2025年高考数学培优复习：概率

专题11概率

2024年真题研析

一、多选题

1.(2024新高考1卷・9)为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽

取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值了=2.1,样本方差.L=().oi,己知该种植区以

往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0f),假设推动出口后的亩收入y服从正态分布

N(元白，则()(若随机变量Z服从正态分布P(Z<W+o-)«0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(K>2)>0.5D.P(r>2)<0.8

【答案】BC

【分析】根据正态分布的3。原则以及正态分布的对称性即可解出.

【详解】依题可知，x=2.1,?=0.01,所以y~N(2.1,01),

S(P(y>2)=P(y>2.1-Ci.l)=P(y<2.1+0.1)«0.84l3>0,5,C正确，D错误；

因为X~N(180.1),所以0(X>2)=P(X>L8+2xO.l),

因为尸(X<1.8+0.1)=0.8413,所以尸(X>1.8+0.1)之1-0.8413=0.1587<0.2,

而尸(X>2)=P(X>1.8+2x0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确，A错误，

故选：BC.

二、填空题

2.(2024新高考I卷・14)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片

上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，

在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大

小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的七片

在此后的轮次中不能使用)•则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

【答案】1/0.5

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X「X2，X3，X4,四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有

六种，从而甲在该轮获胜的概率P(X/=1)=£=1,所以芯(尤)=1伏=1,2,3,4).

4X45O

4433

从而E(X)=E(X+X2+X3+XJ=ZE(XJ=Z$=3・

A=lhlb/

记A=P(Y=4)(N=0J2,3).

如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,

1I

8,所以〃0=77=有；

A4

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,

6,所以用=±=(・

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故〃o+Pi+生+凸=1，P|+2p2+3/?3=E(X)=-.

所以P1+P，+^=l,〃]+2p,+J=；,两式相减即得p、=!,故P，+〃3="

12822422

所以甲的总得分不小于2的概率为p2+〃3=1.

故答案为：y.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得

到等量关系，从而避免繁琐的列举.

三、解答题

3.(2024新高考II卷・18)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具

体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，

比赛成员为。分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3

次，每次投中得5分，未投中得。分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由

甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为〃，乙每次投中的概率为外各次投中与否相

互独立.

(1)若〃=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概

率.

⑵假设o<p<q,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

【答案】(1)0.686

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛；

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)(i)首先各自计算出力=0一(1一〃月/,2=[|-(1一夕)31〃3,再作差因式分解即可

判断；(ii)首先得到X和y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次

作差比较大小即可.

【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二

阶段也至少投中1次，

・•・比赛成绩不少于5分的概率P=(l-0.63)(I-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

%=口一(1一〃)3]济

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为

也=口_(]_]]〃3,

0<〃vq,

・'•%—也="-(g-〃9尸一+(〃-pl

=(“一〃)S+叫+(p-4)•[(〃-pq)2+①一pq)2+(〃一〃")("-〃4)]

=(〃一勺心北2-3p?q-3pq2)

=3Pq(p-q)(pq-p-q}=3Pq(p-^)[(1-p)(l1]>0,

•••%>匕,应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=0)=(1-")3+[1—(1—p)3].(j)3,

P(X=5)=[l-(l-p)1C%.(

P(X=10)=[l-(l-p)3]cy(l-t7),

P(X-15)=[1-(1-〃)31q3,

.•.£（X）=15[l-（l-p）3]q=15（p3-3p2+3p）q

记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩丫的所有可能取值为0,5,10,15,

同理£（丫）=15（/-3〃2+34〃

E（X）-E（Y'）=\5[pq（p-^q）（p-q）-3Pq（p-q）]

=15（p-q）pq（p+q-3）,

因为。＜〃＜“，贝p+t/-3＜l+l-3＜0,

则（p-q）pq（p+4一3）＞（）,

・••应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分

解从而比较出大小关系，最后得到结论.

近年真题精选

一、单选题

1.（2022新高考I卷-5）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

概率为（）

AA.6B.L3。c—2D.—3

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种,

故所求概率P=321肃-7'=：2

213

故选：D.

