人教版初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教学设计

人教版初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教学设计

一、教材与内容深度剖析

1.内容定位与知识体系建构

本节课“位似图形”选自人教版《数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第三节。在知识脉络上，它上承“图形的相似”、“相似三角形的判定与性质”，下启“位似变换的应用”及“坐标系中的位似”。位似不仅是相似的一种特殊形式，更是一种重要的几何变换，与全等变换（平移、旋转、轴对称）、相似变换共同构成了初中阶段图形变换的完整体系。理解位似概念，是学生从静态的图形研究迈向动态的图形变换观念的关键一步，为高中学习向量、解析几何以及更深层次的变换思想奠定基础。

2.核心概念解构

位似图形的本质在于两个要素：位似中心和位似比。其核心定义可表述为：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。位似比即位似图形对应边的相似比。此定义蕴含了位似图形的两个核心性质：一是几何性质（对应点连线共点且成比例），二是位置关系（对应边平行或共线）。教学中需引导学生透过现象抓住本质，理解位似是一种保持形状而改变大小和位置的特定变换。

3.跨学科视野与核心素养映射

从跨学科视角看，位似变换在物理（光学成像、透镜原理）、美术（透视与缩放）、工程制图、计算机图形学（图像缩放、纹理映射）等领域有广泛应用。本节课的设计将有机渗透这些背景，彰显数学的实用价值。

在数学核心素养层面，本节课着力培养：

1.直观想象：通过观察、操作感知位似图形的特征。

2.逻辑推理：从定义出发，严谨推导位似图形的性质。

3.数学抽象：从具体实例中抽象出位似变换的数学模型。

4.数学建模：初步建立利用位似解决实际问题的模型思想。

二、学情分析与教学预设

1.认知基础分析

九年级学生已系统掌握了相似图形的基础知识，包括相似多边形的定义、性质及相似三角形的判定定理。他们具备一定的观察、比较、归纳和简单推理的能力，能够使用尺规进行基本的作图操作。对于图形变换，学生已学习平移、旋转、轴对称，对图形运动与变化有初步感知。

2.潜在认知障碍预见

1.概念混淆：容易将位似图形与一般的相似图形、中心对称图形混淆，难以准确把握“对应点连线交于一点”和“对应边平行”这两个核心条件。

2.思维定势：可能默认位似中心一定位于图形内部或两个图形之间，难以理解位似中心可以在图形外部、内部或边上等各种情形。

3.动态观念薄弱：将位似视为静态的图形关系，而非一种动态的“变换”过程，难以建立“从一点出发按比例放大或缩小”的变换观念。

4.作图困难：对于如何根据位似中心和位似比，规范、准确地作出已知图形的位似图形，可能感到操作困难。

3.教学策略应对

针对以上障碍，教学将采用“对比辨析、多例验证、动态演示、分层作图”的策略。通过设置辨析性例题、利用几何画板动态展示不同位置的位似中心、分解作图步骤并进行规范示范，引导学生逐步突破难点。

三、教学目标设定

1.知识与技能

1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确叙述位似图形的定义。

2.掌握位似图形的基本性质，能识别和判断两个图形是否位似。

3.能够利用尺规，根据给定的位似中心和位似比，作出一个多边形的位似图形。

2.过程与方法

1.经历从生活实例和已有知识中抽象出位似概念的过程，体会类比和归纳的数学思想方法。

2.通过观察、测量、猜想、验证等活动，探究位似图形的性质，发展合情推理和初步的演绎推理能力。

3.在动手作图的过程中，掌握位似作图的基本方法，提升几何作图技能和空间想象能力。

3.情感、态度与价值观

1.感受位似变换在现实世界和科学技术中的广泛应用，体会数学的实用价值和学习必要性。

2.在探究和合作中体验数学发现的乐趣，培养严谨求实、敢于探索的科学态度。

3.欣赏位似图形所呈现的数学和谐美与规律美。

四、教学重难点

1.教学重点

1.位似图形、位似中心、位似比的概念。

2.位似图形的基本性质。

2.教学难点

1.位似概念的理解，特别是对定义中两个核心条件的把握。

2.位似中心位于不同位置时，位似图形的识别与作图。

五、教学准备

1.教师准备

1.多媒体课件（内含丰富的图片、视频素材，如显微镜成像、小孔成像、地图、建筑效果图等）。

2.动态几何软件（如GeoGebra或几何画板）制作的交互式课件，用于动态演示位似变换过程。

3.实物道具：放缩尺、两个大小不同的相似三角形模型（可连接顶点展示连线共点）。

4.设计并印制“探究学习任务单”和分层课堂练习卷。

2.学生准备

1.复习相似图形的相关知识。

2.准备好直尺、圆规、量角器、方格纸等作图工具。

六、教学过程设计

（一）创设情境，激趣引新(预计用时：8分钟)

活动1：生活现象观察

1.播放视频：播放一段关于显微镜观察细胞、电影院放映电影、谷歌地图缩放城市的短视频剪辑。

2.提问引导：

1.3.“显微镜下的细胞与真实细胞是什么关系？”（形状相同，大小不同）

2.4.“电影胶片上的图像与银幕上的图像有何关联？”（形状相同，大小不同，且是从放映机镜头一点‘投射’出去的）

3.5.“地图上不同比例尺的同一个区域，图形有何特点？”（形状相同，大小按比例缩放）

6.展示图片：呈现一组图片：同一建筑的效果图与施工图、通过小孔成像形成的蜡烛火焰倒像、哈哈镜中扭曲与正常的脸部对比（作为反例）。

7.归纳共性：引导学生发现，前几组图形都满足“形状相同，大小成比例”，且这种大小变化似乎与一个“中心点”有关（如镜头、小孔、绘图原点）。而哈哈镜的例子则不满足“形状相同”，仅为对比。

