2026高考数学复习培优练：双曲线定义与性质及其综合问题（培优讲义）原卷版

专题17双曲线定义与性质及其综合问题

目录

第一部分研♦考情精析弱定靶心高效备考

第二部分理•方法技巧梳理知识总结技巧与方法

第三部分攻•题型速解典例精析+变式巩固

【题型01】双曲线的定义和方程

【题型02】双曲线中的几何性质（光学性质）

【题型03】双曲线的焦点三角形

【题型04】双曲线的离心率

【题型05】点差法（中点弦公式）

【题型06】定义法求轨迹方程（双曲线）

【题型07】利用定义求距离和、差的最值

【题型08】双曲线的离心率范围

【题型09】双曲线中的面积问题

【题型10］双曲线中的向量问题

【题型11】双曲线中的斜率问题

【题型12］双曲线中的图形问题

【题型13】双曲线中的定点、定线问题

【题型14］双曲线中的数列问题

第四部分练•决胜冲刺精选好题+通关训练

NO.l

析•考情精析

双曲线是高考数学解析几何核心考点，题型覆盖选择、填空、解答题，整体解析结

合占20—28分。考向聚焦四大核心：一是定义应用，常结合焦点三角形求周长、轨迹方

程或线段最值；二是标准方程求解，以待定系数法为主，需判断焦点位置；三是几何性

考向聚焦

质，离心率为必考重点，结合。为"关系求解；四是综合应用，直线与双曲线联立是解答

题核心，常与韦达定理、弦长、面积、定点定值等结合，难度中等偏上。复习需强化定

义与性质基础，熟练运算技巧。

双曲线解题的关键能力，一是定义活用能力，能快速将双曲线定义转化线段关系，破

解焦点三角形、轨迹问题。二是代数运算能力，熟练联立直线与双曲线方程，结合韦达定

关键能力

理简化计算，攻克弦长、面积等综合题。三是性质迁移能力，掌握。力ce的关系，精准求

解离心率。四是数形结合能力，以形助数，快速定位最值、定点定值问题的突破口。

双曲线备考需立足基础，先吃透定义、标准方程及。、b,c、e的核心关系，熟练定义

法、待定系数法求轨迹方程。针对离心率、焦点三角形等高频考点，归纳解题模型，强化

训练。

备考策略

直线与双曲线综合题是难点，需熟练联立方程、活用韦达定理，掌握弦长、面积、定

点定值的解题套路，提升代数运算与数形结合能力。定期刷高考真题，总结易错点，规避

计算失误。

NO.2

双曲线选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应比四大模块总结，核心思路是数形结合+代数

运算，具体如下：

1、定义法

核心是活用双曲线的第一定义（||PEI-|P8||=2〃<2c）,常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长

最值。

2、待定系数法

求解双曲线标准方程的核心方法，分两步：

先判断焦点位置（x轴或》轴），设对应标准方程；

再结合已知条件（过定点、a,b、c关系、离心率等）列方程，解出。力。

若焦点位置不确定，可设统一方程2简化计算。

3、离心率求解法

离心率6=汨1吗；关键是建立4仇C的齐次关系式:

（1）几何法：结合焦点三角形、双曲线顶点、直线与双曲线位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导;

（2）代数法：由已知条件转化为£的方程，消去人（利用从=。2一。

a

4、焦点三角形解法

结合定义+余弦定理+面积公式：乙F\PF】=e

22

由定义得|lP£ITPEl|=2。，由余弦定理得|£鸟|=|PFtf+\PF21-2|叩HFalcos<9：

面积公式：S=；|/V"|〃E|sinG=c|%|=〃/tan3：

焦半径：I至l=|"+a|,\PF2l=\ex0-a\i

5、中点弦公式

（1）已知48是双曲线C：，+£=l（a>〃>0）上的两个点，M为重点，则如小=，・

（2）已知M,N是双曲线。：与+与=1（。>〃>0）（工工±〃）上的两动点，p是双曲线上异于M,N的

a~b~

b2

一点,若M,N两点关于原点对称<=>kPM-kpN滔­

6、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为。的直线交双曲线于AQ两点;

1^1=—,12^1=—匕下，若黑=4.>1），且”在线段PQ上时，则焦比公式：

a-c-cos0a+c•cos。IQ/I

”8S小黑;嚅…D，且匕在线段小卜时，则焦比公式一…小碧.

