第7章气体动理论

2026/3/11第3篇热学气体动理论热力学基础2026/3/11一、热学的研究对象热现象热学研究热现象的理论热力学从能量转换的观点研究物质的热学性质及其宏观规律宏观量二、热学的研究方法微观量描述宏观物体特性的物理量；如温度、压强、体积、热容量、密度、熵等.描述微观粒子特征的物理量；如质量、速度、能量、动量等.物体与温度有关的物理性质及状态的变化2026/3/11微观粒子观察和实验出发点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质二者关系无法自我验证不深刻缺点揭露本质普遍，可靠优点统计平均方法力学规律总结归纳逻辑推理方法微观量宏观量物理量热现象热现象研究对象微观理论（统计物理学）宏观理论（热力学）2026/3/11第7章气体动理论7.1热力学系统平衡态状态参量7.2理想气体状态方程7.3理想气体的压强7.4理想气体的温度公式7.5能量均分定理理想气体内能7.6麦克斯韦速率分布率7.8气体分子的平均自由程和碰撞频率内容提要2026/3/117.1热力学系统平衡态状态参量7.1.1热力学系统1.系统和外界热力学系统

(工作物质)外界系统是由大量分子组成,如气缸中的气体．系统以外的物体．系统2.系统的分类开放系统系统与外界之间,既有物质交换,又有能量交换.热力学所研究的具体对象，简称系统．封闭系统孤立系统系统与外界之间,没有物质交换,只有能量交换.系统与外界之间,既无物质交换,又无能量交换.2026/3/11

在不受外界影响的情况下，系统的宏观性质不随时间改变的状态.7.1.2平衡态说明(1)

不受外界影响是指系统与外界不通过做功或传热的方式交换能量，如：两头处于冰水、沸水中的金属棒是一种稳定态，而不是平衡态.低温T2高温T1(2)平衡态是一种理想状态,是热动平衡状态.(3)平衡态可用p-V图上的一个点来表示.pVO2026/3/117.1.3状态参量

温度(T)体积(V)压强(p)气体分子可能到达的整个空间的体积作用于容器器壁上单位面积的正压力(大量分子与器壁及分子之间不断碰撞而产生的宏观效果)物体冷热程度的量度(大量分子热运动的剧烈程度)1.状态参量：描写系统平衡态的变量.1Pa=1N/m2,1atm=1.01325105Pa=760mmHg体积(V)的单位：立方米符号：

m3压强(p)的单位：帕斯卡符号：

Pa热力学温度(T)的单位：开尔文符号：

K2026/3/11A、B两系统用绝热板隔开各自达到平衡态A、B两系统用传热板隔开两系统各自的平衡态被破坏,最后达到共同的新的平衡状态——热平衡2.热平衡ABAB3.热力学第零定律设A和B、A和C分别达到热平衡，则B和C一定达到热平衡.ABCABC2026/3/114.温度与温标温度:表征热平衡状态下系统的宏观性质.温标——温度的数值表示法温度计——用来测量系统温度理想气体温标:水的三相点作为一个定标点摄氏温标：热力学(开氏)温标：TKt℃t=T-273.152026/3/117.2理想气体状态方程气体物态方程：理想气体物态方程：（克拉珀龙方程）对于处于平衡态的一定量的气体，其宏观参量p、V、T之间满足下方程:其中：m为气体的质量;

R为一常量,称为摩尔气体常量.

