上海市杨浦区2026届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题（解析版）

杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科2025.12.考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.详解】由不等式，可得，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.2.函数的最小正周期为______.【答案】【解析】【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解.【详解】函数的最小正周期，故答案为：.3.已知向量，，且，则实数______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直坐标表示可得答案.【详解】因，则.故答案为：4.若复数满足：，则_______.【答案】【解析】【分析】先根据复数的运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可求出答案.【详解】由得，，则.故答案为：.5.(x－2)6的展开式中x2的系数为_________.【答案】240【解析】【分析】先求得(x－2)6的展开式的通项公式，再令x次数为2求解.【详解】(x－2)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝·(－2)r·x6－r，令6－r＝2，求得r＝4，所以(x－2)6展开式中x2的系数为·(－2)4＝240.故答案为：240【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数，属于基础题.6.已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．【答案】【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.7.圆的圆心到直线的距离为______.【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式计算即得.【详解】圆的圆心到直线的距离为.故答案为：.8.已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______.【答案】【解析】【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可.【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，所以.故答案为：.9.等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，则，所以，整理得到，所以，故答案为：.10.已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______.【答案】【解析】【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值.【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得.又因为为偶函数，所以，.因为，所以.故答案为：.11.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号）【答案】②③④【解析】【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断.【详解】设，在中，，同理可得，由于均为已知量，故均为定值.对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解.例如，若，则可得，即，解得或，由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误；对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值，又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确；对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程.又，故，即有两解，设两解分别为，由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解，又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确；对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确，故答案为：②③④.12.数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____.【答案】1926【解析】【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案.【详解】由题意，要，则需满足，即，即，由已知数列为递增数列，，则有，设，则，又，则，则；，则，则，所以，则整数个数为，则“好的”数列的个数为1926.故答案为：1926.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案．【详解】对于A，令，满足，此时，，故A错误；对于B，由，两式相加得，故B正确；对于C，令，满足，此时，，故C错误；对于D，令，满足，此时，，故D错误.故选：B14.若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD.【详解】若，，则或为异面直线，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确；若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误；故选：C.15.已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（）A有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到点在双曲线的渐近线上，结合双曲线的几何性质，以及向量的夹角的定义，即可求解.【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为，则点满足渐近线，所以点在双曲线的渐近线上，所以过点存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线，所以向量的夹角不存在最小值，过点作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为两点，此时，因为，所以向量的夹角存在最大值，最大值为，综上可得，向量的夹角存在最大值，不存在最小值.故选：A.16.函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（）A.①正确，②正确 B.①正确，②错误C.①错误，②正确 D.①错误，②错误【答案】B【解析】【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设，分讨论即可说明②不成立.【详解】假设，在上单调递增函数，对于任意实数，，，，，，故①正确；设，当时，，，此时取，则，不满足；当时，，取，则，因为，所以，所以，此时，不满足；当时，，取，则，不满足.综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，在长方体中，为上一动点，已知，.（1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示）（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先找出即为直线与平面所成角，再求的大小即可；（2）根据，再利用三棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】连接，由题意得平面，则即为直线与平面所成角，又，在直角中，，，，则，所以直线与平面所成角的大小为.【小问2详解】由题意得，平面，则.所以三棱锥的体积为.18.已知函数，.（1）记，求证：函数为偶函数；（2）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式得，再根据偶函数的定义证明即可；（2）利用辅助角公式整理，根据已知求出，利用余弦定理结合已知可得的值，最后由三角形面积公式求解.【小问1详解】根据题意，，则，所以函数为偶函数；【小问2详解】由辅助角公式得，则，所以，可得，由余弦定理可得，由于，，则，解得（舍去负根），由已知得，则，所以.19.为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人?（3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到）【答案】（1）（2）（3）平均数为，方差为【解析】【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出；（2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可；（3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可得，解得.【小问2详解】由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人），其中样本考核成绩在的市民人数为，用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）．【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为，成绩在的市民人数为，所以总平均数，总方差.20.已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.（1）若椭圆的离心率为，求的值；（2）已知，且是线段的垂直平分线，求的值；（3）已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率的概念列式求即可.（2）根据题意，设，则，，根据列式可求的值，在根据点在椭圆上，可求的值.（3）根据题意，可求出的坐标，进而求直线的斜率.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，又，所以.【小问2详解】因为，且是线段的垂直平分线，所以是线段的中点.所以可设，则，.所以，.由.又点在第一象限，所以，所以，即.又点在椭圆上，所以.又，所以.【小问3详解】因为，所以椭圆：.如图，作出符合题意的图形，因为点是线段的中点，可设，，则.设，因为.因为都在椭圆上，所以.因为点在第一象限，所以.所以，，.因为，所以直线的方程为：.由.由.所以.可得，即直线的斜率为.21.已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数.（1）判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由；（2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围；（3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有.【答案】（1）是压缩函数.（2）（3）证明过程详见解析.【解析】【分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立.（2）根据压缩函数的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围.（3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数连续，再用反证法假设函数不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证.【小问1详解】已知函数，则.因为，所以，那么，所以函数，是压缩函数.【小问2详解】因为函数，为压缩函数，所以对于任意，均有.显然当时成立，不妨设，则不等式可化为：，则且，令，则在上为减函数；令则在上为增函数.对于，则由为减函数，得对恒成立，即，所以，可得；对于，其导数为由为增函数，得对成立，即恒成立，所以，可得综上，的取值范围为.【小问3详解】（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数，则对任意，均有.证明：若在上单调，①若在上单调递增，则对任意，不妨设，有，从而于是，且，则；②若在上单调递减，则对任意，不妨设，