程.

解⑴法一设4%,%),则矩形4BC。的面积S=4、％|,又1吟+)群乐屈，叫不木

当且仅当孩=|切=4,即闻=乎、|%|=4时取等号，故5=4氐)，。|«6,尸二4+)，；=5.

因此，当/=逐时，矩形4BCO的面积取得最大值6.

法二设A(3cos8,sin。)，则矩形ABCD的面积S=4|3cos。・sinq=6卜也24W6,当且仅当

26专+版(AeZ),即。=：+g(kwZ)时取等号，此时cos2〃=sire=g,故『=9cos?O+sii?0=5.

因此，当/=6时，矩形A8CD的面积取得最大值6.

(2)由于4%，%)，8(%,-%),A(-3,0),4(3,0),

故直线A4,、4B的方程分别为：)，="4。+3)…①，尸二2^a-3)…②

毛+3'4―3

片I

2---------1，

由①X②可得：尸=#_,_9)=々一(x2-9),即为三一)，2=1,

9%-99

八

因此，点M的轨迹方程为^-y2=\(x<-3,y<0).

例(2012广东理)在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆。：*+£=1(”〃>0)的离心率6=小|,且

椭圆C上的点到0(0.2)的距离•的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上，是否存在点使得直线/：〃ix+〃.y=l与圆O：.P+y2=1相交于不同的两点A、

B,且△403的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△408的面积：若不存在，清说明理由.

解(1)一"=/一1=一_1,/=3从，椭圆方程为f+3),2=3吐

a'3

椭圆上的点P(x,y)到点Q的距离为d=尸f=J—2(y十1)2+6+3//(一〃<y<b),

2

①当一〃工一1,即〃之1时，dmax=xl6+3b=3,解得〃=1；②当_/?>_1,即〃<|时，

=>Jb2+4b+4=3,解得〃=1(舍)：因此，Z>=1>椭圆C的方程为鼻■+)3=1一

(2)在aAOB中，|0川=|。同=1,故S“Q8=^\OA\\OB\sinZAOB=^inZAOB<^,当且仅当N4OB=9()。

时，S△八。8取得最大值!，此时，点。到直线/的距离为4=/1，=',即"?？+〃2=2…①

2yjm2+n22

又点M(〃?，〃)在椭圆上，即m2+3/=3…②，联合①②可解得加=-,/=1,因此，存在点M(〃?，〃)

22

使得直线/与圆0相交于不同的两点A、B,且AAOB的面积最大值为1,此时点M的坐标为(当,,

2122

872WV6V2WV6V2

2，2)2J>[2，2

例(2011辽宁文理)如图，已知椭圆G的中心在原点O,长轴左、右端点M、N在.1轴上，椭圆C2

的短轴为MN,且G、Q的离心率都为e,直线/_LMN,/与Ci交于两点，与。2交于两点，这四点按纵坐

标从大到小依次为A、B、C、D.

⑴设e=；,求忸C|与|AQ|的比值;

(2)当e变化时，是否存在直线/,使得8O〃AN,并说明理由.

解根据题意，可设G：「+==l,C,：£+E=l,其中〃、以〃?>0,

ab~nra"

由于一4二一二=/一1,因此可解得：b=axl^7,m=-fJL=

a'in-VI-e2

设直线BC为x=/,则忸。|=28，1_£,|初=24故居^=\=1一6

⑴当T时,叫"T

(2)假设存在直线/,使得40〃AN,结合图形，易知此时必有-avfvO,

嚅徵符即言=1-解得,二色工2,故一丝工2<0,解得当”1.

-e"-e

因此，当也<e<l时，存在直线/，使得30ZMN：当0<e4交时，不存在直线/,使得30〃AN.

22

o13圆锥曲线vs线性规划

例(2014陕西理)在直角坐标系x0y中，已知点A(l,l),以2,3),C(3,2)，点p(x,)，)在△A4C三边

围成的区域(含边界)上

⑴若0A+P8+PC=0,求0同；

(2)设OP=rriAB+nAC(/n,〃eR),用小y表示in—n»并求m—n的最大值.

解(1)P是△A8C的重心，OP=j(OA+OB+OC)=(2,2),M=272；

JV—,7?+2〃

(2)OP=mAB+nAC=>，两式相减得：m-n=y-x4,y-x=t,如图，当直线y-x=，

y=2m+n

过点以2,3)时，，取得最大值1,故阳-〃的最大值为1.

yf

3

2

例(2015天津现)已知椭圆0+与=1(4>%>0)的左焦点为f(-c,0),离心率为正，点M在椭圆上

ab3

且位于第一象限，直线而被圆/+)，2=?截得的线段的长为c,|尸叫=誓.

(1)求直线的斜率；(2)求椭圆的方程；

(3)设动点P在椭圆上，若直线仪的斜率大于夜，求直线OP(。为原点)的斜率的取值范围.