◊方法技巧02解答题的常用方法

直线与双曲线综合问题解法

核心步骤是联立方程+韦达定理，适用于弦长、面积、定点定值、最值问题:

设直线方程（斜率存在设丁=质+〃?，斜率不存在设1=.%）,与双曲线方程联立，消去x或？得一元二次

方程;

利用判别式确定参数范围，由韦达定理得％+/、用工2；

（I）弦长和面积：弦长公式|AB|=J（1+公）［（内+占了一4xR,或面积公式S=gx底x高求解：

（2）向量问题：利用点的坐标表示向量，包括直径所对的圆周角为直角进行向量数量积为零；

（3）斜率问题：利用点的坐标表示斜率，包括三点共线时利用斜率的差为零，角度相等时，角度的其中

边平行于、或）’时，将角度转化为倾斜角的关系，利用斜率的和，差，乘积为定值求解；

（4）图形问题：利用向量和斜率求解三角形的形状，包括：等腰，等边，直角，钝角三角形；平行四边形

对角线互相平分，利用中点坐标进行求解；矩形，菱形，正方形在平行四边形上进行垂直和长度的求解即

可.

（5）定点、定线问题：利用题目所给的翻译条件，构建等式，从而将直线丁=依+〃?中川々表示〃?即可证

明定点坐标；利用直线的交轨法，消参的方法，进行定直线的证明.

NO.3

攻•题型速解

◊题型01双曲线的定义和方程

典I例I精I南

典例1|.已知双曲线C：T-方=1,＞0酒＞0）的右焦点为尸，抛物线y2=3x与双曲线。的一条渐近线交于

点A.。为坐标原点，若AAOF为正三角形，则双曲线C的方程为（）

A.—-y2=lB.

3-3

国.已知双曲线。「磊=902）的左、右焦点分别为小匕加为双曲线的渐近线上的点,

满足丽•物=0,且|M/"二2|M入的面积为豆，则双曲线。的方程为（)

A.x

16

90

D.

C・察3664

混淆双曲线第一定义的条件，忽略为＜2c,误判轨迹。设方程时忽视焦点位置，漏设，加2-/*=1的

统一形式。计算中混淆。力1关系，记错-6，离心率公式误用。

变I式I巩I固

变式已知双曲线。的上，下焦点分别为点打,若C的实轴长为I,且。上点P满足尸居,

|尸用.|尸闾=4,则。的方程为（）

D.4v2--=1

2

变式可已知双曲线1-与-1（心0.〃/0）的左、右焦点分别为耳外，点（2,0）为双曲线右支上一点，以

----a~b'

坐标原点。为圆心，以|。制为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段。入中

垂线上，则该双曲线的标准方程为（）

22

变式可已知双曲线二-工=1（。>0/>0）的左右焦点分别为%尸2，过点6的直线/：X-8Y+25/5=0与

----a~lr

双由线的左右两支分别交于点A,B,且|4用=忸图，则该双曲线的方程为（）

◊题型02

典I例I精I析

典例已知双曲线C:；■-二=1（。>0⑦>0）的离心率为6，C的一条渐近线与圆*-2）2+（），-3）2=1交

----crh-

于A,B两点，则|AB|=（）

2x/5

"I"

3加

Lr・-----

5

典例2|.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光

线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线…）的左、右焦点分别为6A从鸟发

出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点。和。，且cosN84C=-|,/W_L3Q,则E的离心

