基本初等函数、函数与方程+课件-2026届高三数学二轮复习

高三二轮复习——基本初等函数、函数与方程1．在选择、填空题中基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型．2．函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可以函数实际应用呈现．1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(

)A．x>y>z B．x>z>y

C．y>x>z D．y>z>x【答案】

B

方法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示．易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故选B.A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)C．(0.5，1) D．(1，2)【答案】

BA．c<b<a B．b<a<c

C．a<c<b D．a<b<c【答案】

CA．a<b<c B．c<a<b

C．b<c<a D．a<c<b【答案】

D5．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(

)A．25 B．5【答案】

CA．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.6【答案】

C7．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(

)A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0 D．b>0>a【答案】

A声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(

)A．p1≥p2

B．p2>10p3

C．p3＝100p0 D．p1≤100p2【答案】

ACD考点突破提能力考点一基本初等函数的图象与性质●核心知识1．一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．(5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．3．常见的几个结论(1)已知a>0且a≠1，则ab>1⇔(a－1)b>0，0<ab<1⇔(a－1)b<0，(2)已知a>0且a≠1，b>0，则logab>0⇔(a－1)(b－1)>0，logab<0⇔(a－1)(b－1)<0，●方法技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．●典例研析

幂函数、指数函数、对数函数的图象1．(1)(2025·南充模拟)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(

)(2)(2025·福州模拟)若函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga

x＋loga(2－x)的图象大致为(

)(3)(2025·长沙校级模拟)函数y＝(2x＋2－x)·ln|x|的图象大致为(

)【答案】

(1)B

(2)A

(3)B(2)函数g(x)＝logax＋loga(2－x)＝loga(2x－x2)＝loga[－(x－1)2＋1]，由2x－x2＞0得，0＜x＜2，所以函数g(x)的定义域为(0，2)，由幂函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象可得0＜a＜1，而0＜－(x－1)2＋1≤1，则g(x)≥0恒成立，所以B、C、D错误，A正确．故选A．(3)记f(x)＝(2x＋2－x)·ln|x|，函数的定义域是{x|x≠0}，当－1＜x＜1且x≠0时，2x＋2－x＞0，ln|x|＜0，即f(x)＜0，图象在x轴下方，故A、C错误；又f(－x)＝(2－x＋2x)ln|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误．故选B.

幂函数、指数函数、对数函数的性质A．[0，＋∞) B．[－2，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－2]A．[0，2] B．[0，1]C．(－∞，2] D．(－∞，1](3)(2025·武功县校级二模)下列不等式成立的是(

)A．0.40.3＜0.40.9 B．log2.33＜log2.32C．log0.50.2＞0.50.2 D．log52＞0.50.2【答案】

(1)B

(2)C

(3)C(2)由题意可知当x≤0时，0<2x≤1，故f(x)＝1－2x<1，满足题意；当x>0时，令log3(x＋1)≤1，即0<x＋1≤3，解得－1<x≤2，所以0<x≤2.综上，x≤2.故选C．(2)(2025·河南模拟预测)已知a＝log0.30.07，b＝20.7，c＝60.2，则(

)A．a>b>c B．b>c>a

C．c>b>a D．a>c>bA．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)【答案】

(1)A

(2)A

(3)A(2)由题可知b10＝(20.7)10＝27＝128，c10＝(60.2)10＝62＝36，所以b10>c10，因为b>0，c>0，所以b>c，因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，且0.07<0.09，所以log0.30.07>log0.30.09＝2，即a>2，因为y＝2x在R上单调递增，且0.7<1，所以20.7<21＝2，即b<2，故a>b>c.故选A．(3)当x>0时,f(x)＝1－ex，－x<0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝e－x－1，－x>0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的递减函数，则f(2x)＋f(x－3)>0⇔f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x<3－x⇒x<1，所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A．考点二函数的零点和方程●核心知识函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．(4)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．●方法技巧1．判断函数零点个数的方法(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．2．利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法A．－4 B．－3C．0 D．1A．f(x)的零点个数为2B．当a＝0时，g(x)有2个不同的零点C．当a＜0时，g(x)有4个不同的零点D．a＞0是g(x)有1个零点的充要条件【答案】