匚＞0

分析前两问比较常规，对于第(3)问等价于：已知X、)，在的约束下，求上的取值范围,

x

画出图形，显然是线性规划的问题，然后数形结合求解即可；当然，也可以利用代数法求解.

解(1)由已知有£■=’,又由/=〃+。2,可得〃2=3。2,6=2〃，设直线/M的斜率为k(k>0),

a23

，解得人=4

则直线九M的方程为y=&(.r+c),由已知有

⑵由(I)得椭圆方程为三+2=1,直线尸加为了=2a+。，两个方程联立：3/+勿才-5。2=0,解

得l=-2°或1=C，因为点"在第一象限，可得点M

3

些，解得c=l,所以桶圆方程为工+《=1.

由忻M|=(c+c)2+

332

(3)法一代数法，难度较大

设点尸(.1,)，)，直线FP的斜率为3得/=上，即尸r(x+l)(xh-1),与椭圆联立：2/+3/(X+1)2=6,

又由已知，得/=卷:；〉&,解得一］<x<—l或一1<文<0.

设直线0P的斜率为〃7,得〃?=£,即），=如行工0），与椭圆联立：zzr=4--.

xx*3

①当x/-2,-1时，Wy=/（x+l）<0,因此〃7>0,于是〃?=J马一2,得〃?e曝，2g

12JVx-31-3J

=L3，得8，3）；

②当xc（T,O）时，Wy=f（x+l）>0,因此,"?<0,于是〃厂

综上所述，直线0P的斜率的取值范围是（TO,-竽）U（W学.

法二数形结合，转化为线性规划问题

y=y/2（x+l）（arz\

联立方程.J,解得点《（O,夜），P2-；，—，过点尸作垂直于X轴的直线交椭圆于点

T+T=，1

鸟［一1，一丝1、巴（一1，孚1，由于直线F尸的斜率大于3,

即夜，可得点P的取值范围，如

13）A3JJV十1

图，红色虚线部分所示，不包括端点：

,VV

P4

✓

✓/、、

/\

\/FO1'y：0）；

PXJy

当点尸位于曲线<6上时，％V攵阴=-邛,而12百

1一、印%<——；

72.2G

0nk

当点P位于曲线—上时,k0Pt<k0P<kOPi,<OP-

综•上所述，直线。户的斜率的取值范围是（-<时叫u侍金.

例（2009湖南文）己知椭圆C的中心在原点焦点在X轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的

四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线/与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN

的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线/的斜率的取值范围.

解⑴?⑵显然，实质是线性规划问题，因此，只需要把中点坐标，用含斜率的式子表

示出来，再结合约束条件求解范围即可.

易得尸(-4,0),显然直线1的斜率存在，因此,设宜线1的方程为y=小+4).设M(x,,y),N0,%)，

线段MN的中点为Ga。，%),直线1与椭圆联立：(1+2公)/+16攵2工+32犬-8=0,

x+x8公，/彳、4%

由△>()可得：—©>%=-----2=-------•%=k(x»+4)=----

22“21+2公加01+2〃

由于玉=土泠=一*了《0,故点G不可能在y轴的右边，又直线士81、£82方程分别为)，=-—2、

4k8A

<------

为二与+2l+2k2一l+2k*

)，=4+2，所以点G在正方形Q内(包括边界)的充要条件为：•,即V

%N[％-24k弘2

------>-------2

1+2公一1+2公

县立二，此时⑥也成立.

亦即解得一

22

综上所述，直线1斜率的取值范围是-也一'“一।

22

例(2008北京文)已知"fiC的顶点A、6在椭圆x2+3/=4上，C在直线/：y=x+2上，且〃/.

(1)当48边通过坐标原点。时，求AB的长及AABC的面积；

(2)当NA4C=90°,且斜边AC的长最大时，求A8所在直线的方程.

=14平几性质vs圆锥曲线

相似三角形

例(2014安徽理)如图，已知两条抛物线耳：叫=2取出>0)和与：\=2「2Mp2>0),过原点。的两

条直线4和〃，4与耳、马分别交于A、4两点，，2与弓、石2分别交于4、为两点.

(1)证明：44〃人名；

⑵过。作直线/(异于4、/?)与七、鸟分别交于G、G两点，记△A4G与△&&&的面积分别

为5与冬，求冬的值.

解（1）由可得交点坐标为（理,互］,设直线乙、/,的斜率分别为&、仁，可得交点

y=2pxIKk）

（2巧2pJ（2p22PJ（2/;（2PllJ2P22Pl

法一转化为向量平行；

2"2p,2Pl2Pl_.,11J___1_

4与==ZPl

豆一不，飞R[^~T;k1%)

4瓦=倍令华-华伍-屋-£|.故的之.所以.〃4%

法二利用平儿，转化为线段比例，相比较而言，此法更简洁!

由于幽=四=且，㈣=迎=上,幽二幽

所以A&〃&&.

|04|-%P11°闵4〃2|。4「。叫I

（2）由（I）知A俗〃&生，同理可得：