2025年吉林省长春市中考数学试题

2025年吉林省长春市中考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家.如果水位下降2m记作-2m,

那么水位上升3m记作（）

A.-3mB.+3mC.-5mD.+5m

2.下面几何体中为圆锥的是（）

£

。,4

3.下列计算一定正确的是（）

A.a+2a=3aB.aa2=a2

C.a+a=a2D.（2a）2=2a2

4.下列不等式组无解的是（）

x>2fx>2x<2（x<2

A，U-lB.CU-l

5.如图，己知某山峰的海拔高度为加米,一位登山者到达海拔高度为〃米的点力处.测得

山峰顶端8的仰角为a.则力、8两点之间的距离为（）

二

,海平面

试卷第1页，共8页

A.（〃?一"）sina米B.米

since

C.（加一〃）cosa米D.巴二。米

cosa

6.已知点4(-3,必)、8(3,%)在同一正比例函数y=Ax化＜0)的图象上，则下列结论正确的

是()

c.必>oD.乂<0

A.yt=-y2B.y,=y2

7.将直角三角形纸片月8c(NC=90。)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是

（）

A.MN//DE//PQB.BC=2DE=4MN

MNDEPQ

C.AN=BQ=^NQD-----==—

•DEPQBC

8.在功力(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间z(s)成反比例，P(W)与f(s)之间的函

数关系如图所示.当25±440时，P的值可以为()

D.50

二、填空题

9.8的立方根是.

10.写出时的一个同类项：.

11.已知./+2x=4,贝I代数式7—.一一2x的值为

试卷第2页，共8页

12.若扇形的面积是它所在圆的面积的g,则这个扇形的圆心角的大小是_____度.

13.图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则/仁为_

度.

14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线、8。相交于点O.点、E在线段。力上.连

接BE,作CF工BE于点F,交OB于点、P.给出下面四个结论:

①NOCP=NOBE；

②OE=OP；

③当CE=C5时，BP=EF：

④点4与点厂之间的距离的最小值为2逐-2.

上述结论中，正确结论的字号有

三、解答题

15.先化简.再求值：（l+x『-2x,其中》=百.

16.长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿

化而驰名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从4、8、C三个出

口中随机选择一个出口驶出.用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶

出的概率.

试卷第3页，共8页

北

17.如图，8CO的对角线/C、8。相交于点。，［4=5,04=4,04=3.求证：口4BCD是

菱形.

18.小吉和小林从同一地点出发跑8()0米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比

小林少用40秒到达终点.求小林跑步的平均速度.

19.图①、图②、图③均是4x3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称

为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作出，48C,使长4BC的顶点均

在格点上.

图①图②图③

(I)在图①中，色48c是面积最大的等腰三角形；

(2)在图②中，尾48c是面积最大的直角三角形：

(3)在图③中，出/14c是面积最大的等腰直角三角形.

20.某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生憎展(两僧左右平伸时两手中指

指尖之间的距离)与身高的关系.小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量

他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分的信息：

m2()名男生的臂展与身高数据如下表：

试卷第4页，共8页

编

1234567891()

号

身

高166169169171172173173173174174

/cm

臂

展161162164166164165167169169170

/cm

编

11121314151617181920

号

身

高175176177177178179180180181183

/cm

臂

展169167173172173170177174176185

/cm

b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表:

平均中位众

数数数

身高

175m173

/cm

臂展

170169n

/cm

c.20名男生评展的频数分布直方图如图①：（将憎展数据分成5组：1604。<165,

165<«<170,170<«<175,175<«<180,180<«<18^

d.20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的

试卷第5页，共8页

狭长带形区域内.他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展y(cm)与身高x(cm)之间

关联关系的直线/.

八臂展/cm

190-

185-

180-

175­

170-

165-

160-

I55L.

155160165170175180185190身j5/cm

图①图②

根据以上信息，回答下列问题:

(1)写出表中〃〃的值：〃?=_,〃=_；

(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于170a〃的男生人数；

⑶图②中直线/近似的函数关系式为7=12丫-40,根据直线/反映的趋势，估计身高为

185cm男生的臂展长度.

21.随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用

甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变.已

知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养.保养结束后又和乙机器人

一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量N(件)与乙机器人工作时间》(分钟)

之间的函数关系如图所示.

(1)甲机器人停工保养的时间为一分钟，，〃=_；

(2)求力8所在直线对应的函数表达式：

(3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为一分钟.

22.数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆

【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为

该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图

形的最小覆盖圆.