二、多选题

2.（2023新高考U卷・12）在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收

到1的概率为。（。＜。＜1）,收到0的概率为1-。；发送I时，收到0的概率为

尸（。＜耳＜1）,收到1的概率为1-6.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输

是指每个信号只发送1次，二次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，

译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数

多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为以1-分尸

C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为网-尸尸+(1-£)3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传

输方案译码为0的概率

【答案】ABD

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概

率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1.0.1,则依次收到I,0,1的事件是发送1接收1、发送0

接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为-一夕)=(1-。)(1一PF，A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-月)力(1-尸)=以1-A)?,B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1

和1,1,1的事件和，

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C/(1-02+。—4)3=(]—02(]+2夕)，c错

误；

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(l-。尸(1+2々)，

单次传输发送0,则译码为0的概率产=1-仪，而0vtz<0.5,

,2

SjfcP-P=(l-a)(l+2a)-(l-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两

互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

三、填空题

3.（2022新高考II卷・13）已知随机变量X服从正态分布N（2,/）,且

P（2<X<2.5）=0.36,则P（X>2.5）=.

【答案】0.14/—.

5（）

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为X~N（2,/），所以P（Xv2）=P（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14.

四、解答题

4.（2022新高考1卷-20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯

（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例

（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下

数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

⑴能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，人表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到

的人患有该疾病得与第号的比值是卫生习喷不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为R.

,•、、十EnP（A\B）

（i）证明：R=-=----------；

P（A|P（A\B）

（ii）利用该调查数据，给出P（4|8）,P（川泓的估计值，并利用（i）的结果给出R的估

计值.

n(ad-be)2

附K:

(a+b)(c+d)(a+c'\(b+d)

P(K2>k)().05()().01()O.(X)1

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)E=6；

【分析】(1)由所给数据结合公式求出六的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有

99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)⑴根据定义结合

条件概率公式即可完成证明；(ii)根据(i)结合已知数据求R.

【详解】⑴由已知心=200(40x90-60x10)­=2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又P(K?26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

CR.RP(B|A)P(B\A)_P(AB)P(A)P(AB)P(A)

w因内丽而W而一石万■•瓦丽•京万瓦前'

P(AB)?(B)P(Z8)P(月)

所以R=

P(B)P(AB)'P(B)P(AB)

P(A\B)P(A\B)

所以R=

(ii)

由已知P(4|B)=[,P(“|用二M，

100I00

-60--90

又P⑷或=而'=为'

所以^位;6

P(A\B)P(A\B)

5.(2023新高考I卷・21)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此

人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均

为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是

甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率;

⑵求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变星X：服从两点分布，且-则

力x1二f%・记前〃次（即从第।次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为乙求七（丫）.

E

【答案】⑴0.6

(2)ix(i

59n

⑶「7+

1o8\33

【分析】（1）根据全概率公式即可求出；

（2）设P（A）=〃,，由题意可得〃*=0.4〃j+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解

出；

（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【详解】（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件用，

所以，尸（以）=P（A2+P（4与）=P（A）尸（（IA）+P（4）P（员14）

=0.5x（1-0.6）+0.5x0.8=0.6.

（2）设P（A）=/Z，依题可知，P（用）=1-2,则

"（4川）=尸（4A+J+P（BA.J=P（A）尸（4+JA）+P（耳）「（4卬|耳）,

即/%I=0.6/彳+（1—0.8）x（［—=0.4月+0.2,

构造等比数列E+处，

2।12（1、

设p“i+a=w（〃i+/0，解得/=-,，则〃加一1=4Pi--，

又自=。_；=1,所以卜是首项为!，公比为5的等比数列，

23o31o3

(3)因为+Lj=

615J3

所以当

N♦时，E（Y）=/jj+p2+...

故夙y）=2।

1o

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推

式，然后根据数列的基本知识求解.

6.（2022新高考H卷-19）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的

年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

⑵估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总

人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的

概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精

确到0.0001）.

【答案】（1）47.9岁；

（2）0.89；

（3）0.0014.

【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70）｝,根据对立事件的概率公式

P(4)=1-P(Z)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【详解】(1)平均年龄X=(5xO.OOl+15xO.OO2+25xO.O12+35xO.O17+45xO.O23

+55x0.020+65x0.()l7+75x0.006+85x0.002)x|()=47.9(岁).

