2026中考数学一轮复习课件第22讲：锐角三角函数及其应用（课件）

第四章三角形第22讲锐角三角函数及其应用3大考点精讲+专训2大中考命题点+20大题型探究01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求三角函数值的确定特殊角的三角函数值解直角三角形★★★探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.能用锐角三角函数解直角三角形.能用相关知识解决一些简单的实际问题.【考情分析】锐角三角函数值的考查多以选择题、填空题为主，解题的一般过程是构造直角三角形，确定相应的边长，利用定义求相应的三角函数值，试题难度中等，解题关键是正确添加辅助线，确定合适的直角三角形.★★【命题预测】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.解直角三角形的应用★★02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究解直角三角形的应用考点三解直角三角形考点二锐角三角函数考点一锐角三角函数1.正弦、余弦、正切锐角三角函数考点一正弦在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

余弦在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

正切在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

锐角三角函数考点一1.正弦、余弦、正切1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.3）tan²A表示tanA×tanA

，可以写成（tanA）²

，不能写成tanA²

(正弦、余弦相同).【注意】锐角三角函数考点一2.锐角三角函数锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°），，取值范围在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论0＜sinA

＜10＜cosA

＜1tanA＞0增减变化当0°＜∠A＜90°，sinA，tanA随∠A的增大而增大，cosA随∠A的增大而减小.【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.锐角三角函数考点一3.特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：三角函数值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα

锐角三角函数考点一4.锐角三角函数的关系

锐角三角函数考点一针对练习

BC

03考点突破·考法探究解直角三角形的应用考点三解直角三角形考点二锐角三角函数考点一解直角三角形解直角三角形考点二1.解直角三角形

∟定义一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：

三角函数是连接边与角的桥梁.

【补充】解直角三角形考点二2.解直角三角形的常见类型已知条件解法步骤图示

两边斜边和一直角边(如c，a)两直角边(如a，b)

一边一角

斜边和一锐角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，

一直角边和一锐角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，

另一直角边和一锐角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，解直角三角形考点二2.解直角三角形的常见类型【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).解直角三角形考点二针对练习

正弦函数的定义03考点突破·考法探究解直角三角形的应用考点三解直角三角形考点二锐角三角函数考点一解直角三角形的应用解直角三角形的应用考点三1.仰角、俯角仰角和俯角是相对于水平线而言的:在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.视角：视线与水平线的夹角叫做视角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角【注意】解直角三角形的应用考点三2.坡度、坡角

【注意】3.方位角、方向角方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别的：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°

西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°解直角三角形的应用考点三4.解直角三角形实际应用的一般步骤①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.解直角三角形的应用考点三针对练习

解直角三角形的应用考点三针对练习

04题型精研·考向洞悉理解锐角三角函数的概念题型01锐角三角函数命题点一求角的三角函数值题型02由三角函数求边长题型03由特殊角的三角函数值求解题型04特殊角三角函数值的混合运算题型05根据特殊角三角函数值求角的度数题型0604题型精研·考向洞悉已知角度比较三角函数值的大小题型07相似三角形的性质与判定-拔高命题点二利用同角的三角函数求解题型08利用互余两角的三角函数关系求解题型09三角函数综合题型10在平面直角坐标系中求锐角三角函数值题型11在网格中求锐角三角函数值题型13特殊角三角函数值的另类应用题型12【例1】（2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosα的值越大，梯子越陡C．tanα的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠α的函数值无关命题点一锐角三角函数►题型01理解锐角三角函数的概念A方法指导

命题点一锐角三角函数►题型01理解锐角三角函数的概念

BD正弦三角函数的定义命题点一锐角三角函数►题型02求角的三角函数值方法技巧求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,如果已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.

命题点一锐角三角函数►题型02求角的三角函数值

方法指导解题的关键：٭掌握完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性及锐角的正弦的含义٭熟练应用勾股定理的逆定理判定直角三角形，

命题点一锐角三角函数►题型02求角的三角函数值

命题点一锐角三角函数►题型03由三角函数求边长

方法指导解题的关键：٭掌握圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定；٭熟练应用三角函数求边长

命题点一锐角三角函数►题型03由三角函数求边长

方法指导解题的关键：٭掌握圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定；٭熟练应用三角函数求边长

命题点一锐角三角函数►题型03由三角函数求边长

命题点一锐角三角函数►题型04由特殊角的三角函数值求解

方法指导解题的关键：٭掌握分式的化简求值，特殊角的三角函数值٭熟记特殊角三角函数值

命题点一锐角三角函数►题型04由特殊角的三角函数值求解

BB

命题点一锐角三角函数►题型05特殊角三角函数值的混合运算方法技巧有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.