率为（）

变式1|.设0为坐标原点，G，E是双曲线C:与-£=1（。>0,6>0）的左、右焦点，已知双曲线C的离心

率为G，过尸2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,则需=（）

A.76B.2

C.石D.亚

2

变式可在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过

双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另•个焦点上.如图，已知双曲线的离心率为2,

则当入射光线死尸和反射光线正互相垂直时（其中尸为入射点），cosNK^P的值为（）

非+1Rx/s—1r\fl+1ny/l—\

4444

◊题型廊第果湿黜日舞或

典।例।精।析

典例1|.设双曲线C：二-与=1（4>0力>0）的左、右焦点分别为不工，离心率为行.尸是。上一点，

--------a-b-

且MPJL吊尸.若的面积为4,则〃=（）

A.1B.2

C.4D.8

英型双曲线4福=1（°>0/>0）的左、右焦点分别为"，离心率为争点P在C上,二，

则4耳。工的外接圆与内切圆的半径之比为（）

A.2>/2-lB.1+2加

C.2+&D.2+2上

COSO

公式混淆：记混面积公式，误用S=，|P/"・|桃IsinM或记错简洁公式S斗，tang的形式，漏掉

或写错半角关系。

条件遗漏：计算时忽略双曲线定义||丹=与余弦定理的结合，无法由角度夕推导出

IPVHP玛I的值。

参数混用：将椭圆中〃=4二-C?与双曲线的〃=C?-/混淆，代入数值时出错，导致面积计算结果

偏差。

变式1|.已知百、F?为双曲线C：/一）,2=1的左、右焦点，点P在c上，ZF,PF2=6O°,则P至Ijx轴的距

离为（）

A,在RR

22

C.73D.瓜

变式力.设耳，鸟是双曲线=1的两个焦点,。为坐标原点，点P在C上且1。尸1=2,则APIE的

面积为（）

A.—B.3

2

C.-D.2

2

变式才设TK是双曲线C：二-盘=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，点2是双曲线C右支上一点，若APFR

----a~b~

的内切圆G的半径为〃（G为圆心）,且/丹2鸟=90。，则双曲线C的离心率为（）

A.＞/3+1B.6±1

c.V5-ID.4-2上

◊题型双曲线的离心率

典I例I精I析

典例上］.已知耳，尸2为双曲线G二-4=1（。＞0力＞0）的左右焦点，点4的坐标为（0,处）.若△/!”鸟为等

（Tb

边三角形，则双曲线C的离心率是（）

A.上B.273

C.2D.3

00

典例2.设双曲线C:工上=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为0尸2,过鸟的直线与C的右支相交于A，B

/b2

两点，若|AB|=4a,N£/W=90,则C的离心率为（）

A.叵B.叵

22

C.2D.3

一是公式混淆，误将双曲线离心率e=£记成椭圆离心率Ovevl,忽略双曲线e＞l的范围，计算后

a

未验证结果合理性。二是％、b、C关系用错”，将椭圆中从二〃2一《2与双曲线的从=02-/混淆，推导齐

次式时出错。三是几何条件转化失误，比如焦点三角形、直线与双曲线相切等场景，无法正确提炼出。

与C•的比例关系。四是焦点位置判断失误，焦点在），轴时仍套用X轴双曲线的参数关系。

变I式I巩I固|

变式1|.双曲线E：二力＞0）的左、右焦点分别为K，鸟，点夕是以《鸟为直径的圆与双曲线七

crlr

的一个交点，若|P川+伊周=;归周，则双曲线E的离心率为（）

A.2B.返

164

C.3D,也

77

变式可双曲线；■-/■=I的左、右焦点分别为F\、h，点。是其渐近线上的一点，若PFJPF,,PF】=/PF,,

（TD

则该双曲线的离心率为（）

A.6B.2

C.V3+1D.4

簸.已知双曲线呜一.（八。，…）的左’右焦点分别为小已过6的直线/与其右支交

于。，Q两点，若|尸耳|=2|尸玛|。5|=3俨用，则。的离心率为（）

A.V2B.2

C.2&D.4

◊敲型05点差法（中点弦公式）

典I例I精I析

1-工=1（。>0,b>4）

典例1.过双曲线c：的焦点且斜率不为。的直线交。于A,8两点，。为44

a2b2

中点，若砥/攵加二3，则C的离心率为（）

A.限B.2

C.GD.如

2

典例］如图，已知过原点的直线，与双曲线C:£-相交于4A两点，双曲线。的右支上

a~b~

一点P满足tan/AP8=g,若直线网的斜率为-3,则双曲线C的离心率为（）

2

I•-----

3

D,正

3

一是前提遗漏，忽略点差法的适用条件——直线与双曲线有两个交点，未验证判别式A>0,导致

所求参数范围失真。二是公式推导错误，将点4玉,y）,仅赴，了2）代入双曲线方程相减时，误算移项步骤，

X

记错中点Mg,%）与斜率k的核心关系式左二三。」1。三是焦点位置混淆，焦点在），轴上的双曲线，未

a）b

调整公式形式，仍套用x轴双曲线的点差法结论，造成斜率计算错误。

变式1|.己知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为尸（-2,0）,过F的直线1与双曲线C交于A、B

两点，且AB的中点为N（-3,T）,则C的离心率为（）

A.垃B.亚

3

C.正D.8

2

变式2|.已知双曲线E:]-与=]（。>0/>0）的右焦点为6（5,0）,过点尸的直线交双曲线E于A、8两点.