试卷第6页，共8页

【探究一】线段的最小覆盖圆

线段44的覆盖圆有无数人，其中，以/也为直径的圆是其最小覆盖圆.

理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点/、点8.如图①，以为直径作00,

再过力、4两点作。。(。‘与。不重合)，连结在中，^O'A+O'B>AB

(▲).

•;O'A=O'B,

/.2(/A>AB,即。。'的直径大于。。的直径.

是线段力4的最小覆盖圆.“▲”处应填写的推理依据为

【探究二】直角三角形的最小覆盖圆

要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问

题.这样就可以先确定直角三角形最长边(斜边)的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆

的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆.如图②，在Rt△48c中，乙4。?=90。.。。

是以43为直径的圆.请你判断点C与。。的位置关系，并说明理由.

又由【探究一】可知，。。是RIA48C最长边相的最小覆盖圆，所以，是Rt△月8c的

最小覆盖圆.

【拓展应用】矩形的最小覆盖圆

如图③，在矩形48CO中，AB=1cm,BC=2cm.

AD

BC

图③

(1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形"CD的最小覆盖圆：(不写做法，保留作图痕

迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点)

(2)该矩形4ACO的最小覆盖圆的直径为_cm；

试卷第7页，共8页

(3)若用两个等圆完全覆盖矩形//CQ.则这样的两个等圆的最小直径为_cm.

23.如图，在cfe/8C中，ZC=90°,4c=4C=4,点。为边/C的中点，点E为边力？上

一动点，连接OE.将线段OE绕点E顺时针旋转45。得到线段£7L

(1)线段力4的长为」

(2)当EF/NC时,求力E的长;

(3)当点尸在边BC上时，求证：^ADE^BEF；

(4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长.

24.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y-Y十加r经过点(3,3).点/、3足

该抛物线上的两点，横坐标分别为〃?、m+1,已知点"(1』)，作点4关于点M的对称点。,

作点4关于点M的对称点。，构造四边形力8CO.

(1)求该抛物线所对应的函数表达式：

(2)当43两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点。的坐标；

(3)设抛物线在彳、8两点之间的部分(含力、8两点)为图象G.当0＜加＜1时，若图象G

的最高点与最低点的纵出标之差为;.求〃?的值：

(4)连结0力、OB,当=8c时，直接写出机的取值范围(这里/408、

NO/1D、NO8C均是大于0。且小于180。的角).

试卷第8页，共8页

《2025年吉林省长春市中考数学试题》参考答案

题号12345678

答案BCABBADC

1.B

【分析】本题主要考杳了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降

用“一”表示，那么水位上升就用“+”表示，据此求解即可.

【详解】解：如果水位下降2m记作-2m,那么水位上升3m记作+3m,

故选：B.

2.C

【分析】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提.

根据圆锥的底面是圆，侧面是曲面进行判断即可.

【详解】解：A、该几何体为正方体，不符合题意：

B、该几何体为球，不符合题意；

C、该几何体为圆锥，符合题意；

D、该几何体为是三棱锥，不符合题意.

故选：C.

3.A

【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数辕乘法计算，合并同类项，根据相关计算法

则求出对应选项中式子的结果即可得到答案.

【详解】解：A、。+2〃=3〃，原式计算正确，符合题意；

B、原式计算错误，不符合题意；

C、。+。=2〃，原式计算错误，不符合题意；

D、（2〃）2=4/，原式计算错误，不符合题意；

故选：A.

4.B

【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小

大中间找，大大小小找不到（无解）“求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案.

【详解】解：A、原不等式组的解集为x>2,不符合题意；

B、原不等式组无解，符合题意：

答案第1页，共17页

C、原不等式组的解集为1<7,不符合题意；

D、原不等式组的解集为-1<工<2,不符合题意；

故选：B.

5.B

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键.

由题意得四边形力CQE是矩形，则CO=/E=〃，那么8。=8。一。二机一〃，再解口12\/1。8

即可.

【详解】解：由题意得，西边形力8石是矩形，

/.CD=AE=n»

,BC=BD-CD=m-n,

由题意得，/ACB=90/BAC=a,

・•・sinZ5JC=—,

AB

...*=旦=0,

sinasina

故选：B.

6.A

【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解,

掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.

【详解】解：•・•点力（一3/）、8（3,必）在同一正比例函数旷=去（〃<0）的图象上，

/.y}=-3k,y2=3k,

工必=」%，

•••左<0,

・•・正比例函数的图象经过二、四象限，当x<0时y>0,当x>0时y<0,

-3<0<3,

必>0,当<0，

••・选项A正确，选项B、C、D错误，

故选：A.