M为1mol气体分子的质量,简称摩尔质量;

R=8.31(J·mol-1·K-1)为气体的物质的量;

2026/3/11(3)混合理想气体的状态方程为:其中(1)理想气体的宏观定义：在任何条件下都严格遵守克拉珀龙方程的气体；(2)实际气体在压强不太高，温度不太低的条件下，可当作理想气体处理.且温度越高、压强越低，精确度越高.说明2026/3/11

设质量为m的气体的分子数为N,分子的质量为μ,

1mol气体的分子数为NA,

1mol气体的质量为Ｍ．有:m=μ

NM=μ

NA理想气体物态方程：——玻耳兹曼常量——分子数密度即：理想气体的压强与分子数密度和温度的乘积成正比.2026/3/11一柴油的汽缸容积为0.827×10-3m3.压缩前汽缸的空气温度为320K，压强为8.4×104Pa

，当活塞急速推进时可将空气压缩到原体积的1/17，使压强增大到4.2×106Pa.解:T2>柴油的燃点

若在这时将柴油喷入汽缸，柴油将立即燃烧，发生爆炸，推动活塞作功，这就是柴油机点火的原理.例:求:这时空气的温度.2026/3/117.3理想气体的压强7.3.1理想气体的微观模型分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不计,分子间的平均距离很大,分子可以看作是质点.除碰撞的瞬间外,分子间的相互作用力可忽略不计.因此在两次碰撞之间,分子的运动可当作匀速直线运动.气体分子间的碰撞以及气体分子与器壁间的碰撞可看作是完全弹性碰撞.理想气体分子的微观模型：

自由地无规则地运动着的弹性质点群.2026/3/117.3.2平衡状态气体的统计假设没有一个分子比其他分子占有优势.任一位置单位体积内的分子数不比其它位置占优势

分子均匀分布.分子沿任一方向的运动不比沿其它方向的运动占优势

分子速度在各个方向上的分量的各种平均值都相等，特别地:

2026/3/117.3.3理想气体的压强公式1.从气体分子运动看气体压强的形成

气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的.

气体的压强在数值上等于单位时间内与器壁相碰撞的所有分子作用于器壁单位面积上的总冲量.2026/3/11

一个分子与器壁A1碰撞一次分子动量的改变为：

－2μvx单位时间内一个分子的多次碰撞给予器壁A1的冲量为:2.理想气体的压强公式两次碰撞所需时间为：

2l1/vx单位时间内，一个分子与器壁A1

碰撞次数为:vx/2l1.2026/3/11由压强定义：其中：为分子数密度.

为N个分子沿x方向速度分量的平方的平均值.2026/3/11又由于:

其中为气体分子的平均平动动能.——理想气体的压强公式说明(1)压强

p是一个统计平均量.它反映的是宏观量p和微观量的关系.对大量分子,压强才有意义.(2)压强是可以直接测量的宏观量,而平均平动动能则

不能直接从实验测得.2026/3/117.4理想气体的温度公式1.理想气体的温度公式讨论(2)两种理想气体分别处于平衡态,若T相同则

相同;

反之相同,则T相同.(3)是统计平均值，所以只有气体分子数目很大时，温度才有意义，对个别分子来说温度没有意义.(1)

温度是大量分子热运动平均平动动能的量度.反映了宏观量T与微观量

的统计平均值之间的关系.由:(4)绝对零度只能逼近，不能达到.2026/3/112.方均根速率例:

两瓶不同种类的气体，其分子平均平动动能相等，但分子密度数不同.解：依题意而所以然而问：它们的温度是否相同？压强是否相同？2026/3/11例:

试求下列氮气分子的平均平动动能和方均根速率.(1)在温度t=1000℃时；

(2)t=0℃时；

(3)t=-150℃时.解：依题意(1)(2)(3)2026/3/11一容积为V=1.0m3的容器内装有N1=1.0×1024

个氧分子和N2=3.0×1024

个氮分子的混合气体，混合气体的压强

p=2.58×104Pa.(1)由压强公式,有:例:求:(1)分子的平均平动动能；(2)混合气体的温度.解:(2)由理想气体的物态方程得:2026/3/11有一容积为10cm3

