向量的数乘-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.3向量的数乘第1章平面向量及其应用湘教版A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

向量的数乘1

向量的数乘的定义

.

.2

向量数乘的几何意义

3

向量的线性运算

向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算（运算结果仍是一个向量）..

.学思用·典例详解

ABC

知识点2

共线向量1

向量共线的定义

2

向量共线定理

.

..

.

.

..

..

..

..

.3

向量的夹角

4

共线向量的运算

5

向量的数乘运算律

学思用·典例详解例2-2

如图1.3-1所示，找出其中的单位向量、共线的向量，并写出共线向量之间的线性关系（每个小方格的边长为1）.图1.3-1

例2-3

[多选题]下列结论中正确的是(

)BD

图1.3-2

.

.

图1.3-3

.

..

.

释疑惑

重难拓展知识点3

三点共线定理1

三点共线的判定定理

利用向量共线定理可以判断三点共线，那么如何利用向量共线的判定定理来寻找三点共线的判定定理呢？#1

2

三点共线的性质定理

3

三点共线定理

.

..

.学思用·典例详解

1

.

.题型解析03题型1

向量的线性运算1

化简例8

[教材改编P20练习

T2]化简下列各式：

2

解方程（组）

.

.解决向量的线性运算问题的基本方法向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解代数方程（组）的方法求解.【学会了吗丨变式题】

题型2

用已知向量表示相关向量图1.3-4

D

思路一

思路二

图1.3-5用已知向量表示相关向量的基本思路用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.【学会了吗丨变式题】图1.3-6

题型3

向量共线定理的应用1

向量共线的判定

.

..

.

2

证明三点共线图1.3-7

【学会了吗丨变式题】

A

题型4

向量线性运算在三角形中的运用1

判断三角形的形状

DA.等边三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

2

求三角形的面积之比

2:3

【学会了吗丨变式题】

图D

1.3-1

3

解决三角形的四心问题

母题

致经典·母题探究

BA.外心

B.内心

C.重心

D.垂心.

.

名师点评

解题时一定要灵活运用平面几何中图形的几何性质，如菱形的对角线平分其内角..

..

.子题

BA.外心

B.重心

C.垂心

D.内心

新考法

情境应用图1.3-8

A

图1.3-9

考情揭秘高考以向量的数乘为载体，从代数和几何两个方面考查向量的线性运算，既有单独命题，又作为一种运算工具融入整个向量的运算体系中，和其他知识点综合在一起命题，以选择题和填空题为主，难度较小.核心素养：数学运算（向量的线性运算等），直观想象（画出草图，以形助数等）.考向1

向量的线性运算

B

【解析】如图1.3-10，图1.3-10

命题探源本题考查利用已知向量表示相关向量，试题较为简单，重视对基础知识的考查.素养探源素养考查途径直观想象问题解决中需要通过作图辅助思考.数学运算向量的线性运算.

A

考向2

中点向量公式的应用

D

给什么得什么求什么想什么差什么找什么

图1.3-11

提分探源提分探源续表高考新题型专练

BCD图1.3-12

ACD

知识测评04

D

B

B

图D

1.3-1

B

A

图1.3-1

ABD

图1.3-2

高考模拟05

B

图D

1.3-2

A

A

ABD

图D

1