若A8的中点坐标为（6,-2）,则E的方程为（）

A%2y2BV'〔I

A.------=1

520169

22

C.—-^-=1D.--^-=1

9161510

变式可已知直线/过双曲线。:尸-1=1的左焦点尸，且与。的左、右两支分别交于AB两点，设。为坐

标原点，〃为A8的中点，若叱是以尸尸为底边的等腰三角形，则直线/的斜率为（）

A.土巫B.土巫

22

C.士巫D.土巫

35

◊题型定义法求轨迹方程（双曲线）

典I例I精I析

典例已知圆G：(x+3『+y2=i和圆G：(x-3y+)，2=9,动圆M同时与圆G及圆G相外切，则动圆圆

心历的轨迹方程是()

A.—+V2=*41B.X2+—=1

8-8

C.=1(X>1)D.x2-^-=l(x<-l)

oo

典例2|.已知点4(5,0)和圆3：(x+5『+y2=36,P是圆3上的动点，直线与线段AP的垂直平分线交

于点Q,则点Q(x,y)所满足的轨迹方程为()

(1)定义法：进行相关的数形结合的表示，并进行对应的消元，使得动点到两个定点的距离的差的

绝对值为定值；容易忽略未知变量的表示.

(2)相关点法：进行相关点的表示时，没有用已知点对未知点的表示，带入进行求解.

(3)直译法：进行点的坐标表示时，注意未知变量的取值范围.

变式1|.已知动圆C与圆耳：(x+2)2+y2=i内切,与圆［：*-2)2+y2=i外切,则动圆圆心C的轨迹方程

为()

22

A.x2-^-=lB.x2-^-=l(x<-l)

22

C.y+y2=l(x<0)D.y+y2=l

变式2|.己知人(-3,0),8(3,0),。为坐标原点，点N是圆。：/+/=4上任意一点，点M是圆。外一点，

若乙5似二/BMN,MNLBN,则点M的轨迹方程为()

A.-^--=1(x^0)B.—=

45V7457

2222

C.y-^-=l(3^0)D.=1(x^0)

变式3|.在平面直角坐标系xQy口，点F的坐标为(2,0),以线段FP为直径的圆与圆。:/+尸=3相切，

则动点P的轨迹方程为()

Ax-V.

A.------=1B.—~y2=\

433-

c=,D土-工=1

-163

◊题型07利用定义求距离和二差的＞值

典I例I精I析

典例］.设点尸为双曲线：-（=1右支上的动点，尸为该双曲线的右焦点，已知点。（7,2）,则IPFI+IPQI

的最小值为（）

A.275B.3石

C.4x/5D.5亚

典亟.P是双曲线《―f=1的右支上一点，M、N分别是圆（》+5）2+丁=4和"-5『+），2=1上的点，则

尸N|的最大值为（）

A.6B.7

C.8D.9

（1）没有先判断点在双曲线内侧和双曲线外侧，因此使得距离和、差求解错误；距离和、距离差上,

利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，转化为三点共线.

变式1|.已知双曲线「:/-f=1的左焦点为八点A4在「的右支上，且|AB|=6,则|E4|+|FB|的最小值

3

为（）

A.4B.6

C.10D.14

2**

变式力.已知点4（。，3"）,双曲线E:的左焦点为八点P在双曲线E的右支上运动.当△做的

周长最小时,\AP\+\PF\=（

A.6x/2B.7x/2

C.872D.972

变式可己知双曲线?-今=19>（））的一条渐近线方程为G.x-），=O,右焦点为尸，点M在双曲线左支

上运动，点N在圆d+（y+3）2=l上运动，则+的最小值为（）

A.6B.7

C.8D.9

◊题型08双曲线的离心率范围

典I例I精I析

国.已知双曲线，乐=1（。力>0）上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,

使得V43C为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.(应什②)

C.(2,-KC)

奥亟.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，旦/耳26=],则椭圆和双曲线

的离心率乘积的最小值为（）

A抠V2

r\•-------BD.---

22

C.国D.正

23

双曲线离心率的核心范围是e>\,但解题中易因多种疏漏出错。•是混淆圆锥曲线范围**,常与双

曲线（e>l）、抛物线（-1）的离心率边界混淆，导致基础判断失误.二是忽略焦点位置**,对含参数

双曲线方程（ftDmx2-ny2=I）,未区分心〃（焦点在x轴）即〃e（焦点在y轴）的情况，误判a、b

取值，引发离心率计算偏差。三是遗漏题目限定条件，仅套用e>l会缩小范围。四是公式变形失误，记

错"J"命，或推导时忽略「■与*的单调性关联，最终得出错误离心率区间。

近.已知双曲线吟-小叱。,〃>。），过点”3的两条直线3分别与双曲曲的上支、下支

相切于点.若△M48为锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为（）

A.B.

