2025年高考数学二轮复习：圆锥曲线中的热点问题（讲义）

解密12圆锥曲线中的热点问题

。解密高考

核心考点读高考设问知考法命题解读

【2017新课标1文12］设A,B是椭圆。：工+上=1长轴的两个端

3m

点，若。上存在点〃满足NAMB=120"，则机的取值范围是()

1.圆锥曲线中的

【2017新课标1理10］已知尸为抛物线C：V=4x的焦点，过产

定点与定值、最值

作两条互相垂直的直线乙,4，直线4与C交于AB两点，直线6与C

圆锥曲线中与范围问题是高

的最值、范交于D,E两点，则|A3|十|。目的最小值为()考必考的问题之

围问题

【2014新课标1理20】已知点4(0,-2),椭圆七：二+二=1(〃＞。＞0)一，主要以解答题

crb"

形式考查，往往作

的离心率为立，产是椭圆E的右焦点，直线A/的斜率为2叵，

为试卷的压轴题

23

之一；

。为坐标原点.{I〉求E的方程；(II)设过点A的动直线/与E1相

2.以椭圆或抛物

交于产,。两点，当八。尸。的面积最大时，求/的直线方程.

线为背景，尤其是

2

【2018新课标1理19】设椭圆C：三+y=l的右焦点为尸，过E与条件或结论相

2

关存在性开放问

的直线/与C交于AB两点，点”的坐标为(2,0)(1)略；(2)设题，对考生的代数

。为坐标原点，证明：4OMA=4OMB.恒等变形能力、计

圆锥曲线中

【2020新课标I理20】已知A,4分别为椭圆E：，+)?=］伍＞1)的算能力有较高的

定值、定点

要求，并突出数学

问题

左、右顶点，G为E的上顶点，/彷=8.尸为直线x=6上的动点，

思想方法的考查.

PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为。.(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

x1y2

【2020新高考全国21】已知椭圆C：7+拄的离心率为

啦

2，且过点42,1）.（1）求C的方程；（2）点M,N在C上，且

AN,AD1MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得为定值.

【2017新课标1理20】已知椭圆。：£+与=1（。>方>0）,四

a~b-

点4（u）,2（01），P3一1年,巴",当]中恰有三点在椭圆

。上.（1）求。的方程；（2）设直线/不经过鸟点且与C相交于A5

两点，若gA与68的斜率的和为一1，证明：宜线/过定点.

[2016新课标1文20】在直角坐标系xOy中，直线/：y=中工0）交

）'轴于点M，交抛物线C：/=2px（p>0）于点P,M关于点P

\OH\

的对称点为N,连结ON并延长交C于点（I）求片廿；（II）

\0N\

圆锥曲线中

除〃以外，直线与C是否有其它公共点？说明理由.

的存在性问

【2015新课标2理20】己知椭圆。：9/+），2=〃?2（〃2>0）,直线

题

1不过原点0且不平行于坐标轴，/与。有两个交点4,3,线段A3

的中点为M.（I）证明：直线OM与/的斜率乘积为定值；（11）若

in

/过点（二,"2）,延长线段OM与C交于点P，四边形Q4PB能否

3

为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若不能，说明理由.

询后对点解密

核心考点一圆锥曲线中的最值、范围问题

1.圆锥曲线常考查的几何量

（1）直线方程：会用点斜式或斜截式设直线方程；

（2）线段长、面积：三角形、四边形的面枳中蕴含着线段长、点到直线的距离公式；

（3）斜率公式、共线点的坐标关系：由两点坐标会表示出时应的直线斜率，共线点的横坐标或纵坐标也满足

比例关系；

（4）平面图形的几何性质：平行四边形、菱形等图形中的几何性质,如垂百、平行、平分、中点关系：

(5)向量关系的转化：会把向量关系转化为对应点，如坐标关系.

2.圆锥曲线中的范围、最值问题：可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式,子或参数为函数值)，或者利

用式子的几何意义求解.

温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.

3【考法解密】

1.【2017新课标1文12]设A8是椭圆。：工+上二1长轴的两个端点，若。上存在点M满足

3m

AXMB=120〃，则机的取值范围是()

D.（0,回UN,+8）

【解析】解法一：设反厂是椭圆C短轴的两个端点，易知当点M是椭圆C短轴的端点时NAA仍最大，依

题意只需使44&3,120".

tan=—=~^=2tan600=x/3,解得W1,故0<〃?W1；

①当Ov〃7V3时，如图1,

2byjm

②当相>3时，如图2,tan=@=2^2tan60"=出，解得

、'2匹b73

综上可知，m的取值范围是(0,1].,[9,丘),故选A.

