2025年高考数学培优复习：导数及其应用（学生版）

专题06导数及其应用

2024年真题研析

一、填空题

1.（2024新高考I卷・13）若曲线），=e*+x在点（0,1）处的切线也是曲线广ln（x+1）+a的切

线，则。=.

近年真题精选

一、单选题

1.（2022新高考I卷.7）设a=0.怕°」,。=，c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.（2023新高考II卷・6）已知函数/（x）=〃e'-lnx在区间（1,2）上单调递增，则。的最小值

为（）.

A.e?B.eC.e-1D.e-2

二、多选题

3.（2022新高考II卷-12）若x,y满足/+），2-孙=],则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.X2+y:>1

hr

4.（2023新高考H卷・11）若函数/（力=出门+乌+今（。/0）既有极大值也有极小值，则

XX

（）.

A.be>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

三、填空题

5.（2022新高考I卷.15）若曲线），=（x+a）e”有两条过坐标原点的切线，则〃的取值范围

是.

6.（2022新高考H卷•14）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为__________，__________.

必备知识速记

一、导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)ra)=o

/(x)=/(awQ)f\x)=axtl-y

f(x)="(。>0,aw1)J'(x)=axIna

/(x)=logA(a>0,<7^1)

dx\v\a

/U)=ev八刈=/

f(x)=\nxrw=-

X

/(x)=sin.rf'(x)=cosx

f(x)=cosxf(x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则：[/(幻土g(x)j'=r。)土g'(x)；

(2)函数积的求导法则：[/(x)g(x)]=ff(x)g(x)+f(x)g\x)；

(3)函数商的求导法则：g(x)工0,贝打幺2]="x)g’(x).

g(x)g-(x)

3、复合函数求导数

复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=/("),“=g(x)的导数间关系为yx=yuux：

4、切线问题

(1)在点的切线方程

切线方程)，-/A)=/'(%)(x-x0)的计算：函数)，=/(1)在点4/，/(七))处的切线方程为

%=/(/)

)「/(与)=raja-%),抓住关键《

k=『(X。)

(2)过点的切线方程

设切点为Pg,%）,则斜率攵=八而）,过切点的切线方程为:

又因为切线方程过点4〃?，〃），所以%=/'（与）。〃-%0）然后解出的值.（/有几个

值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

二、单调性基础问题

I、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数），=/（“）在某个区间内可导，如果/'*）＞（）,则），=/5）

为增函数；如果/（x）v0,则y=/（x）为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若/（用在某个区间上单调递增，则在该区间上有/'@）之0恒成立（但不恒等于0）；反

之，要满足/'（x）＞0,才能得出了（幻在某个区间上单调递增；

②若八刈在某个区间上单调递减，则在该区间上有/'。）《。怛成立（但不怛等于。）；反

之，要满足/'（x）v0,才能得出了（处在某个区间上单调递减.

三、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区

间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：

已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系

图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，

则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函

数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断•阶导函数正

负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意

是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分:

已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关

系）；

（5）导数图像定区间；

四、极值与最值

1、函数的极值

函数/（X）在点与附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/。）＜/（不），则称/（X。）是函

数的一个极大值，记作用大值=/（%）•如果对与附近的所有点都有/（幻＞/（小），则称

/（%）是函数的一个极小值，记作用小值=〃不）.极大值与极小值统称为极值，称「为极

值点.

求可导函数八用极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数/“（X）；

（3）求方程/'（x）=0的根；

（4）检验了'（X）在方程r（x）=O的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右

侧附近为负，那么函数y=/（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右

侧附近为正，那么函数旷=/（幻在这个根处取得极小值.

注：①可导函数〃外在点与处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即

r（为）=o,且在与左侧与右侧，/'*）的符号导号.

②r（.%）=o是与为极值点的既不充分也不必要条件，如/（x）=v,r（o）=o,但%=。不

是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/。）=N，在极小值点小=0是不可

导的，于是有如下结论：/为可导函数/&）的极值点=/'（%））=0：但/'（%）=O"o为

/（A）的极值点.

2、函数的最值

函数y=/（x）最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/（X）最小值为极小

值与靠近极大值的端点之诃的最小者.

2

导函数为f(x)=ax+bx+c=a(x-xi)(x-x2)(ni<x［<x2<n)

(1)当a>0时，最大值是/(%)与/(〃)中的最大者；最小值是/(七)与/(〃?)中的最小

者.

(2)当。<0时，最大值是/(9)与/(〃?)中的最大者；最小值是/G)与/(〃)中的最小

者.

一般地，设)，=/(.r)是定义在［加，川上的函数，)，=/")在。〃，〃)内有导数，求函数

y=fix)在［〃?，n］上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求)，=/(幻在(〃［，〃)内的极值(极大值或极小值):

(2)将)，=/@)的各极值与/(〃?)和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为

最小值.

【导数及其应用常用结论】

1、恒成立和有解问题

(1)若函数/(可在区间。上存在最小值/(x)1nHi和最大值/(x)g，贝I

不等式/(x)>。在区间。上恒成立=/(x)min>a；

不等式/(1)之。在区间。上恒成立o/(A-)n.n>a；

不等式外力〈〃在区间。上恒成立=<b；

不等式在区间。上恒成立=/(x)niax<b；

(2)若函数在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，〃)，则

不等式f(x)>a(或在区间D上恒成立<=>"72”.

