2022-2023学年江苏省G4联盟高三上学期12月联考数学试题含答案

试卷第1页，共5页G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学中，只有一项是符合题目要求的.2．若复数z的共轭复数z满足i.z=4+3i（其中i为虚数单位则z.z的值为()3．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）.根据该折线图，下列说法错误的是()A．城镇人口与年份呈现正相关B．乡村人口与年份的相关系数r接近1C．城镇人口逐年增长率大致相同D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y=2x2e|x|在[–2,2]的图象大致为()A．B.试卷第2页，共5页D.5．椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为6．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数书九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a，盆底半径为b(0<b<a)，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为()237．在数列中，sin.sin则该数列项数的最大值为()8．在△ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，点P在该三角形的内切圆上运动，若有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分.a2a10．已知函数f(x)=ex-a+ea-x，g(x)=ex-a-ea-x，则()A．函数y＝g(x)有且仅有一个零点B．f,(x)＝g(x)且g,(x)＝f(x)试卷第3页，共5页C．函数y＝f(x)g(x)的图象是轴对称图形D．函数y=在R上单调递增11．乒乓球（tabletennis被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为f(p)，下列说法正确的是()A．三局就结束比赛的概率为p3+(1-p)3B．f(p)的常数项为312．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，PA=AB=1,G为PC的中点，M为平面PBD上一点下列说法正确的是()A．MG的最小值为B．若MA+MG=1,则点M的轨迹是椭圆D．存在点M，使得直线BM与CD所成角为30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．的二项展开式中的常数项为.14．如图，将绘有函数=Msin部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A,B之间的距离为·,则φ=.15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n项和，进而可利用该法求数列{(2n-1).3n}的前n项和Sn，其操作步骤如下：试卷第4页，共5页22始比如上方法可求数列{n2.3n}的前n项和Tn，则2Tn+3=.16．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=2x.若对任意x∈[1,3]，不等式f(x+a)≤f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是.步骤.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若m为正整数，记集合的元素个数为bm，求数列{bm}的前20项和.18．在轴截面为正方形ABCD的圆柱中，M,N分别为弧AD，弧BC的中点，且在平面ABCD的两侧.(1)求证：四边形ANCM是矩形；19．文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N个字脱落.(1)若N=3，用随机变量X表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X的分布列及期望；(2)若N=2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率.试卷第5页，共5页若CB=，求△ABC的面积.21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P在抛物线C1:y2=4x上，圆(1)若r=1，Q为圆C2上的动点，求线段PQ长度的最小值；(2)若点P的纵坐标为4，过P的直线m,n与圆C2相切，分别交抛物线C1于A,B（异于点P求证：直线AB过定点.22．若对实数x0，函数f(x)，g(x)满足f(x0)=g(x0)且f(x0)=g(x0)，则称为“平滑函数”，x0为该函数的“平滑点”.已知f=ax3—(1)若1是平滑函数F(x)的“平滑点”，(ⅱ)若过点P(2,t)可作三条不同的直线与函数y=F(x)的图象相切，求实数t的取值范围；(2)对任意b>0，判断是否存在a≥1，使得函数F(x)存在正的“平滑点”，并说明理由.答案第1页，共17页【分析】根据集合间的交集运算即可.【详解】故选：A.【分析】求出共轭复数z，以及复数z，即可求出z.z的值.【详解】故选：D.【分析】根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，A对；对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以r接近一1，B错；对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数r接近1，故城镇人口逐年增长率大致相同，C对；对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D对.故选：B.【详解】试题分析：函数f(x)=2x2一e|x||在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，答案第2页，共17页所以排除A,B选项；x有一零点，设为x0，当x∈(0,x0)时，f(x)为减函数，当x∈(x0,2)时，f(x)为增函数.故选：D.【详解】试题分析：设椭圆方程为其焦点坐标为F1(-c,0)，由已知P、Q坐标为△PF2Q的周长为36a2=b22所以(a-9)(a+4)=0因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为，故选C.考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质.点评：过F1的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△PF2Q是一直角三角形.【分析】补全圆台为圆锥，可得到以a为底面半径的圆锥体积与以b为底面半径的圆锥体积之比为a33，再结合题意分析即可.【详解】经圆台形的天池盆补形为圆锥，则以a为底面半径的圆锥体积与以b为底面半径的圆锥体积之比为a3:b3，如图所示，答案第3页，共17页设以a为底面半径的圆锥体积为a3，则以b为底面半径的圆锥体积为b3，以为底面半径的圆锥体积为，故选：D.【分析】根据题意确定{sin2an}为等差数列，并根据{sin2an}的范围即可确定求解.