(1)C

(2)C

(3)BC【答案】

ABD考点三函数的实际应用●方法技巧求解函数应用问题的一般程序及关键(1)一般程序：(2)解题关键：解答这类题的关键是准确地建立相关函数关系，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．●典例研析4．(1)(2025·昆明模拟)已知某种水果的保鲜时间y(单位：小时)与温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数，e为自然对数底数)，若该品种水果在4℃时的保鲜时间为192小时，在17℃时的保鲜时间为96小时，则在30℃时，该种水果的保鲜时间约为(

)A．12小时

B．24小时

C．36小时

D．48小时(2)(2025·凉州区校级模拟)某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如表：研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型．则与表格中数据吻合的函数模型是(

)A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5(l＋1)C．W＝0.5W0l D．W＝W0·(0.5)ll0123WW00.5W00.25W00.125W0(3)(2025·无锡模拟)某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为x(1≤x≤10)米．①当屋子的左右侧面长x为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？【答案】

(1)D

(2)D

(3)见解析(2)由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0，3]；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过(0，W0)．对于A，函数W＝W0＋0.5l单调递增，不符合条件；对于B，l＝0时，W＝0，函数W＝0.5W0l的图象不过(0，W0)，不符合条件；对于C，l＝0时，w＝0，函数W＝W0·log0.5(l＋1)图象不过(0，W0)，不符合条件；对于D，指数型函数W＝W0·(0.5)l满足上述条件，选项D正确．故选D．(3)①因为底面积为20平方米，屋子的左右侧面长均为x(1≤x≤10)米，所以当屋子的左右侧面长x为5米时，屋子的建造总价最小，最小为19500元．②因为无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，●跟踪训练3．(2025·南阳模拟)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过(

)天，甲的“日能力值”是乙的20倍．(参考数据：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)(

)A．23

B．100

C．150

D．232【答案】

BA．11分钟

B．13分钟

C．15分钟

D．17分钟【答案】

B课时跟踪训练一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【答案】

AA．a B．b

C．c D．d【答案】

CA．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】

B4．(2025·安化县校级三模)二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)万，则m＝(

)A．14 B．15C．16 D．17【答案】

B5．(2025·泰安模拟)已知f(x)是定义域为R的单调递增函数，且存在函数g(x)，使f(g(x))＝2x－1，若x1，x2分别为方程f(x)＋2x＝7和g(x)＋x＝4的根，则x1＋x2＝(

)A．8 B．4C．－4 D．－8【答案】

B【解析】由题意可得f(x1)＝7－2x1，g(x2)＝4－x2，所以f(g(x2))＝2x2－1，即f(4－x2)＝2x2－1＝7－2(4－x2)，又f(x)是定义域为R的单调递增函数，f(x1)＝7－2x1，所以4－x2＝x1，所以x1＋x2＝4.故选B.A．1027×1.349秒

B．1028×1.349秒C．1029×1.349秒

D．1030×1.349秒【答案】

B7.在某次数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：所写为真命题的是(

)A．甲和乙

B．甲和丙C．丙和丁

D．甲和丁【答案】

B【答案】

D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．(2025·廊坊校级模拟)下列不等式成立的有(

)A．log0.30.2＞log0.20.3 B．0.30.2＞0.20.3C．log30.2＜log20.2 D．30.2＜20.3【答案】

AB10．(2025·景德镇模拟)若实数log2a，log3b都是一次函数f(x)＝cx－1的零点，则下列不等关系中可能成立的是(

)A．c＜a＜b B．b＜c＜aC．a＜c＜b D．a＜b＜c【答案】

ACD11．(2025·内乡县校级二模)Cobb－Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为Y＝AKαLβ(A＞0，K＞0，L＞0，0＜α＜1，0＜β＜1)．其中Y是总产出，K是资本存量，L是劳动力，A是技术参数，α，β是资本和劳动的产出弹性．当A不变时，下列说法正确的是(

)A．若K与L均变为原来的m(m＞0)倍,且α＋β＝1,则Y变为原来的m倍D．若α，β，L均不变，则函数Y＝AKαLβ的增长速度越来越慢【答案】

ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．(2025·宝山区二模)已知函数y＝ax＋1－loga(x＋2)＋1(a＞0且a≠1)的图象经过定点A，则点A的坐标为________.【答案】

(－1，2)【解析】当x＝－1时，函数y为定值，y＝1－0＋1＝2，故点A的坐标为(－1，2)．(结果四舍五入保留到整数,参考数据：e－0.5≈0.61,e－0.6≈0.55,e－0.7≈0.49)【答案】