解法二：设区厂是椭圆C短轴的两个端点，易知当点“是椭圆C短轴的端点时加第最大，依题意只需

使乙4£3220°.

①当Ov〃zv3时，如图1,cos（E4,EB）〈cosl200=-g即以必

2

代人向量坐标，解得机K1,故0</心1；

EAEB,1

②当相>3时，如图2,即

网网-2

代人向量坐标,解得〃z29.综上m的取值范围是(0,1][9,2),故选A.

22/T

2.【2014新课标1理20】己知点A（0,—2）,椭圆£*•+表■=1（。＞〃〉0）的离心率为拳，E是椭圆E

的右焦点，直线A尸的斜率为拽，。为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的动直线/与E

3

相交于P,Q两点，当△。尸。的面积最大时，求/的直线方程.

【脩析】（I）设尸（c、,0），由条件知2=挛，得。=百，又£=正,

c3a2

所以。=2,b2=a2-c2=\,故E的方程三+V=1.

4-

（II）依题意当/J_x轴不合题意，故设直线1：），=6-2,设尸（百，y）,Q（w，），2）

2

将），=H一2代入二I），2=1,得（1+4左2）%2一16代+12=（）,

,,38k±2j4k2-3

当A=16(4%2—3)>0,即一时，苫,=

41+4公

・公

从而|尸。|=拒石归一引=4”2+lj4-32

,又点O到直线PQ的距离d=「，所以AOPQ的

1+4F〃2十1

面枳二4J4k2-3

4”Q=gd|PQ|，发54/2—3=，,则/>0,SlX0PQ=-^—=-^<l,

1+4公

'+4t+Z

Fj

当且仅当，=2,A=±X一等号成立，且满足△＞（）,

2

所以当AOPQ的面积最大时，/的方程为y二咚犬一2或＞=一，工一2.

却一【变式解密】

1.12017新课标1理10】已知产为抛物线C：），2=4x的焦点，过/作两条互相垂直的直线（J2，直线4

与。交于两点，直线［与。交于RE两点，则|A3|十|O目的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

【解析I】由已知（垂直于x轴是不符合题意，所以4的斜率存在设为勺，/2的斜率为左2,

由题意有4设A（X］，X）,802,丁2），。（%3，）’3），£（工4，”），

此时直线4方程为y=K（X—1）,

v〜=4、

取方程"’得犬1一2奸上一4x+6=0,

y=^(x-l)

.一2将一42#+4口加/日26+4

..Xj+=—=-p—»同理得x^+x4=——

由抛物线定义可知|AB\+1DE|=xi+x2+xi+x4+2p

2k；+42片+4,44人、、I16八,，

=—h—+—^—+4—7*<—r+822I—；~~-+8=16

hk；k；k；Vk；k；

当且仅当勺=一e=1（或T）时，取得等号.故选A；

|AP|.cosJ+|GF|=|AKj［几何关系）

【解析2】设A8倾斜角为。.作八匕垂直准线，AK2垂直x轴，易知|AKJ=|AF|（抛物线特性）

2P

・•・|AF|-cosO+P=|AF|,同理的二「,\BF\=——,：AAB\=,=^~,

111l-cos<9111+cose111-COS26>sin26>

|z?£|_2P_2P

又DE与"垂直，即小的倾斜第为5+6,I一扁五二[一£/万，而V=4.t,即尸一2.

olI11IC/I

4

.\\AB\+\DE\=2P[—+]==―,4

(sirr。cos'0)sin^^cos"0sin"^cos"0-sin22^

4

磊卬6,当且仅当。弋取等号，即刖+M最小值为6故选A；

【解析3】依题意如|用二』，M=二熹，由柯西不等式知:

吐四臼（高+熹＞2P.舄舞

=8尸=16当且仅当，W取等号,故选A；

【解析4】设直线的倾斜角为a,则|48|=々一,则|DE|=——2——=3-，所以

8saCOS2(6Z-|)sin-a

|^|+|P£|=^^+_^=4(_!_+_!_)

cosasin-acos~asina

1、/，.2、“csin2acos2a

=4(—1—)(cos-cr+sm~a)=4(2+---；—)24-(2+2)=16,故选A

cosacos'asin2a

2.已知椭圆的一个顶点为A（0,-I）,焦点在x轴上.若右焦点到直线工一），+26=（）的距离为3.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵设直线.），=丘+〃?（以0）与椭圆相交于不同的两点M,M当|4M=|AN|时，求机的取值范围.