(2)设人={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)设8="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”,

则由已知得：

P(5)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|0=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中仟选一人,若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

10001X23

P(C|B)=0=°=0.00143750,0014.

必备知识速记

一、古典概型

(1)定义

一般地，若试睑“具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的女个样本

点，则定义事件4的概率P(A)=1=S4.

二、概率的基本性质

(1)对于任意事件A都有：0WP(4)41.

(2)必然事件的概率为1,即P(C)=1；不可能事概率为0,即P(0)=O.

(3)概率的加法公式：若事件A与事件3互斥，则PG4U8)=尸(A)+P(B).

推广：一般地，若事件A，4彼此互斥，则事件发生(即A，&，…，4中有

一个发生)的概率等于这〃个事件分别发生的概率之和，即：

p(A+A2+...+A；)=P(A)+P(&)+-+P(A3

(4)对立事件的概率：若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(8),

尸(8)=1-P(A),且尸(A|J8)=尸(A)+P(B)=1.

(5)概率的单调性：若AqB,则P(4)WP(4).

(6)若A,8是一次随机实验中的两个事件，则P(AUB)=P(4)+P(或-P(AnA).

三、条件概率

(一)定义

一般地，设A,8为两个事件，且P(A)>0,称P(8|A)=£幽为在事件4发生的条件

夕⑷

下，事件4发生的条件概率.

注意：(1)条件概率尸(8|4)中后面就是条件；(2)若尸(A)=0,表示条件A不可能发

生，此时用条件概率公式计算P(8|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(4)>0的

情况下进行.

(二)性质

(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即

(2)必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0.

(3)如果8与C互斥,则P(BUC|A)=P(5|A)+P(C|A).

注意：(1)如果知道事件A发生会影响事件8发生的概率，那么P(B)wP(8|A)；

(2)已知A发生，在此条件下8发生，相当于/W发生，要求P(/3|A),相当于把A看作

n(AB)

新的基本事件空间计算AB发生的概率，BPP(B\A)=出驾=坐!=等驾.

n(A)n(A)P(A)

〃(。)

四、相互独立与条件概率的关系

(一)相互独立事件的概念及性质

(1)相互独立事件的概念

对于两个事件A,B,如果P(A|A)=P(B),则意味着事件A的发生不影响事件B发生的

概率.设尸(A)>0,根据条件概率的计算公式，P(8)=P(8|4)=上辿，从而

P(A)

P(AB)=P(A)P(B).

山此我们可得：设A,8为两个事件，若夕(A5)=尸(A)A3),则称事件A与事件3相互独

立.

(2)概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件A与8,若P(4)>0,则尸(4B)=P(4)P(8|A).我

们称上式为概率的乘法公式.

(3)相互独立事件的性质

如果事件A,8互相独立，那么A与耳，,与8,X与8也都相互独立.

(4)两个事件的相互独立性的推广

两个事件的相互独立性可以推广到〃5〉2€N*)个事件的相互独立性，即若事件A,

42，…，儿相互独立，贝J这〃个事件同时发生的概率P1A4…A)=尸(A)(&)…P(A)・

(二)事件的独立性

(1)事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)-P(B).

(2)当P(8)>0时，A与4独立的充要条件是P(A|8)=P(A).

(3)如果P(A)>0,A与5独立，则，(814)==〃(、)，(/”=p的成立.

P(A)P(4)

五、全概率公式

(一)全概率公式

(1)P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)；

(2)定理1若样本空间。中的事件4，A2,人满足：

①任意两个事件均互斥，即i,j=1,2,1,i于j；

②4+A,+…+A7=。；

③P(A)>0，i=l,2,.

则对。中的任意事件8,都有3=网+34+…+84，且

P(B)=£P(/M,)=£P(A)P(BIA).

1=11=1

注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简

单事件的概率计算，即运用了“化整为零''的思想处理问题.

(2)什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，

在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.