的电子管，当温度为300K时用真空泵抽成高真空，使管内压强为6.666×10-4Pa.(1)此时管内气体分子的数目；(2)这些分子的总平动动能.解:例:求:(1)由理想气体物态方程得:(2)每个分子平均平动动能:N个分子总平动动能为:2026/3/117.5能量均分定理理想气体内能7.5.1自由度(i)确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标的数目.2.刚体的自由度1.质点的自由度P(x,y,z)i=6C

xzyPzyxi=32026/3/113.气体分子的自由度

(1)单原子气体分子可视为质点，故自由度

i=3即3个平动自由度(2)双原子气体分子a.刚性质心的平动自由度

t=3绕质心的转动自由度

r=2b.非刚性质心的平动自由度t=3绕质心的转动自由度r=2（相对质心）振动自由度v=2刚性双原子气体分子自由度：i=t+r=5非刚性双原子气体分子自由度：i=t+r+v=72026/3/11(3)刚性多原子气体分子质心的平动自由度t=3绕质心的转动自由度r=3多原子气体分子的自由度:

i=t+r=6

单原子分子气体：

i=3；刚性双原子分子气体：i=5；非刚性双原子分子气体：i=7；刚性多原子分子气体：i=6.气体分子的自由度

2026/3/117.5.2能量均分定理

理想气体处于平衡态时，分子的平均平动动能与温度的关系式为：——能量按自由度均分定理玻耳兹曼假设：

气体处于温度为T的平衡态时，分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为：.2026/3/11(1)单原子气体分子（i=3）平均动能：每个平动自由度分配平均能:(2)刚性双原子气体分子（i=t+r=5）平均动能：刚性双原子气体分子除平动动能，还有转动动能：每个转动自由度分配平均能:2026/3/11(3)多原子气体分子（i=6）每个平动自由度分配平均能:平均动能：多原子气体分子除平动动能，还有转动动能：每个转动自由度分配平均能:结论对自由度为i的分子,其平均动能为：2026/3/117.5.3理想气体的内能气体的内能分子的动能分子间的势能平动动能转动动能振动动能分子内原子间势能理想气体内能=分子的动能+分子内部原子间的势能

对于理想气体，分子之间的相互作用力不计，所以其分子间的势能为零.

已知1mol理想气体的分子数为NA.若该气体分子的自由度为i

，则1mol理想气体分子的平均动能，即1mol理想气体的内能E

为：2026/3/11则

mol理想气体的内能E

为：结论理想气体的内能仅是温度的单值函数.当气体的温度改变dT

时,其内能也相应变化dE

,有:2026/3/11容器中储有标准状态下的氢气．(1)分子的平均平动动能、平均转动动能和平均动能；(2)系统的内能.例：求：

解：(1)(2)2026/3/11一容器内某理想气体的温度为273K，密度为：ρ=1.25g/m3，压强为

p

=1.0×10-3atm．(1)气体的摩尔质量，是何种气体？(2)气体分子的平均平动动能和平均转动动能？(3)单位体积内气体分子的总平动动能？(4)设该气体有0.3mol，气体的内能？解：例：求：由结果可知，这是N2

或CO气体．(1)由，有：2026/3/11(2)平均平动动能和平均转动动能为：(3)单位体积内气体分子的总平动动能为：(4)由气体的内能公式，有：2026/3/11一容器内储有氧气,其压强为1.01×105Pa,温度为27oC.（1）气体分子数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离.解：例：求：(1)(2)每个氧分子的质量为:2026/3/11(3)(4)2026/3/117.6麦克斯韦速率分布律

分子的平均碰撞次数约z=1010

次/秒;分子的特点:小：每个分子的直径约为10-10

m;多：标准状态下每摩尔物质约有6.021023个分子;快：标准状态下分子热运动的平均速率约v=500m/s;乱：杂乱无章、瞬息万变的运动.