命题点一锐角三角函数►题型06根据特殊角三角函数值求角的度数

方法指导解题的关键：٭掌握全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理٭熟记三角函数值及弧长公式，利用三角函数值熟练求出角度

命题点一锐角三角函数►题型06根据特殊角三角函数值求角的度数

命题点一锐角三角函数►题型06根据特殊角三角函数值求角的度数

解题的关键：٭掌握锐角三角函数的增减性٭注意分类讨论．掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．命题点一锐角三角函数►题型07已知角度比较三角函数值的大小

D方法指导

命题点一锐角三角函数►题型07已知角度比较三角函数值的大小

A．越来越小 B．不变

C．越来越大 D．无法确定AA

命题点一锐角三角函数►题型08利用同角的三角函数求解

解题的关键：٭掌握特殊角的三角函数值，同角三角函数转化，解一元二次方程，代数式求值٭正确理解题干参考公式．熟练掌握相关运算法则，并正确计算方法指导

命题点一锐角三角函数►题型08利用同角的三角函数求解

解题的关键：٭掌握特殊角的三角函数值，同角三角函数转化，解一元二次方程，代数式求值٭正确理解题干参考公式．熟练掌握相关运算法则，并正确计算方法指导

命题点一锐角三角函数►题型08利用同角的三角函数求解

A

命题点一锐角三角函数►题型09利用互余两角的三角函数关系求解

解题的关键：٭掌握三角函数的实际应用٭正确利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值．方法指导

命题点一锐角三角函数►题型09利用互余两角的三角函数关系求解

命题点一锐角三角函数►题型10三角函数综合

解题的关键：٭熟练掌握三角函数的实际应用٭掌握旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用及矩形的判定和性质方法指导命题点一锐角三角函数►题型10三角函数综合

命题点一锐角三角函数►题型10三角函数综合

Q

命题点一锐角三角函数►题型10三角函数综合

命题点一锐角三角函数►题型10三角函数综合

N

命题点一锐角三角函数►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

解题的关键：٭熟练掌握三角函数正弦的实际应用٭掌握反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理方法指导

命题点一锐角三角函数►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

解题的关键：٭熟练掌握三角函数正弦的实际应用٭掌握反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理方法指导

CD

命题点一锐角三角函数►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

命题点一锐角三角函数►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

命题点一锐角三角函数►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

命题点一锐角三角函数►题型12特殊角三角函数值的另类应用

解题的关键：٭熟练掌握公式的变化，以及锐角三角函数值的计算٭正确理解所给计算公式方法指导

命题点一锐角三角函数►题型12特殊角三角函数值的另类应用

命题点一锐角三角函数►题型13在网格中求锐角三角函数值

DB解题的关键：٭熟练掌握三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理٭正确理解余弦的定义方法指导命题点一锐角三角函数►题型13在网格中求锐角三角函数值1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（

）

C解：连接AD，如图：D

命题点一锐角三角函数►题型13在网格中求锐角三角函数值

04题型精研·考向洞悉解直角三角形的相关计算题型01解直角三角形命题点二构造直角三角形求不规则图形的边长或面积题型02运用解直角三角形的知识解决视角相关问题题型03运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题题型04运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题题型05运用解直角三角形的知识解决实际问题题型06运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）题型07命题点二解直角三角形►题型01解直角三角形的相关计算

解题的关键：٭熟练掌握矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识٭正确理解余弦的定义方法指导

命题点二解直角三角形►题型01解直角三角形的相关计算

B

命题点二解直角三角形►题型02构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

解题的关键：٭熟练掌握矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识٭正确理解余弦的定义方法指导命题点二解直角三角形►题型02构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

命题点二解直角三角形►题型02构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

命题点二解直角三角形►题型03运用解直角三角形的知识解决视角相关问题方法技巧1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长.2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.命题点二解直角三角形►题型03运用解直角三角形的知识解决视角相关问题

解题的关键：٭掌握解直角三角形的方法，理解仰角与俯角的含义٭正确理解三角函数的定义方法指导

命题点二解直角三角形►题型03运用解直角三角形的知识解决视角相关问题

命题点二解直角三角形►题型04运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题方法技巧方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解.命题点二解直角三角形►题型04运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题

解题的关键：٭掌握方位角视角下的解直角三角形，会构造直角三角形٭熟练运用锐角三角函数方法指导命题点二解直角三角形►题型04运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题

命题点二解直角三角形►题型04运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题

命题点二解直角三角形►题型04运用解直角三角形的知