【解析】（1）依题意可设椭圆方程为「+>2=13>1）,

则右焦点网后7，0）,由题设后者对a=3,

解得4=3.J所求椭圆的方程为[+）2=I.

（2）设。（灯，yP）,M（XM,）M，MX"，）W），P为弦MN的中点,

y=kx+m,

由"x2,得（3标+1）%2+6〃?h+3（〃尸-1）=0,

后+厂=1，

丁宜.线与椭圆相交，

••・/=(6,心产一4(3炉+1)X3(〃?2—])>0=阳2<3炉+].①

XM~\~XN3mk

XP=~2~=~WT\,从而）T=m=3炉+]

加+3炉+I

3mk

又・.・HM=|AM，.\AP±MN,

则一若沪=一£即2m=3必+1.②

把②代入①，得，於⑵〃，解得0v〃?v2；

由②得/=等二0,解得〃

综上，求得，〃的取值范围是弓，2）.

核心考点二圆锥曲线中定值、定点问题

圆锥曲线中的定点、定值问题：

（I）定点问题：在解析几何中，有些含有参数的宣线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这

类问题称为定点问题.

若得到了直线方程的点斜式：y-y0=k（x-x0）,则直线必过定点（如和）；若得到了直线方程的斜截式：1y=

kx+m,则直线必过定点(0,加).

(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面枳、比值等基本量和动点坐标或动直线中的

参变量无关，这类问题统称为定值问题.

右一【考法解密】

2

1.12018新课标1理19]设椭圆r：±+V=i的右焦点为尸，过户的直线/与C交于4,月两点，点M的

2

坐标为(2,0)(1)当/与x・轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：4OMA="MB.

【解析】(1)由已知得尸(1,0),1的方程为x=l.

由已知可得,点A的坐标为(1,乎)或(1,-亭).

所以AM的方程为)，=一变工+&或丁=立方一夜.

(2)当1与x轴重合时，ZOM4=ZOMB=0°.

当1与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以/LOMA=Z.OMB.

当1与x轴不重合也不垂直时，设1的方程为y=Z(x—l)(Zw()),4(X，)1),8(々,丁2)，

则百<拒,9<&,直线MA,MB的斜率之和为《也+火血=-^+T—.

-3攵(％+元,)+4攵

由弘二上5一%,%=入2一％得&心+L=----；——....床-----•

(%-2)(8-2)

x2

将y=A(x-l)代入丁+丁=i得Q二+])/一4女21+2/一2二0.

4公2k2-2

月I■以.x.+x=——■——，x.x=——;----

1~22/+1I223+1

……〜、”，必3-4J2Z3+8F+4Z八

贝(j2kxix?-3&+为)+4々=---------~j------------=0.

从而七A+勺仙=0,故MA,MB的倾斜角互补，所以NOM4=NOMB.

综上，ZOMA=ZOMB.

2

2.12020新课标I理20】已知人，月分别为椭圆E：5+>2=|3>[)的左、右顶点，G为E的上顶点，Ab

=8/为直线x=6上的动点，以与£的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求£的方程：

(2)证明：直线C。过定点.

【解析】(1)由题设得4一小0),8(小0),G(0,I).

则A&=3，1),彷=m，-1).

由疣•初=8,得/一1=8,

解得。=3或。=—3(舍去).

所以椭圆E的方程若+)2=1.

⑵设C(»,yi),D(X2,闻，P(6,/).

若审)，设直线CD的方程为x=my+n,

由题意可知一3<〃v3.

易知直线用的方程为产和+3)，所以》=和+3).

易知直线PB的方程为_y=^(A—3),所以3).

可得3y1(X2—3)=j2(.r1+3).@

小»，+右2(X2+3)(及-3)分

由于§+”=1，故”=------------------»②

由①②可得27yly2=—(、i+3)(4+3),

结合x=〃「+〃，

得(27+m2)yiy2+〃?(〃+3)(y।+”)+(〃+3)?=0.③

将工=〃少+〃代入］+)2=1,

得(而+9)尸+2m/iy+rr-9=0.