不等式/(工)〈”或/*(%)<〃)在区间D上恒成立

(3)若函数〃工)在区间〃上存在最小值/(xL和最大值/")心，即/'(6式加,〃］，则对

不等式有解问题有以下结论：

不等式。在区间D上有解=a</；

不等式a<f(x)在区间D上有解oaK/(x)nm：

不等式a>/(x)在区间。上有解o。>/(A)n.n；

不等式〃之八月在区间。上有解oaN/(x)min；

(4)若函数在区间D上不存在最大(小)值，如值域为(，〃，〃)，则对不等式有解问

题有以下结论：

不等式"/3(或@工/(喇在区间。上有解

不等式〃〉/或bz/(X))在区间。上有解

(5)对于任意的X[€[a,b]，总存在x2€[m,n],使得

/&)«g(W)O/(3)1mx4g⑸1mx；

(6)对于任意的％e,,b],总存在ze[m,〃],使得

f(xl)>g(x2)<^f(x1)wia>g(w)111ta;

(7)若存在毛€=[〃，h],对于任意的X2*[m,〃],使得

)4g(%)=/aL,4&HL；

(8)若存在X]可，对于任意的&e[m,〃],使得

」a)之g(马)o/a)2之g(w)a；

(9)对于任意的再w[a,b],x2e[m,可使得/(xJWgg)=/(%心"(々L；

(10)对于任意的七小㈤，々e[m,〃]使得/⑷力仁^八苦濡〃㈤作；

(11)若存在$w[a,可，总存在&c[m,〃卜使得/(工)4852)=/(%)而11%(占入卬

(12)若存在N可，总存在看w[m,3,使得/(%)Ng(£)=/(x)”之8(々卷•

名校模拟探源

一、单选题

1.(2024.河北保定.三模)曲线/(司=炉-3工在点(OJ(O))处的切线与两坐标轴所围成的

三角形的面积为()

2

B.cD.-

A-i6-i3

x2-3x,xe[0,2],

2.(2024•陕西西安•三模)已知函数/("=，则/(.*)在点(5,/(5))处

2/（X-2）,AG（2,+<X>）,

的切线方程为（）

A.4x-y-28=0B.4x+y-12=0C.x-4y-12=0D.x+4y-22=0

3.（2024・河北保定•三模）已知二次函数y=av（x-/（」W0且6工1）的图象与曲线

y=lnx交于点尸，与x轴交于点A(异于点。)，若曲线)，=hix在点p处的切线为/，旦/

与4P垂直，则。的值为()

A.B.-IC.-展D.-2

4.（2024•贵州六盘水•三模）已知曲线），=/一3瓜、•的一条切线方程为），=r+〃?，则实数

/二（）

A.-2B.-1C.1D.2

2

5.（2024•湖南长沙•二模）已知机>0,〃>0,直线v=-x+m与曲线y=21ar-/*+4

e

相切，则-的最小值是（）

mn

A.4B.3C.2D.1

6.（2024•贵州黔东南•二模）已知正实数。，匕满足e2"-2+e=e2-2"+e”，则的最大

值为（）

A.0B.!C.1D.-

22

7.（2024•福建泉州•二模）在等比数列｛q｝中，4必是函数/（*）=/々（次+5。/）的两个

极值点，若4为=2亿3-2,则/的值为（）

A.-4B.-5C.4D.5

8.（2024・天津和平・三模）已知函数/（x）=6sin〃rcos"x-gsin（2（"-]（<yeR,亘

。〉0）,XGR,若函数””在区间（。,2n）上恰有3个极大值点，则①的取值范围为

（）

131913191319）（1319一

A.B.日司口.厄,运

6666

9.（2024•辽宁•二模）己知正实数。泊，记加=0^<.44.反壶卜则M的最小值为（）

A.42B.2C.1D.6

10.（2024•新疆喀什•三模）已知。=ln（sinL02）,。=粤1,c=Inl.O2,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

11.（2024・安徽合肥・三模）已知函数“力在R上可导,其导函数为了'（X）,若/（月满足：

（TO/（切>0,/（2-x）=/（x）e2-2\则下列判断正确的是（）

A./(l)>e/(0)B./(2)>e7(0)

C./(3)>eV(0)D./(1)<e7(O)

二、多选题

12.（2024•河北衡水•三模）已知函数/（x）=V-卬2,*=2是函数〃北的一个极值点,则

下列说法正确的是（）

A.〃?=3B.函数/（可在区间（T2）上单调递减

C.过点（1,-2）能作两条不同直线与），=/（x）相切D.函数+2有5个零点

13.（2024.重庆.三模）若函数/（司=。欣-2/+加既有极小值又有极大值，则（）

A.ab<0B.a<0C.h2+16rz>0D.|«—Z?|<4

14.（2024・山西太原•三模）已知巧是函数/（x）=d+mr+〃（5<0）的极值点，若

/&）=/（%）（工产9），则下列结论正确的是（）

A./（x）的对称中心为（0,〃）B.〃-内）>/（%）

C.2$+$=。D.N+勺>。

15.（2024.河北.三模）已知函数“X）及其导函数/'（X）的定义域均为R,记

g（x）=r（力，若〃3+2x）为偶函数，g（l+x）为奇函数,则下列结论正确的是（）

A.g（x）的图象关于直线x=l对称.B.g（x）的图象关于点（3,0）对称.

2024

c.*（i）=lD.g（2O23）=O

r-l

三