【详解】n)n+1-annn+1-ann2所以{sin2an}为等差数列，公差为， 所以≤1-sin2a1≤1→n≤11，故选:C.【分析】答案第4页，共17页出cosA、sinA、BC边上高h，内切圆半径r，最后根据平行线等比关系即可求解.【详解】在内切圆上，由平行线等比关系可得，要使m+n，即AP与AE之间的比例最小，则P在内切圆的最高点，如图所示，因为sinA>0，所以sinA=设BC边上高为h，内切圆半径为r，可得m+n的最小值为故选：B.【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到m+n=令观察到分母的系数相加为1，则可得到E为BC上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置答案第5页，共17页【分析】结合基本不等式即可判断A、B、C选项，D选项先利用和差化积公式可得到sina+sinb=2sin.cos再结合三角函数性质即可判断.【详解】故A不正确；.2b正确；故选：BCD.【分析】根据零点的定义判断A，根据导数运算公式判断B，通过判断函数的奇偶性判断C，根据导数与函数的单调性的关系判断D.【详解】对于B，由f(x)=ex一a+ea一x，g(x)=ex一aeax可得f,(x)=exaeax，g,(x)=exa+eax，B正确；2xe2x，因为F(x+a)=F(x+a)，所以函数F(x+a)为奇函数，所以F(x+a)的图象关于原点对称，所以F(x)的图象关于点(a,0)对称，即函数f(x)g(x)的图答案第6页，共17页象关于点(a,0)对称；故C错误；对于D，函数y=的定义域为R，又所以函数在R上单调递增，D正确；故选：ABD.11．ABD【分析】设实际比赛局数为x，先计算出x可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值f(p)，即可判断BCD选项.【详解】设实际比赛局数为x，(1-p)2，因此三局就结束比赛的概率为p3+(1-p)3，则A正确；则2(,由f(0)=3，则常数项为3，则B正确；由f,(p)=24p3-36p2+6p+3=3(2p-1)(4p2-4p-1)，:0≤p≤1，所以4p2-4p-1<0，:令f,(p)>0，则0≤p<；令f,(p)<0，则<p≤1，答案第7页，共17页则函数在上单调递增，在上单调递减，p+C-pp37所以关于p=对称，且p越极端，越可能快结束，有则C不正确.故选：ABD.【分析】根据空间向量的坐标运算求出点G到平面PBD的距离即可判断选项A，先根据题意确定M点在椭球上，再证明椭球的长轴垂直于M所在的平面，即可判断选项B，根据题意求出MH为定值，即可确定M的轨迹进而判断选项C，根据线线角大度等于线面角可判断选项D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，BD=(-1,1,BD=(-1,1,0),BP=(-1,0,1,则点G到平面PBD的距离 3所以当MG丄平面PBD时，MG的最小值为·\，故A 36所以点M的轨迹在以A,G为焦点的椭球面，又因为，所以AG丄平面PBD，即平面PBD垂直于椭球的长轴所在直线AG,所以点M的轨迹是圆，故B错误；设AH丄平面PBD，H∈平面PBD，由以上过程知G到平面PBD的距离所以A到平面PBD的距离AH=2d=MH2=AM2—AH2=所以点M的轨迹围成图形是以H为圆心MH为半径的圆，面积等于πMH2=，故C正确；,设CD与平面PBD所成的角为θ,所以θ>30o，因为BM平面PBD，所以BM与CD所成角≥θ>30o，故不存在点M，使得直线BM与CD所成角为30°,故D错误.故选:AC.【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意，即可容易求得结果.【详解】故答案为：15.6【分析】答案第8页，共17页根据三角函数图象的性质结合函数图象求解即可.【详解】如图，因为f(x)的周期为所以， 2因为0<φ<所以φ=或，又因为函数f(x)在y轴右侧单调递减，所以φ=.故答案为:.n2-n+1).3n+1【分析】结合求Sn的操作步骤类比求Tn即可.【详解】23T222.3n+1，两式相减得2Tn=-3+(12-22).32+(22即2Tn=-3-(3.32+5.33+…+(2n-1).3n)+n2.3n+1，答案第9页，共17页答案第10页，共17页2.3n+1.3n+1.【分析】先根据函数奇偶性求出函数f(x)解析式，再将f(x+a)≤f2(x)，x∈[1,3]恒成立问题转化为3x≤a≤x恒成立，即可求解.【详解】由题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=2x，设x<0，则x>0，即f(x)=2x=f(x)，所以f(x)=2x，(2)397【分析】(1)根据an,Sn的关系求通项公式；(2)利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】答案第11页，共17页经检验a1=1满足上式子，故an=n因为当且仅当n=2时成立，所以能使成立的n的最大值为2m—1，18．(1)证明见解析【分析】（1）根据几何位置关系，先证明四边形ANCM是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理即可证明；（2）利用几何法找到二面角，用余弦定理求解即可.【详解】（1）证明：设轴截面正方形ABCD边长为2a，取弧BC另一侧的中点Q，答案第12页，共17页则BC与NQ垂直平分，且BC=NQ=2a，所以四边形BNCQ为正方形，BQ=NC=因为M为弧AD中点，所以MQ//AB，四边形ABQM为矩形，所以AM//BQ，所以AM//CN，所以四边形AMCN为平行四边形，所以AM2+AN2=MN2=8a2，所以AM丄AN，所以四边形ANCM为矩形；所以△MNB≌△MNC，Rt△MBN斜边MN上的高作BP丄MN交MN于点P，连接CP，在△BPC中，由余弦定理得cos上BPC=二面角B—MNC的余弦值为.19．(1)分布列见解析(2)0.6【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.【详解】（1）方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2，随机变量X的分布列如下表：X012P 35 随机变量X的期望为E(X)=0×=1.2法二：随机变量X服从超几何分布，所以E（2）设脱落一个“学”为事件A，脱落一个“好”为事件B，脱落一个“数”为事件C，事件M为脱落两个字M=AA+BB+AB+AC+BC，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为法二：掉下的两个字不同的概率为=0.8，所以标语恢复原样的概率为p=0.6.答案第13页，共17页答案第14页，共17页【分析】利用平面向量数量积的运算性质结合（2）由已知条件结合三角形的内角和可得出由已知可得出sinC=2sinB结合两角差的正弦公式化简可得出利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得sinA的值，再利用三角形的面积公式可求得△ABC的面积.【详解】解：因为，则所以，22所以，sinA=cos化简整理得，故△ABC的面积为S△ABC=bcsinA=(2)证明见解析【分析】(1)转化为抛物线上的点到圆心距离减去半径的最小值；(2)根据直线圆