7.D

【分析】本题考查了折叠的性质，相似二角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟

答案第2页，共17页

练掌握各知识点并灵活运!IJ是解题的关键.

由折叠可得：DE1AC,PQ±AC,MNtAC,AM=MD=DP=PC,聃MN〃DE〃PQ"BC、

那么△/IOESAJCBS&IMNS&IP。，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成

比例定理逐一判断即可.

【详解】解：由折叠可得：DE1AC,PQLAC,MN1AC,AM=MD=DP=PC,

：,MN//DE//PQ//BC,故A正确，不符合题意：

工AADEsAACBs"MN,

.DEAD\MNAM_1

~DE~~AD~^

：,BC=2DEtDE=2MN,

・•・BC=4MN,

:.BC=2DE=AMN,故B正确，不符合题意；

MN//PQ//8C,

.PCBQ\AMANPMQN\

•,就一方一1~AC~7B~4'~AC~^4B~2

：.BQ=AN=；AB,QN=；AB,

:.AN=BQ=；NQ,故C正确，不符合题意；

•••AADESMCBSA4MNsNPQ,

.MN_AM_1DEAD_2PQAP_3

',~DE~^4D~2'PQ~AP~3f5C-JC-4,

••・等。学工族，故D错误，符合题意，

DEPQBC

故选：D.

8.C

【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式,

代入求值的计算方法是解题的关键.

先求出P(W)关于f(s)的函数解析式，再分别求出/=25,，=40时的函数值，然后根据反比

例函数的性质求出P的取值范围，即可判断.

【详解】解：由题意设P(W)关于小)的函数解析式为：P=%

V/

代入点(60,20)得：20=-,

解得：％=1200,

答案第3页，共17页

:.P(W)关于Ms)的函数解析式为P=产，

当，=25时，尸=噗=48：当f=40时，?=嘿=30,

VJF=1200>0,

・•・在第一象限内，尸随着f的增大而减小，

，30<P<48,

・・・P的值可以为45,

故选：C.

9.2

【分析】本题考杳了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关犍.根据立方根的定义即可

求解.

【详解】解：•:爬=2,

••.8的立方根是2.

故答案为：2.

10.lab(答案不唯一)

【分析】本题考查J'同类项的定义，含有相同的字母并且相同字母的指数也相同的项为同类

项，据此进行作答即可.

【详解】解：2"是的一个同类项，

故答案为：2ab(答案不唯一).

11.3

【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键.

将7-2工化为7-(/+2,，再整体代入求解即可.

【详解】解：・・"+2x=4,

A7-X2-2X

=7-(X2+2X)

=7-4

=3»

故答案为：3.

12.240

答案第4页，共17页

【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积5=处长是解题的关键.

360

设扇形的圆心角度数为〃，半径为A,由扇形面积公式和圆的面积公式得到360二2,即

TTR2-3

可求解.

【详解】解：设扇形的圆心角度数为〃，半径为A，

nuR~

由题意得360_2,

冗R2-3

解得：〃二240。，

故答案为：240.

13.36

【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：

180。-笺360c-=108。，再进一步求解即可.

【详解】解：•・•正五边形的每一个内角为：180。-笺360°-=108。，

/.Na=360。-3x108°=36°,

故答案为：36

14.①②④

【分析】根据正方形的性质可得NCOP=90o=N〃Q,结合/CPO-BPF,可得

/OCP=/OBE,故①符合题意；证明△COP为6O£,可得。尸=OE,故②符合题意；当

CE=C'4时，CFLBE,可得EF=BF,ZBFP=90°,可得BP>BF=EF,故③不符合题

意：如图，取4。的中点A,连接力尸,如"可得产在以R为圆心，4。为直径的圆上，当AF,R

共线时，4“最小，再进一步可判断④.

【详解】解：•・•正方形48C。，

・•・AB=BC=CD=AD,々DAB=/ABC=4BCD=Z.ADC=90°,AC1BD,

OA=OB=OC=OD,

•・,CFLBE,

：.NC()P=93=/BFP,

Z.CPO=Z.BPF,

：・NOCP=NOBE,故①符合题意；

Vzcor=90u=/.BOL,OC=OB,

答案第5页，共17页

/.ACOP—BOE,

；.OP=OE,故②符合题意；

当CE=C8时，CFJ.BE,

：.EF=BF,/BFP=90。,

：,BP>BF=EF,故③不符合题意：

如图，取8c的中点〃，连接力凡知"

VZCFB=90°,

・•・尸在以H为圆心，8C为直径的圆上，

当4ER共线时，"'最小，

AB=BC=4,

：.RF=RB=2,

**,AR=V424-22=2V5»

/.月月=2石-2,

，点力与点户之间的距离的最小值为2石-2.故④符合题意；

故答案为：①②④

【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等

三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较

大，作出合适的辅助线是解本题的关键.

