上海市奉贤区2026届高三上学期数学一模试卷（解析版）

2025学年第一学期奉贤区高三数学练习卷一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分．）1.已知集合，，则______________．(区间表示结果)【答案】【解析】【分析】根据交集的定义即可得出答案.【详解】由交集的定义可知.故答案为：2.不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】根据绝对值不等式计算求解.【详解】因为，所以，所以，所以不等式的解集是.故答案为：.3.在二项式的展开式中，的系数是______．（用数字表示答案）【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式计算求解.【详解】二项式的展开式中，通项公式为，当时，，的系数是．故答案为：.4.已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为______．【答案】【解析】【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式.【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为，则经过点且与垂直的直线方程为，即得故答案为：5.已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______．【答案】##0.25【解析】【分析】根据等比数列的通项关系作除法运算即可得公比的值.【详解】设等比数列的公比为，因为各项均为正数，若，，则，故该等比数列的公比为.故答案为：.6.从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有______种．（用数字表示答案）【答案】【解析】【分析】根据组合数及乘法原理计算求解.【详解】从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种．故答案为：.7.在正四棱台中，异面直线与所成角的大小为______．【答案】##【解析】【分析】根据正四棱台特征得出平面，再结合线面垂直判定定理得出平面，进而得出异面直线所成的角.【详解】取中点，取中点，连接.因为四棱台是正四棱台，所以平面，平面，所以，又因为是正方形，所以，且平面，所以平面，平面，所以，所以异面直线与所成角的大小为.故答案为：.8.若函数是偶函数，则实数______．【答案】【解析】【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数.【详解】函数的定义域为，由题意可知，即，所以，因该等式对定义域内的任意都成立，故，解得故答案为：9.若复数满足，，则复数______．【答案】或．【解析】【分析】先设复数，再计算得出即可求解.【详解】设复数，复数满足，，所以，所以，或(当时，，与矛盾，故舍去)，所以，则复数或．故答案为：或．10.已知两个非负实数、满足，则的最小值是______．【答案】10【解析】【分析】由，代入结合二次函数单调性即可求解.【详解】因为两个非负实数、，，所以，，所以，令，对称轴为，由二次函数单调性可知当时，取得最小值10，故答案为：1011.在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】根据模长值得出圆的轨迹，再根据模长关系得出椭圆，最后应用圆与椭圆的位置关系得出最值即可.【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设，向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆，，向量满足，表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点，因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离，则.故答案为：16．12.运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定：（1）将足球看成一个质点；（2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行；（3）射门时，足球与球门之间无防守员；（4）足球场平面图是一个矩形；（5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米；如图，以线段所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、，两个角球点为、，是半场分界线．对于区域内，射门点，对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时，时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点．对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当______时，最大．此时，点是最佳射门点．【答案】【解析】【分析】作的外接圆，得到圆心所在直线，由圆的圆心角和圆周角的关系找到最大时两点的位置关系，即可求得的值.【详解】如图，，设作的外接圆，∵，，∴圆心在轴正半轴上.则，∴当最大时，取最大值，，∴，∴当取最小值时，取得最小值，∵，所以取最大值，又∵，点为直线上动点，∴当时，取得最小值，此时，即.故答案为：.二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）13.设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（）A. B.C.时， D.【答案】D【解析】【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，应用对数函数单调性判断D.【详解】因为、为实数，且，当，，A选项错误；当，，B选项错误；当时，，C选项错误；当，所以，D选项正确；故选：D.14.设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.【详解】由是互不重合的平面，，是互不重合的直线，对于①中，由，则或与相交，所以不正确；对于②中，由，则或或与相交，所以不正确；对于③中，由，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得，所以正确的；对于④中，由，可得，所以正确.故选：B.15.曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（）A.曲线不可能是直线B.当，时，曲线是椭圆C.若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关D.曲线抛物线【答案】C【解析】【分析】根据的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线的方程.【详解】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误；B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误；C．因为，，所以曲线是双曲线，则，则渐近线，故C正确；D．因为曲线，、不同时为0，当时，当时，曲线是两条相交直线；当时，曲线是点；当时，曲线是点；当时，曲线是两条相交直线；当时，曲线是直线；当时，曲线是直线；当时，曲线是直线；当时，曲线是直线；当时，当时，曲线是双曲线；当时，曲线不存在；当时，曲线是椭圆；当时，曲线是圆；当时，曲线是双曲线；当时，曲线不存在；当时，曲线是直线；当时，曲线不存在；当时，曲线是直线；所以曲线不能是抛物线，故D错误；故选：C.16.已知等差数列的公差不为零，为其前项和，存在正整数满足，有两个命题：命题①：设数列公差，则．命题②：、均是小于的正整数，则．以上判断正确的是（）A.命题①②都是真命题 B.命题①是真命题，命题②是假命题C.命题①②都是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题【答案】D【解析】【分析】命题①：利用等差数列的求和公式，将条件整理得到，又，计算即可得解；命题②：利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】等差数列的公差不为零，为其前项和，，，，命题①：，，，，当时，；当且时，；故命题①错误；命题②：，、均是小于的正整数，，，，故命题②正确.故选：D.三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知函数．（1）当时，求函数的值域；（2）在中，角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数的性质计算即得；（2）由计算出，利用两角和的正弦公式求得，再借助于正弦定理计算即得.【小问1详解】，当时，，则，即的值域为；【小问2详解】，则，即，又，故或；若，由，则，由正弦定理，可得；若，由，则，由正弦定理，可得.综上，或.18.A校高一年级共有学生462名，其中女生224名．为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，按分层随机抽样从中获取66名学生的身高（cm）和体重（kg），其中66名学生的身高（从低到高排序三列，每列22人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66名学生体重绘制茎叶图如右下图．A校66名高一年级学生身高数据性别身高/cm性别身高/cm性别身高/cm女152女164男172女153男165男172女154