C.D.

|变式才已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为吊尸.且两条曲线在第一象限的交

点为尸，△"正是以"；为底边的等腰三角形，若归浦=24,椭圆与双曲线的离心率分别为外R,则3笔的

取值范围是()

1

A.一,+8B.(1,-KO)

9

1

一,+8D.，+

C.132°°

◊题型:09廊加第的洞t颊痼

典I例I精I析

2,

典例1.已知双曲线C:工上=l(a>0,方>0)的离心率为5点A(及,2)在双曲线C上.

/b2

(1)求。的方程；

(2)过双曲线C右支上一动点M分别作。两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于尸，Q,。为坐标原

点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值.

典瓯.已知双曲线=1(">°力>°)的焦距为4上，渐近线方程为尸土”，左顶点为4过点小训

且与X轴不重合的直线/交双曲线右支于P,Q两点.直线APM。与圆。：/+)，2=/分别交于M,N两点.

(1)求双曲线。的标准方程：

(2)求证：直线AP与直线AQ的斜率之积为定值；

s

(3)汜三角形尸。的面积为的面积为SZ,求U的取值范围.

^曾圆国

一是面积公式误用，计算弦与原点或焦点围成的三角形面积时，混淆底高公式与向量叉乘、行列式

等便捷算法，未结合弦长公式和点到直线距离公式，导致计算繁琐且出错。二是变量范围遗漏，用参数

法设点或设直线斜率时，忽略双曲线上点的坐标边界，或未考虑直线斜率不存在的特殊情况，使最值点

超出双曲线范围。三是判别式忽视，联立直线与双曲线方程求交点时，未验证A>0,得出的“最值”因

直线与双曲线无交点而无效。四是转化逻辑缺陷，不会将面积最值转化为函数最值，或换元后忽略新变

量范围，导致极值求解偏差。

________22

变式1|.已知双曲线C:*■-点■=/>0)的离心率为3,”,"分别是双曲线。的左、右焦点，过6的直

线,与双曲线C交于A3两点，当直线/垂直于x轴时，却=16.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若△八用片的面积为竺无，求直线/的方程.

7

变式2|.已知双曲线C:\一］=1(〃>0,〃>0)的左、右焦点分别是£(-2N/3,0),F<2瓜0),并且经过点

----------ab

42衣4).

(1)求C的方程;

(2)过点F2的直线交双曲线的右支于M，N两点(点M在第一象限)，过点“作直线x=苧的垂线，垂足

为D.

(i)求证：直线ON经过定点；

(ii)记△ODV的面积为S,求S的取值范围.

变式可在平面直角坐标系。D中，已知动点E与定点尸(2,0)的距离和E到定直线2x7=0的距离之比是

常数2.

(1)求动点E的轨迹方程C；

(2)过点”的动直线与曲线。交于P,Q两点，问：在x轴上是否存在定点使得沁=盥恒成立？若

S.FM\QM\

存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

◊题型10双曲线中的向量问题

典I例I精I析

20

典例1.己知双曲线c：工上=1(〃>08>0)的右焦点为尸(4,0),且产到C的其中一条渐近线的距离为

a1护

2VI.

(1)求C的方程；

⑵设过点尸的直线与C相交十A〃两点，是否存在止数/,使得讨.丽为常数？若存在，求出/

的值；若不存在，请说明理由.

典例4.已知双曲线C£一.=](。>0,方>0)的离心率为2,其右焦点F到一条渐近线的距离为

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线/：尸依+，M攵>(),〃z>0)与双曲线C交于不同的两点A,B,且以线段A8为直径的圆经过点P(l,()),

证明：直线/过定点.