(二)贝叶斯公式

(1)一般地，当O<P(A)<1且P(8)>0时，有

P(A|B)=P(A)P(8|A)=-(A)P⑻f)_

P(B)~P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)

(2)定理2若样本空间Q中的事件A,4,…，4满足：

①任意两个事件均互斥，却A4=0，j，J=i，2,…,〃，，工人

②A+A]+…+A”=Q；

③0<P(4)<l,/=1,2，…,

则对C中的任意概率非零的事件B,都有8=网++…+84”，

且P(A⑶一"(例33网4)

工尸(4)尸(814)

J=1

注意：(I)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找

原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法

就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件8发生的各种原因可能性的大小，称

之为后验概率.

(2)贝叶斯公式充分体现了P(A|3),P(A),P网，P(B\A),P(A8)之间的

转关系，即尸(A|8)="或，P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B\A)P(A),

P(B)

P(B)=P(A)P(BfA)+P(A)P(B|A)之间的内在联系.

六、离散型随机变量的分布列

1、随机变量

在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用•个确定的数字表

示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变

化的变量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,&,〃，…表示.

注意：(1)一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能

结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果.这种试验就是随机

试验.

(2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示.如掷一枚硬币，

X=o表示反面向上，X=1表示正面向上.

(3)随机变量的线性关系：若x是随机变量，y=ax-b,是常数，则y也是随机

变量.

2、离散型随机变量

对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量.

注意：（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值.

（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一

区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变

量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量（I勺结果可以按一定的次序一一列

出，而连续型随机变量的结果不能•一列出.

3、离散型随机变量的分布列的表示

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为内,工，…，西,…，4,X取每一个值七

（，=1,2,…，〃）的概率P（X=%）=pi,以表格的形式表示如下：

XA・•・・•・

PP1Pi•••Pi•••Pn

我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起

见，也用等式P（X=%）=〃,，i=l,2,…,〃表示X的分布列.

4、离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：

（1）p.>0»i=l,2,•••，"；（2）〃]+“2+…+〃“=].

注意：

①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数.

②随机变量J所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概

率.

七、离散型随机变量的均值与方差

1、均值

若离散型随机变量X的分布列为

••••••

Xx2Xi

PPlPl•••Pi•••Pn

称E（X）"PI+w〃2+…+菁〃,+…+X.凡=1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了

离散型随机变量取值的平均水平.

注意：（1）均值凤X）刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征；

（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的

分布可以有相同的均值.这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均

值.而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变

量的性质.

2、均值的性质

(1)E(C)=C(。为常数).

(2)若y=(zX+。，其中4,。为常数，则y也是随机变量，且E(aX+〃)=aE(X)+〃.

(3)E(X,+X2)=E(X,)+E(X2).

(4)如果%,占相互独立，则以为。2)=双X)W(XJ.

3、方差

若离散型随机变量X的分布列为

XX2•••菁•••

PPiPl•..Pi•..Pn

则称。(X)=BXij-E(X))2p,为随机变量X的方差，并称其算术平方根疯方为随机变量

1=1

X的标准差.

注意:(1)(z-E(X))2描述了*&=1,2，…，〃)相对于均值E(x)的偏离程度,而Q(X)是

上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量

的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随

机变量偏离于均值的平均程度越小；

(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.

4、方差的性质

(1)若Y=aX+b,其中。力为常数，则丫也是随机变量，且。(aX+与=/D(X).

(2)方差公式的变形：Z)(X)=E(X2)-[E(X)]2.

八、两点分布

1、若随机变量X服从两点分布，即其分布列为

X01

PI7P

其中Ov〃vl,则称离散型随机变量X服从参数为〃的两点分布.其中P(X=1)称为成功

概率.

注意：

(1)两点分布的试验结果只有两个可能性，且共概率之和为1；

（2）两点分布又称0-1分布、伯努利分布，其应用十分广泛.

2、两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为广的两点分布，则

E（X）=1xp+Ox（1-/?）=/?,D（X）-p[\-p）.

九、〃次独立重复试验

1、定义

一般地，在相同条件下重复做的〃次试验称为〃次独立重复试验.

注意：独立.重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；

③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

2、特点

（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的：

（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例.