2mn〃2—9

所以)，|十>2=裾否yiy2=^9-

代入③式得(27+m2)(n2—9)—2/〃(〃+3)m〃+(n+3)2(z/r+9)=0,

解得〃=一3(舍去)或〃=|.

3

-

故直线C。的方程为2

即直线CO过定点G，0).

综上，直线CD过定点e，0)

3.【2020新高考全国21】已知椭圆C宗+忘=13>%>0)的离心率为虚，且过点4(2,1).

(1)求C的方程；

(2)点M,N在。上，且AM_LAMAD±MN,。为垂足.证明：存在定点。使得|QQ为定值.

【解析】⑴由题设得点+方=1,一升=；，

解得病=6,从=3.

所以。的方程为1+¥=1.

o3

(2)设M(xi，yi),N(X2，”).若直线MN与x轴不垂直,

设直线MN的方程为y=kx^m,

代入5+号='

得（1+23]+4回?工+2〃户一6=0.

4km2wr-6

于是汨+改=*的=]+2后•①

1+2~

由AMJ_4N,得隔・RV=0,

故(Xi—2)(X2—2)+tvi—1)(jf2—1)=0,

整理得(F+1)箝12+"力L*—2)(X|+X2)+Q〃-1)2+4=0.

力力—254.2•>>?

将①代入上式，可得(S+1)]+2-一伏加_&-2)]+242+(^―/+4=0,

整理得(2&+3加+1)(2女+加-1)=0.

因为42,1)不在直线MN上，

所以2&+6一1和,所以24+3〃?+I=0,好1.

所以直线MN的方程为丁=(1一分一；(七1).

所以直线过点醺一；).

若直线MN与上轴垂直，可得Mx，-yi).

由加碇=0,

得(斯一2)(为-2)+任一1)(一M一1)=0.

又菅+学=1,所以3才-8x1+4=0.

2

解得xi=2(舍去)，或为=’.

此时直线MN过点砥一；).

令。为AP的中点，即Q(去!)•

若。与P不重合，则由题设知4P是Ri5。尸的斜边,

1人历

故|DQ|=引入P|=不一.

若。与P重合，则|OQ=/AP|.

综上，存在点。住，，，使得|QQ为定值.

女二【变式预测】

22

1.已知椭圆C：5+方=1过点A(2,0),8(己1)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设户为第三象限内一点且在椭圆C上，直线以与)，轴交于点M,直线P3与工轴交于点M求证：四边

形ABMW的面积为定值.

【解析】(1)由题意知〃=2,8=1,所以椭圆方程为3+丁=1，

又C=d?—乒=小.所以椭圆离心率6=§=坐

(2)设P点坐标为(向,州)(x0V0,3V0),则"+4)0=4,

由8点坐标(0,1)得直线方程为：)，-1=七二。-0),

-M)

令p=0,得必=7^一，从而|AN=2—必=2+3\,

-1-yoyo—1

由A点坐标(2,0)得直线PA方程为)，一0=；£。-2),

令X=0,得加从而［8M|=1—加=1+看^,

所以S四边形ABMW=；|4ATI3M

_/2+-VoY1+2)'o)_君++4xoy0—4x°-8jo+4_2-()和一2AV)—仪+4_)

A>'o_1Axo~2)2(xoyo—xo_2}\)+2)炖和一的一2yo+2

即四边形ABNM的面积为定值2.

2.已知椭圆C：，+冬=13>〃>0)的离心率6=坐，且圆f+产=2过椭圆C的上、下顶点.

⑴求椭圆C的方程.

（2）若直线/的斜率为/且直线/交椭圆C于P，。两点，点尸关于原点的对称点为E,A（—2,1）是椭圆C

上的一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

【解析】（1）由圆/+），=2过椭圆。的上、下顶点，可得

又离心率6=坐，所以♦”了=坐,解得。=2，1

所以椭圆C的方程戒+9=1.

OZ

⑵由直线/的斜率为/可设直线/的方程为

ri

），=中+/,

由彳口2消去）'并整理得r+2a+2-一4=0.

Il+f=h

由题意知/=4尸一4（2产一4）>0,解得一2</<2且子。

设点Pg，V），。（及，”），由点户与点上关于原点对称，得七（一为，-yi）.

易知片+32=-23jqx2=21一4.

