2026年河北唐山高三数学3月高考一模试卷（含答案）

唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.样本数据1,2,3,6,12,24的中位数为A.8B.6C.4.5D.32.z表示复数z的共轭复数,若z=3+4A.2-4iB.8-4iC.22-4iD.28-4i3.已知全集U及其两个非空真子集M,N,则A.⌀B.MC.∁UM4.记Sn为等差数列an的前n项和,若a2=A.11B.9C.8D.55.某学校组织同学们假期参加社区服务活动,4名同学被分配到甲、乙两个社区,每个社区至少一名同学,则不同的分配方案有A.6种B.12种C.14种D.28种6.若x为锐角,且2sinx−12cosA.0,πC.π4,7.等轴双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆O与双曲线C交于M,N,P,Q四点.设四边形MNPQA.S1SC.S1S8.已知cosαcosA.M的最小值为−12B.MC.N的最小值为0D.N的最大值为3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知an=2n,Sn为数列A.an是等比数列B.C.1an是递减数列D.a10.若函数y=gx与函数fx=xA.fx与gx有相同的零点B.fC.fx与gx有相同的极值点D.对任意的x∈R11.O为坐标原点,抛物线C:y2=4x的准线与x轴的交点为M,直线l与x轴交于点N,与抛物线C交于A,B两点,满足OA⊥OBA.N的横坐标是4B.NAC.直线MD斜率的最大值为23D.当直线MA与C相切时,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知fx=xx−2,若13.已知点A1,1，B5,3，若将AB绕点A逆时针旋转90°得到AC14.若一个棱长为22的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器(容器壁厚度忽略不计)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，在三棱锥P−ABC中，BC=PB=PC=2，BC⊥AP(1)证明:平面ABC⊥平面APD(2)若AD=1，三棱锥P−ABC的体积为33，求直线PC16.(15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，其左顶点为A，上顶点为B，△AOB的面积是1,其中(1)求C的方程；(2)是否存在这样的直线l，使以A,B,N,M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a(1)证明:a2+(2)若bc=sinA318.(17分)函数fx(1)若fx在0,+∞单调递减，求a(2)若曲线y=fx与y=gx(i)求a的值;(ii)若fx1=gx19.(17分)某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为:在一个盲盒里,有n(足够多)张奖券,这些奖券的金额各不相等,其最大值为M,但金额具体是多少,并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额,如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖(弃掉的奖券不能再抽取)，如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖,公司将以此奖券金额作为奖励.(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；(2)若甲先抽取了kk∈N∗，且k<n张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取,若抽到奖券的金额小于m,就继续抽,当抽到第ii∈N∗,k(i)若n=5,当k=2时,求甲获得最大金额奖励M(ii)当调整k的取值时,甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若n=100,请估计p的最大值,并求此时k(估值参考:当n≥100时,0.37ln唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学参考答案一.选择题(单选):1~4.CBCA5~8.CBBD二.选择题(多选):9.AC10.ABD11.AD三.填空题:12.313.−四.解答题:(若有其他解法,请参照给分)15.解:(1)证明:由于BC=PB=PC,D得BC⊥PD.又BC⊥PA.且所以BC⊥平面APD,又BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面(2)由(1)知BC⊥平面APD，于是VP−ABC即:V得:sin∠ADP所以PD⊥AD以D为原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴,y轴,z所以PA=1设平面PAB的法向量为m=xm⋅PA又PC=0设PC与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=所以PC与平面PAB所成角的正弦值为217.1316.解:(1)由题意得ca=32a2=b2+所以A−2b因为△AOB的面积是1,所以b则椭圆C的方程为:x24(2)由题可设直线l的方程为x由x−2y+t=0则:x1+所以x1又因为A−所以MA2−NB2=x若四边形ABNM为等腰梯形,则MA所以x1=0或当x1=0时,M0,−则四边形ABNM为平行四边形,不合题意;当x1=−2时,则直线AB与直线MN重合,不合题意;综上所述,不存在这样的直线l使得以A,B,N17.解:(1)证明:因为cos2A所以1−2整理得sin2A+sin2B(2)由(1)得a2=2c2−b2cosA=2b2−c22bc=整理得sinAcosA−33整理得sin2A+因为A∈0,π,所以18.解:(1)f′x由已知得:f′x≤0,即:a≤x所以当a≤2时,fx(2)∣g′x=lnx,(ii)证明:当a=2时,fx在0,+∞因为g′x=lnx,所以当x∈0当x∈1,+∞时,gx单调递增,且当x1∈1,+∞时,f当x1=1时,fx1=0,所以gx2=0当x1∈0,1,x2当x1∈0,1fx−令mxm′x=1−x2x因为m1=0,所以mx<从而可得fx1因为fx1=gx2因为x∈1,+∞时,gx单调递增,x2,1x1综上,x1⋅19.解:(1)设抽到的第j张奖券的金额为aj设A:a1=M注意到PA=则PC=(2)仍设C:甲获得最大金额奖励M，若m=M,则PC=0,故只需考虑设Di:抽到的第ii∈N∗由于是随机抽取,抽到的每张奖券为最大金额M的机会均等,则PDi只有当m是前i−1