十、二项分布

1、定义

一般地，在〃次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生

的概率为〃，不发生的概率4=1-〃，那么事件A恰好发生&次的概率是

（&=0,1,2........n）

于是得到X的分布列

X01•・・k・・・n

Pc：p°qnCW•・・Cf”尸•・•c：囱。

由于表中第二行恰好是二项式展开式

（4+〃）"=Cp%"+C；p家t+.••+（：：+…+C：各对应项的值，称这样的离散型

随机变量X服从参数为明〃的二项分布，记作X〜8（〃，〃），并称〃为成功概率.

注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即〃=1时的二项分

布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式.

2、二项分布的适用范围及本质

（1）适用范围：

①各次试验中的事件是相互独立的；

②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；

③随机变量是这〃次独立重复试验中事件发生的次数.

（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

3、二项分布的期望、方差

若X〜B(〃，p),则E(X)=np，D(X)=np(i-p).

十一、超几何分布

1、定义

在含有例件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则事件｛X=2｝发生的概

率为p（X=A）=k=0,j,2,in,其中zn=min{M,〃},且

MSN,n,何，NsN',称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几

何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.

X01••・m

z*^lz**n-l

P・-・

C：cQ

2、超几何分布的适用范围件及本质

(1)适用范围：

①考察对象分两类；

②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数丫的概率分布.

(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同

的.

十二、正态曲线

1、定义：我们把函数/。(工)=7=02/XW(-OO,+8)(其中〃是样本均值，O■是样

本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，

两边低.

2、正态曲线的性质

(1)曲线位于X轴上方，与X轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它美丁直线x=〃对称；

(3)曲线在处达到峰值(最大值)‘异；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移，如图甲所示:

(6)当〃一定时，曲线的形状由。确定.。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集

中；。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：:

十三、正态分布

1、定义

随机变量X落在区间(〃，句的概率为P(a<X«》)=[%o(x)(k,即由正态曲线，过点

(a,0)和点伯，0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的立面图形的面积，如下图中阴影部

分所示，就是X落在区间(a,回的概率的近似值.

一般地，如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X«〃)=f0s(x)&,则

称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数〃，。确定，因此正态分布常记作

N(〃，〃).如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N(",〃).

其中，参数〃是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；。是

衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

2、3。原则

若X~，/),则对于任意的实数a>0,P(/i-a<X<p+a)=心为下图中

阴影部分的面积，对于固定的〃和。而言，该面积随着。的减小而变大.这说明。越小，

X落在区间(〃-s〃+〃]的概率越大，即X集中在〃周围的概率越大

P(/z-3cr<X<//+3b)=0.9974.

由P(〃-3bvXW〃+3oj=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(〃-3b,〃+3b)之

内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能

发生，即为小概率事件.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量

X只取（〃-3b,〃+3。）之间的值，并简称之为3b原则.

【概率常用结论】

一、古典概型

1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件数.

因此要注意清楚以下三个方面：

（1）本试脸是否具有等可能性；

（2）本试验的基本事件有多少个；

（3）事件A是什么.

2、解题实现步骤：

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数加；

到甲八TD/八A包含的基本事件的个数*.山禽“1Vl应诙

（4）利用公式P（A）=——甘+十兄仇、…——求出事件A的概率.

基本事件的息数

3、解题方法技巧：

（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.

②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.

二、随机变量的分布列和数学期望

1、超几何分布和二项分布的区别

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的：

而二项分布是“有放回”抽取（独立重复：），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

2、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量x只取

（〃-3<r,〃+3b）之间的值.如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说

明出现了意外情况.

3、求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法：

（1）根据题目中给出的条件确定〃与。的值.

（2）将待求问题向（〃一（J,〃+cr],（〃一2b,〃+2b],（4-3。，〃+3b]这三个区间进行

转化；

（3）利用工在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后

结果.

4、假设检验的思想

（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和

从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假

设.

（2）若随机变量4服从正态分布则J落在区间（〃-30,〃+3日内的概率为

0.9974,亦即落在区间仪-3b,〃+30］之外的概率为0.0026,此为小概率事件.如果此

事件发生了，就说明J不服从正态分布.

（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：

小概率事件是指发生的概率小于3%的事件.对于这类事件来说，在大量重复试验中，平

均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.不

过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多

了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理“进

行推断时，也有3%犯错的可能性.