15.x2+l，4

【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，

再把x=百代入计算即可.

【详解】解：(1+X)2-2X

=\+2x+x2-2x

答案第6页，共17页

=X2+1,

当x=G时，原式=+1=3+1=4.

16.1

【分析】本题主要考杳了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关

键.

先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算

公式求解即可.

【详解】解：由题意得，可画树状图为：

开始

乙ABCABCABC

由树状图口」知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有

3种，

・•・这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是;=?.

17.见解析

【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的

关键.

先由勾股定理逆定理得到//。？=90。，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明.

【详解】证明：•・•力8=504=4,。8=3,

・•・0犷+0/=32+42=25，彳炉=5?=25，

，OB2+OA2=AB2,

••・408=90。，

・•・AC1BD,

•・•四边形14CQ是平行四边形，

••・四边形/出CQ是菱形.

18.小林跑步的平均速度为4米每秒

【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键.

设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为L25x米每秒，分别表示出时间，

根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可.

答案第7页，共17页

【详解】解：设小林跑步的平均速度为X米每秒，则小吉的平均速度为L25X米每秒,

800+40=吗

由题意得:

1.25xx

解得：A-=4,

经检验，x=4是原方程的解，且符合题意,

・•・原方程的解为：x=4,

答：小林跑步的平均速度为4米每秒.

19.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关

知识是解题的关键.

(1)根据血积最大，且cMBC为等腰三角形，顶点均在格点上:

(2)根据面积最大，且出力8。为直角三角形，顶点均在格点上;

(3)作个腰长为J历的等腰直角三角形，顺次连接力、B、C,则出/出C即为所求.

【详解】⑴解:如图所示,心48c即为所求;

图①

(2)解：如图所示，隹48。即为所求;

图②

(3)解：如图所示，出/lBC即为所求.

答案第8页，共17页

A

C

B

图③

20.(1)174.5；169

(2)108人

(3)身高为185cm男生的臂展长度约为182cm.

【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体；

(1)根据中位数与众数的含义可得答案：

9

(2)由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为三，再乘以总人数即可;

(3)把x=185代入J，=1.24-40即可得到答案.

【详解】(1)解：由表格信息可得：机=g(174+175)=l74.5(cm)：

n=169(cm)；

(2)解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：

9

240x—=108(人)；

20

(3)解：V^=1.2x-40,

当x=185时，y=1.2x185-40=182,

•••身高为185cm男生的臂展长度约为182cm.

21.(1)20,3800

(2)y=55x-600

(3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为110分钟.

【分析】本题考查的是次函数的实际应用；

(1)由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算

求解机的值即可；

(2)由甲乙机器人的效率为每分钟55件，可得48所在直线对应的函数表达式为：

y=2700+55(x-60),再化简即可；

(3)把y=5450代入y=55x-6OO,进一步即可得到答案.

答案第9页，共17页

【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为60-40=20分钟：

V2200+40=55,

・•・m=2700+（80-60）x55=3800（件）；

（2）解：•・•甲乙机器人的效率为每分钟55件，

・・・力8所在直线对应的函数表达式为：=2700+55（x-60）=55x-600：

（3）解：当>=5450时，

A55x-600=5450,

解得：x=110，

・••该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为110分钟.

22.探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：。在O。上；证明见解析；拓展

应用：（1）作图见解析；12）石：（3）V2：

【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；

探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明。。=。力=。4即可得到答案；

拓展应用：（1）连接力。,3。，交于点O,以。为圆心，以为半径作圆即可；

（2）结合矩形性质与勾股定理计算即可；

（3）作力。的垂直平分线〃，交力。于£,交RC于J,可得四边形QC〃是两个

全等的矩形，AL=DL=\=BJ=CJ，用两个等圆完全覆盖矩形4ACD,可得两圆一定过上/,

再进一步解答即可.