设直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kA。,

—V1—1V，-1

由4（一2,1）,得以£•+=Q=_；.]+2+:+2

（2—xi）（儿―1）—（2+12）（yi+1）

（2—JVJ）（2+也）,

TV1II

乂yi=^vi+।f,堤=>2+r，

于是有（2—川）（”-1）-（2+X2）（V+1）

=2（）n—y\）—（xi>2+x2》）+（xi—X2）­4

=(.V2-Xl)―

=-XiX2—t(Xt+x2)-4

=—(2/•—4)—/(—2r)—4=0.

因此心£+心（2=0.

于是直线力£与AQ的斜率之和为定值，此定值为0.

22

3.12017新课标I理20]已知椭圆C：二十5=l(a>b>0),四点6(1,1),6(0,1),八一1,今,

a-b-

P41，中恰有三点在椭圆。上.（1）求。的方程；（2）设直线/不经过鸟点且与C相交于AB两

点，若直线6A与直线68的斜率的和为-1,证明：直线/过定点.

【解析】（1）根据椭圆对称性，必过居、鸟,又巴横坐标为1，椭圆必不过4,所以过2,6,6三点,

\=1

将8（0,1）,11,争代入椭圆方程得：.记

3解得/=4,y=1,

1+工_

[crb2

，椭圆。的方程为：%）.

(2)①当斜率不存在时，设/：x=/〃,A(m,y,J,B(m,-yA),

心八十心〃=上盘+1^=二二T，得〃?=2,此时/过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.

rnmm

②当斜率存在时，设/：＞），=心+瓦力工1）,A（x,,.v,）,B（X2,.v,）,

联立八，整理得（1+4公）/+8%加+4^-4=0,

x*+4y-4=0、7

~~8kb4从一4

由I弓达定理得内+X,1+4?则

8妨2-8k-8妨2+8劭

1,__>1-1,>2-1/(41+力)一工2+%(32+〃)一凡_'I+4P_队(〃-1)

=4^44("1)伍-1)

I十4及2

又"I,=>b=-2k-\,止匕时A=-64k,

存在*使得△＞（）成立.・••直线/的方程为）公h-2k-1,当x=2时，y=-l,所以/过定点（2,-1）.

核心考点三圆锥曲线中的存在性问题

圆锥曲线中的存在性问题的解题步骤：

（1）先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）.

（2）解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在.

（3）下结论.

£〉【考法解密】

1.12016新课标1文20】在直角坐标系X。），中，直线/:），=，（“（））交），轴于点M,交抛物线

C：），2=2〃X（〃＞0）于点尸，M关于点尸的对称点为N,连结ON并延长交。于点少.

（I）求吗；（II）除“以外，直线〃〃与。是否有其它公共点？说明理由.

阿

【解析】（1）如图，由题意不妨设，>0,可知点M,P,N的坐标分别为M（0,/）,

IP

ny=—x2/

从而可得直线ON的方程为），二^x,联立方程《t,解得工=三一，y=2t.

'y2=2pxP

即点H的坐标为［―,2r1,从而由三角形相似可知用斗=^-=—=2.

IP）DM队I

（2『\t

（2）由于M（0"）,H\—,2ty可得直线MH的方程为），一/二亍工，

P

2ty-px-2f~=0_.

整理得2）-/»-2/=0,联立方程二,整理得y2-4）十4/=。，

y=2Px

则4=16/-16/=0,从而可知M7/和。只有一个公共点

2.【2015新课标2理20】已知椭圆C：9/+/>o）,直线/不过原点。且不平行于坐标釉，/与

C有两个交点A,8,线段的中点为M.（I）证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；（H）

若I过点（辛脸,延长线段。M与C交于点尸，四边形OAP3能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率,

若不能，说明理由.

【解析】（I）设直线/:y=Ax+〃（女工0力工0）,A（x，x）,B（x2,y2）,M（xM,yM）.

2222

将y=Ax+Z?代入9x+y=/z?得（F+9）x+2kbx+b-nr=0,故xM=***=——g—,

2k~-J-9

o/7vo

yM=kxM+b=——•于是直线OM的斜率向“二上必二-：，即自“山二一9・所以直线OM的斜率

r+9

与/的斜率的乘积为定值.

（II）四边形OAPB能为平行四边形.

Di

因为直线/过点（彳,〃2）,所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件是〃＞0,k*3.

9,,

9>,=-7x,俎2k-nf

由（I）得OW的方程为y=-3x.设点P的横坐标为今.由《k得=—5----，即

k△，9F+81

9x~+y~=nr,

Xp=*.将点（竺,〃7）的坐标代入直线/的方程得〃=历（3—幻,,mk(k—3、