名校模拟探源

一、单选题

I.（2024.内蒙古.三模）三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定,

则恰有一人参加晚会的概率为（）

A.£B.—C.-D.?

2738

【答案】B

【分析】列举基本事件空间，可得概率.

【详解】设三人为A,B,C,则参加晚会的情况有A,B,C,ABfACtBC,

ABC,共7种情况，

其中恰有一人参加晚会的情况有3种，

故所求的概率为:，

故选：B.

2.(2024.河北保定.三模)某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈

“科目三”，已知某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈

“科目三”的概率为()

A.-B.-C.-D.-

7777

【答案】B

【分析】利用对立事件思想解题即可.

[详解】该人不能欣赏到舞蹈“科目三”的概率尸=[I=2=;，

则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率p=1T,

故选：B.

3.(2024・湖南长沙•三模)已知随机变量X服从正态分布且

P(X<2-k)=P(X>2+k)=0.\k>0f则P(2<XW2+k)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】A

【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可

2-14-2+/-

【详解】根据正态曲线的对称性，由P(X<2-Q=P(X>2+幻，得〃，；十.二2,

因为尸(Xv2—&)=P(X>2+&)=0.3,4>0,

所以夕(2vX42+&)=0.5—0.3=0.2.

故选：A

4.(2024•安徽•三模)已知正方体的楂长为1,若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这

4个点可以构成体积为:的四面体的概率为()

A1「2「3n6

A.—R.—C.—D.—

35353535

【答案】A

【分析】本题考查排列组合与古典概型概率计算.

【详解】设正方体为A8CO-A8CQ,则满足体积为;的四个顶点只有知

两种情况满足，故所求概率P=[

故选：A

5.（2024・山东日照•三模）从标有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取三次,每次抽

取一张，则出现重复编号卡片的概率是（）

A12n13「22n23

A.—B.—C.—D.一

25252525

【答案】B

【分析】先求出5张卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重复的基本事

件，利用间接法以及古典概型即可求解.

【详解】5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，共有5^=125种取法，

三次都不重复的取法有A；=60种，

由加法原理和乘法原理，

出现重复编号卡片的概率尸=1-与=R.

525

故选：B.

6.（2024•河南•三模）己知

P（//-cT<X<//+<T）=0.6827,P（//-2<T<X<//+2（T）=0.9545,P（xz-3cr<X<//+3<T）=

0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量y（单位：克）服从正态分布

N（600,4）,从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数

约为（）

A.286B.293C.252D.246

【答案】B

【分析】根据正态分布的对称性求出尸“2596）的概率，即可得解.

【详解】由题意得〃=600,。=\/?=2,

/、/\P（U-2（y<Y<>u+2（T）

P（Y>596）=P（y>/z-2<7）=0.5+-----------------=0.97725,

0.97725x300=293.175«293,

所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.

故选：B.

7.（2024•江西鹰潭•三模）抛掷一枚骰子两次,将得到的点数分别记为。力，则46能构

成三角形的概率是（）

【答案】A

【分析】按照分类讨论的方法求出。力,6能够构成三角形的基本事件数，然后利用古典概

型的概率公式求解即可.

【详解】因为三角形两边之和大于第三边，所以

又因为力最大为12,所以“十〃=7,8,9,10,11,12

当。+〃=7时，有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共六种情况，

当a+6=8时,有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共五种情况，

当a+b=9时,有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)共四种情况，

当〃+。=10时，有(4,6),(5,5),(6,4)共三种情况,

当a+6=11时,有(5,6),(65)共两种情况,

当人=12时，有(6,6)一种情况，所以共有6+5+4+3+2+1=21种情况，

而总的可能数有6x6=36种，

所以概率为2亮1=7g

3o12

故选：A.

8.(2024・四川内江•三模)文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片.自内

江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动

提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作.在活动中，甲、乙两名同学利用周末时

间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从48,C,。四个路口中随机选择一个

路口，设事件M为“甲和乙至少有一人选择了A路口”，事件N为“甲和乙选择的路口不相

同”，则P(Nl")=()

A.-B.-C.-D.-

6789

【答案】B

【分析】利用缩小样本空间的方法计算条件概率即可.

【详解】由题意可知甲乙随机选择路