女172女155

男173女156

男173女156

男174女156

男174女157

男174女157

男174女159

男175女159

男176女160

男176女160

男177女160

男177女160

男178女161

男178女162

男178女163男170男178女163男170男179女164男170男181女164男170男182女164男170男184A校66名高一年级学生身高的频率分布表身高分组区间频数频率累积频数[151.5,154.5)30.053[154.5,157.5)

0.099[157.5,160.5)

0.0915[160.5,163.5)

19[163.5,166.5)

31[166.5,169.5)

39[169.5,172.5)

47[172.5,175.5)

54[175.5,178.5)80.1262[178.5181.5)20.0364[181.5,184.5]20.0366（1）能否推算出身高165cm的具体人数？（2）求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数；（3）已知这66名学生中男生身高平均数为173.1cm，方差为25.9；女生身高平均数为161.3cm，方差为23.3．请计算该样本数据在区间中包含样本数据个数．（其中是样本平均数，是样本标准差）【答案】（1）不能，理由见解析（2）抽取的男生人数为人，抽取到的男生体重的中位数为（3）【解析】【分析】（1）结合表格可得身高为、的共人，不能得到身高165cm的具体人数；（2）借助茎叶图可得抽取的男生人数，再利用中位数定义可得抽取到的男生体重的中位数；（3）借助分层抽样的平均数与方差公式，可得与，即可得，再借助身高数据表格即可得解.【小问1详解】由身高的频率分布表可得，身高位于的人数为人，由身高数据表格可得身高的有人，则身高为、的共人，故不能得到身高的具体人数；【小问2详解】由茎叶图可得抽取的男生人数为人，抽取到的男生体重的中位数为；【小问3详解】，，则，则，，则由身高数据表格可得位于区间的人数为人.19.如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点．（1）求圆锥的体积；（2）求证：直线与直线是异面直线；（3）二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解；（2）由异面直线判定定理即可求解；（3）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，进而可求解.小问1详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意可得：，所以，所以圆锥的体积【小问2详解】因为平面，平面，所以直线与直线是异面直线；【小问3详解】因为二面角的大小为，由圆锥的结构可知：，所以即为二面角的平面角，所以，又，所以，过点作于，连接，因为，为平面两条相交直线，所以平面所以即为直线与平面所成角，又，又平面，在平面内，所以，所以，所以，即直线与平面所成角大小为.20.椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．（1）求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据；（2）如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标；（3）设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由．【答案】（1）椭圆的方程为，作图见解析（2）（3）为定值【解析】【分析】（1）根据椭圆中的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点；（2）设，则，根据三角形面积公式即可得，关于的式子，利用面积比例求解即可得所求；（3）设，其中，，其中，分别与椭圆方程联立，根据根于系数的关系得与，与的关系，再根据线段比例关系计算验证是否为定值即可.小问1详解】因为椭圆中，，，椭圆的离心率是，则，解得，则椭圆的方程为；如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；【小问2详解】设，则①，且，当时，，又，因为，，所以直线的方程为，即，故点到直线的距离，，因为，所以，即②，联立①②，且，解得，故点的坐标为；【小问3详解】如图所示，，且，，则，过作轴于，过作轴于，设，其中，，恒成立，所以，则，设，其中，，恒成立，所以，则，因为，所以为定值，所以为定值.21.记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”．（1）若函数与存在“点”，求实数的值；（2）证明函数与不存在“点”；（3）已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）求导，设“点”为，解方程组，可得结论．（2）假设存在“点”为，解方程组，应用等式无解可得结论；（3）设“点”为，由，用表示出