个别分子的运动是杂乱无章的，但大量分子运动的集体表现存在着一定的统计规律.2026/3/112.伽尔顿板实验例：1.掷骰子什么是统计规律性

在一定的条件下，大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性.·每个小球落入哪个槽是偶然的;·少量小球按狭槽分布有明显偶然性;·

大量小球按狭槽分布呈规律性.涨落:

实际出现的情况与统计平均值的偏差.2026/3/11统计规律关心两件事：概率统计平均值2026/3/11N

——各种事件发生的总次数Ni——事件i发生的次数某一事件i发生的概率为Pi

1.

概率的定义:例：扔硬币在一定条件下,某偶然事件出现的可能性的大小.对n件事件：简写为:——归一化条件任一事件的概率满足：2026/3/11

如通过一系列实验测定系统的某一物理量X，测得值分别为：，对应这些值的次数分别为：，则X的算术平均值为：当时，X的算术平均值的极限便是X的统计平均值：

（为总的实验次数）2.统计平均值2026/3/11统计规律有以下几个特点:(1)只对大量偶然的事件才有意义;(2)它是不同于个体规律的整体规律;(3)总是伴随着涨落(起伏)现象(某次测量值与统计

平均值之间总有偏离);(4)构成整体偶然事件数量越大，涨落现象就越不明显.说明2026/3/117.6.1速率分布和分布函数研究对象:

处于平衡态的理想气体系统.设分子总数为N0dN

:速率在v~v+dv

区间内分子数:分子速率处在v~v+dv

区间的概率与v、dv

有关2026/3/11速率分布函数:——分子速率在v

附近单位速率区间内的概率(概率密度)速率位于区间的分子数：分布在整个速率区间0～∞的分子数为分子总数N０归一化条件:2026/3/117.6.2理想气体分子的麦克斯韦速率分布律1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下气体分子速率分布函数的数学形式:——麦克斯韦速率分布律2026/3/117.6.3三种统计速率1.最概然速率（最可几速率）

vp：与f(v)的极大值对应的速率.2.平均速率

：2026/3/113.方均根速率

vrms:得：①M

一定,T越大,这时曲线向右移动②T一定,

M越大,这时曲线向左移动说明2026/3/11(1)一般三种速率用途各不相同

讨论分子的碰撞频率用说明讨论分子的平均平动动能用讨论速率分布一般用(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系:2026/3/11氦气的速率分布曲线如图所示.解:例:求:(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率.O(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)2026/3/11有N个粒子，其速率分布函数为:(1)作速率分布曲线并求常数a;(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子数.解:例:求:(1)由归一化条件得:O2026/3/11(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子数与总分子数的比率，所以:因此，v>v0

的分子数为(2N/3)同理v<v0

的分子数为(N/3)的分子数与总分子数的比率为:O2026/3/11某一理想的气体系统含有N个气体分子,其分子速率分布函数为：其中C为归一化常数.（4）平均速率和方均根速率。例：（1）C=?；求：（2）速率在之间的分子数；（3）最可几速率；2026/3/11解：（2）（3）（4）（1）2026/3/117.6.4麦克斯韦速率分布的实验验证1.实验装置2026/3/11(2)通过改变角速度ω的大小，选择速率v(3)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率下的分子数2.测量原理(1)能通过细槽到达检测器D的分子所满足的条件2026/3/117.8气体分子的平均自由程和碰撞频率一、平均碰撞频率和平均自由程的概念2026/3/11一个分子在连续两次碰撞间所经过路程的平均值.1.平均碰撞频率2.平均自由程

在单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数，称为分子的每秒平均碰撞频率(平均碰撞次数).

简化模型：

1.分子为刚性小球；2.分子有效直径为（分子间距平均值）；3.其它分子皆静止，某一分子以平均速率相对其他分子运动.2026/3/11二、平均碰撞频率和平均自由程的计算

在某一分子的运动过程中，其球心轨迹是一系列折线，凡是其他分子的球心离开折线的距离小于d（或等于d）的，它们都将和该分子发生碰撞.2026/3/11单位时间内平均碰撞频率:考虑到所有分子实