【详解】解：探究一：

理由如下：易知线段46的最小覆盖圆一定经过点4、点8.如图①，以44为直径作。。，

再过4、4两点作（。与。不重合），连结。'40'8.在中，有（三

角形的任意两边之和大于第三边）.

・・•ON=O'B,

/.2ON>AB,即OO的直径大于00的直径.

是线段的最小覆盖圆.“▲”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第

三边.

故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；

探究二：・・・/彳（方=9（）。，。为力4的中点，

/.OC=OA=O8,

答案第10页，共17页

在。。上；

拓展应用：(1)如图，。。即为矩形48CQ的最小覆盖圆;

图③

(2)•・•矩形48CQ,J5=lcm,BC=2cm,

AZJi?C=90°,BD=AC=#+F=(cm)；

(3)作力。的垂直平分线LI,交4D于L,交BC于J,

・•・四边形力员亿，QC〃是两个全等的矩形，

AL=DL=1=87=CJ»

•・•用两个等圆完全覆盖矩形48C。，

工两圆一定过

JJ

图③

连接47,%C7,D7,交点分别为Q,K,

同理可得：这样的两个等圆的最小直径为4/或8乙或。或O./,

・•・最小直径为户下二及，

如图，作力8的垂直平分线交ARC。于匕%，

答案第11页，共17页

图③

同法作。。，0K,此时不是直径最小的等圆；

综上：用两个等圆完全覆盖矩形48CQ.则这样的两个等圆的最小直径为缶m.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应

用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题

的关键.

23.(1)472

⑵及

(3)证明见解析

r-4

(4)4E的长为4应-4或4戊-

【分析】(1)利用勾股定理计算即可；

(2)如图，求解NZ=N8=45。，AD=CD=2,证明/尸E8=N4=45°,结合/£)所=45。，

可得/。跖=90。=44石。，再进一步求解即可；

(3)证明结合N4=N8=45。，DE=FE,从而可得结论：

(4)如图，当尸在8C的左边时，结合题意可得：EG1BC,FQ1BC,EG=2FQ,过。

作DHJ.4B于H,过产作"KJ_£G于K,可得/Q=GK=gGE,结合(1)可得：

DH=AH=五,证明△。/也丝△£/字,可得EK=DH=g，再进一步解得即可；如图，当

尸在的右边时，过D作_1月3丁，，过尸作FK上EG丁K,同法可得答案.

【详解】(1)解：•・・在中，ZC=90°,AC=BC=4,

JAB=ylAC2+BC2=45/2；

(2)解：如图，在出力8C中，ZC=90°,AC=BC=4,点。为边47的中点，

・•・4=N8=45。，AD=CD=2,

答案第12页，共17页

c

，/FEB=N/l=45°,而£DEF=45°,

/.NDEB=90°=ZAED,

,J£=^Z)cos45°=2xy-=V2；

(3)证明：•・•旋转，

・•.DE=EF,/DEF=45。,

如图，•：NDEF+/BEF=/DEB=/A+ZADE,ZDEF=/A=4F,

/.4BEF=ZADE,

VZJ=Z5=45°,DE=FE,

:・"DEmBEF；

(4)解：如图，当尸在BC的左边时，结合题意可得：EG1BC,FQ工BC,EG=2FQ,

过。作于〃，过/作用_1_打7于K,

・••四边形尸KG0为矩形，

:・FQ=GK=；GE,

C

结合(1)可得：DH=AH=6，

•:EGIBC,乙？=45。，

答案第13页，共17页

/.Z.GEB=ZB=45°,

・•・GB=GE=2GK=2EK，

VNDEF=45。,

・•・ZDEF+ZGEB=90°,

・•・4DEH+4FEK=90°,

*/ZDHE=90°=ZHDE+HED,

工AHDE=4KEF,

DE=EF,

：•&DHE皿EKF,

:•EK=DH=6,

:.EG=BG=2五，

••・BE=qEG'+BW=4,

***JE=4>/2-4;

如图，当尸在8。的右边时，过。作。于〃，过尸作废上员?于K,

四边形四边形尸KG。为矩形，

：.FQ=GK,

,,,GE=2FQ,

・•・GE=2GK,

••EG=---,GK=FQ=3，

同理可得：EG=BG=—^BE=-x>/2=-t

333

・•・JE=4>/2-y；

L4

综上：的长为4及一4或4四一

答案第14页，共17页

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判

定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.

24.（\）y=x2-2x

⑵呜与

（3）T当或当

（4）-|<m<4

【分析】（1）根据待定系数法，将点（3,3）代入y=/+立即可求解.

（2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求m