一是向量条件转化失误，不会将向量垂直(雨.尸月=0)、共线等条件转化为坐标等式，或转化后

代入椭圆方程时计算出错，丢失隐含约束。二是直径圆周角性质混淆，误将双曲线直径等同于圆的直径,

忽略椭圆无“直径所对圆周角为直角”的固有性质，直接套用圆的结论，导致逻辑断层。三是过定点问

题漏特殊情况，求动直线过定点时，未验证斜率不存在的情形，或参数消元不彻底，无法锁定定点坐标。

三是判别式与范围疏漏，联立方程后未检验A>o,使所求点或直线不满足与双曲线相交的前提，结果失

效。

变式”已知双曲线C:£-£=l(a>02>0)的离心率。=血,耳山分别为其两条渐近线上的点，若满足

用=郎*的点尸在双曲线上，且乙。16的面积为8,其中。为坐标原点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过双曲线C的右焦点尸2的动直线与双曲线相交于A,3两点，在4轴上是否存在定点"，使得砺.砒为

常数?若存在，求出点”的坐标：若不存在，请说明理由.

变式2.“T艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含

丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：

步骤1：在纸上画一个圆A,并在圆外取一定点B；

步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；

步骤3把纸片展开，并得到一条折痕；

步骤4：不断重复步骤2和3,得到越来越多的折痕.

你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2

的圆A,并在圆外取一定点B,A8=4,按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与

直线松交于点E,E的轨迹为曲线T.

(1)以A8所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；

(2)设曲线T的左、右顶点分别为E,H,点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线1与圆F+=］交于乂，

N两点(点M在点N的左侧)，记臼0,HV的斜率分别为占，a，证明：吊为定值；

(3)F是T的右焦点，若直线n过点E与曲线T交于C,D两点，是否存在x轴上的点。(八0),使得直线n

绕点F无论怎么转动，都有Q/Q万=0成立?若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

|变式*已知双曲线。：捺-，=1(〃>()力〉())的离心率为2,其右焦点尸到一条渐近线的距离为

(1)求双曲线C的方程：

⑵若直线/：)=依+〃斗>0,〃?>0)与双曲线C交于不同的两点A,4,且以线段A5为直径的圆经过点

①证明：直线/过定点：

②已知点判断双曲线C上是否存在点使G为△MAB的重心，若存在，求出M的坐标；若

不存在，请说明理由.

◊题型11双曲线中的斜率问题

典I例I精I析

蛹川已知双曲线C:二-与二1("0力>0)的实轴长为2,设广为C的右焦点，7为C的左顶点，过户的

------a~b~

直线交C于A,B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9.

(1)求。的方程；

(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA,TB分别交直线x=］于P,Q两点，设M为线段PQ的中点,

记直线AB,FM的斜率分别为玲,证明：也为定值.

在平面直角坐标系g中，已知曲线。的方程为『小1，右顶点为以倾斜角为夕的直线/过

点耳(-3,0),且与曲线C相交于AB两点.

(1)当a=90。时，求三角形母的面积；

(2)在x轴上是否存在定点M,使直线/与曲线。的左支有两个交点A8的情况下，总有NQM4=NOMB?

如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由.

一是三点共线转化疏漏，常只套用斜率相等条件，忽略斜率不存在的垂直X轴情形，且未结合判别

b2

式验证共线点是否在双曲线上，导致结论无效。二是斜率关系误用，易混淆中点弦斜率乘积原8・无M=7

等结论的适用前提，韦达定理推导斜率和差时，又因代数变形失误得出错误关系。三是角度转斜率偏差,

招角相等误转为斜率相等，未识别倾斜角互补对应4+&=()，且遗漏90。角需斜率积为-1的特殊条件，

造成逻辑断层。

变式1|.已知双曲线C：，齐=13()力＞0)的实轴长为2,设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F

的直线交C于A,B两点，当直线A8斜率不存在时，△Z48的面积为9.

(1)求C的方程；

(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接小，7B分别交直线x于P,Q两点，设M为线段PQ的中点，

证明；AB±FM.

变式斗已知双曲线C:5-£=的左、右顶点为48,右焦点为(石,0),离心率为

⑴求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

⑵过点7(2,0)的直线/交双曲线C于点M,N(点M在第一象限)，记直线M4的斜率为左，直线N8的斜

率为网，求证：》为定值.

K2

变式3|.已知双曲线C:「■-£=1（〃＞0/＞。）的左、右顶点分别为4与3,点。（3,0）在C上，且直

线A。与8。的斜率之和为也.

（1）求双曲线C的方程；

⑵过点打3,0）的直线与C交于M,N两点（均异于点A8），直线MA与直线x=\交于点Q,求证:

B、N,Q三点共线.

◊题型12般生1拶品___________

典I例I精I析

典例“已知O为坐标原点，双曲线C：W-£=1（。＞0,力＞0）的焦距为4四，过点（。⑵的直线与C交于A,

B两点，当A8//二轴时，VAO8的面积为4\/7.

（1）求C的方程；

（2）证明：VAO8为钝角三角形.

阿丽.已知双曲线⑦＞0）的右焦点为（指，0）,渐近线方程为y=±争.

（1）求C的方程；

（2）汜C的左顶点为A,直线/：x=；2与x轴交于点B,过B的直线与C的右支于P,Q两点，直线AP,AQ

分别交直线I于点M,N,证明。，A,M,N四点共圆.

疡曾圆国

一是图形判定条件疏漏，证平行四边形时仅关注对边斜率相等，忽略对边长度相等的核心要求；求

矩形未将“邻边垂直”转化为斜率积为-1,菱形则遗漏“邻边相等”或“对角线垂直”的关键条件。二

是点的存在性验证不足，联立方程后未检验AX),或未确认顶点坐标在双曲线范围内，导致求出的图形

实际不存在。三是特殊情况缺失，忽视直线斜率不存在的情形，且未考虑双曲线对称性带来的多解，漏

算符合条件的图形数量。四是面积与边长计算失误，混淆图形面积公式，且未结合双曲线参数方程简化

运算，增加计算误差。

西］.已知双曲线若->…"的离心率为2,实轴的左、右顶点分别为.，虚轴的上、下

顶点分别为母4,且四边形4片&4的面积为2G.

(1)求双曲线c的标准方程；

(2)已知直畿/：>，=*丫+〃?(如*0)与C交于P,。两点，若怩"二恒。|,求实数机的取值范围.

23

变式2.己知双曲线C：工上=1(。>0,b>0)的右顶点E(l,0),斜率为1的直线交。于M、N两

/b2

点，且MN中点Q(l,3).

(1)求双曲线。的方程；

(2)证明：△MEN为直角三角形；

(3)经过点7(0,2)且斜率不为零的直线/与双曲线C的两支分别交于点4,8.若点。是点8关干〉轴的对称

点，试问，不论直线/的斜率如何变化，直线4。是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说

明理由.

◊题型嗝硼的诉承由蛔

典！例」精1_翅

典例1|.已知爪-2,0),6(2,0),M是圆O：F+),2=］上任意一点，片关于点M的对称点为N,线段AN

的垂直平分线与直线町相交于点T,记点T的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵女£([,())(/>0)为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线1与曲线C交于G,H两点(异于E点).若直

线GE,HE的斜率之积为2,求记：直线1过定点.

典例才在平面直角坐标系"OX中，双曲线C:5-£=l(a>08>0),K，尸2分别为曲线。的左焦点和右

焦点，尸在双曲线的右支上运动，尸工的最小值为I,且双曲线。的离心率为2.

(1)求双曲线。的方程；

⑵当过Q(2,l)的动直线/与双曲线C相交于不同的点A,8时，在线段AB上取一点M,满足

QBAM=QAMB.证明：点M总在某定直线上.

g@圆国

一是参数消元不彻底，求过定点时，未将直线方程整理为关于参数的恒等式形式，无法分离出定点

坐标，或消元时遗漏参数的系数为零的核心条件。二是特殊情形遗漏，仅考虑斜率存在的直线，忽略斜

率不存在(垂直x轴)的情况，导致定点或定直线解不完整。三是存在性验证缺失，未检验直线与双曲

线联立后的A>0,得出的定点芯应的直线实际与双曲线无交点：证交点在定直线时，未结合双曲线范围

确认点的有效性，结论缺乏严谨性。四是逻辑倒置失误，误将“定点满足直线方程”与“直线过定点”的

因果关系颠倒，引发推导逻辑断层

22

变式1|.已知双曲线C:*-/=1(。〉0力>0)的离心率为6,点P(3,4)在。上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线/与双曲线C交于不同的两点A,B,若宜线四的斜率互为倒数，证明；直线，过定点.

变式才平面内点P到点尸(3.0)与到直线/,:x=|的距离之比为3

(1)求点尸的轨迹E的方程；

(2)&4为£的左右顶点，过户的直线/与E交于M，N(异于'&)两点，与N4交点为/?,求证:

点R在定直线上.

◊题型12双曲线中的数列问题

典I例I精I析

典例1