活动2：回顾旧知，搭建桥梁

1.提问：“‘形状相同，大小成比例’是我们学过的哪种图形关系？”（相似图形）

2.追问：“那么，刚才这些相似图形，与我们之前学的任意两个相似三角形相比，有什么特别之处吗？”引导学生关注“对应点连线是否经过同一个点”。

3.演示：利用动态几何软件，展示一对普通的相似三角形（随机放置），再展示一对满足“对应顶点连线交于一点”的相似三角形。让学生直观对比。

4.揭题：教师指出，这种具有特殊位置关系的相似图形，在数学上有一个专门的名字——位似图形。今天我们就来深入研究这种既相似又特殊的图形关系。

【设计意图】从跨学科、多领域的生动实例出发，激活学生的生活经验和已有认知（相似）。通过对比观察，引导学生自然聚焦到位似图形的“特殊之处”——与一个中心点的关联性，从而引发认知冲突，激发探究欲望，实现从“相似”到“位似”的认知迁移。

（二）操作探究，建构概念(预计用时：15分钟)

活动1：动手操作，感知特征

1.学生在教师下发的小方格纸上，给定点O作为中心。

2.任务一：以O为端点，画射线OA、OB、OC、OD、OE。

3.任务二：在射线OA上取点A‘，使OA’=2OA；同理，在射线OB、OC、OD、OE上取点B‘、C’、D‘、E’，使OB‘=2OB，OC’=2OC，OD‘=2OD，OE’=2OE。

4.任务三：依次连接点A‘、B’、C‘、D’、E‘。

5.观察与思考：五边形ABCDE与五边形A’B‘C’D‘E’是什么关系？测量对应角、计算对应边比。连接AA‘、BB’、CC‘、DD’、EE‘，观察这些连线有何特点？对应边AB与A’B‘，BC与B’C‘等，位置上有何关系？

6.小组讨论，汇报发现。

活动2：抽象概括，形成定义

1.基于学生汇报，教师引导归纳：

1.2.两个图形相似。

2.3.对应顶点的连线都经过同一点O。

3.4.对应边互相平行（或在同一直线上）。

5.给出严谨的数学定义（板书）：

位似图形：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。

位似比：位似图形对应边的比（即相似比）称为位似比。上例中，位似比k=OA‘/OA=2。

6.概念辨析：

1.7.判断（利用几何软件快速呈现）：

a)任意两个正方形是否位似？（不一定，需满足连线共点）

b)放大镜下的文字与原文字是否位似？（是，假设放大镜中心可视为近似位似中心）

c)一个三角形的中位线所截得的小三角形与原三角形是否位似？（是，位似中心为重心吗？引导学生深入思考，此处是，位似中心为重心，位似比为1:2）

2.8.讨论：位似图形与相似图形、中心对称图形的关系。（用集合图表示：中心对称图形是位似比为±1的位似图形的子集；位似图形是相似图形的子集。）

活动3：动态演示，深化理解

1.利用GeoGebra，展示一个基础图形（如三角形）。

2.动态拖动“位似中心”点O，将其置于图形内部、边上、外部、两个图形之间、一个图形的同侧等不同位置。让学生观察位似图形随之发生的变化，但始终满足定义。

3.动态调整“位似比”k的滑动条。当k>1时，图形放大；当0<k<1时，图形缩小；当k<0时，图形不仅缩放，还绕位似中心旋转180°（关于位似中心成中心对称），引出“同侧位似”（k>0）和“异侧位似”（k<0）的概念。

【设计意图】通过“动手作图—观察归纳—抽象定义—辨析深化—动态验证”的完整探究流程，让学生亲历概念的生成过程。操作活动将抽象定义具体化，几何画板的动态演示突破了静态思维的局限，全方位展示了位似概念的丰富内涵，帮助学生深刻理解位似中心位置的任意性和位似比取值的多样性，建立完整的位似变换观念。

（三）猜想验证，归纳性质(预计用时：10分钟)

活动：探究性质，理性升华

1.提出猜想：根据定义和之前的观察，你认为位似图形具有哪些性质？（引导学生从边、角、对应点连线、对应边位置关系等方面思考）

2.小组合作验证：

1.3.性质1（从定义直接得出）：位似图形的对应角相等，对应边成比例（即位似图形是相似图形）。

2.4.性质2（核心）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（绝对值）。即对于任意对应点P和P‘，有|OP’|/|OP|=|k|。

3.5.性质3：位似图形的对应边互相平行（或在同一直线上）。

4.6.性质4：位似图形周长的比等于位似比|k|，面积的比等于位似比的平方k²。（可由相似图形性质推导）

7.推理证明：以性质2为重点，引导学生尝试进行简单推理。如图，已知△ABC与△A‘B’C‘位似于点O，且AB∥A’B‘。求证：OA’/OA=OB‘/OB=OC’/OC。

提示：通过证明△OAB∽△OA‘B’等来实现。

8.教师总结：位似图形的性质是其定义的自然延伸，也是我们进行判断和作图的依据。

【设计意图】将性质的教学从“告知”转变为“探究发现”。让学生在定义的基础上进行合理猜想，并运用已有知识（相似三角形判定与性质）进行逻辑验证，经历从合情推理到演绎推理的思维提升过程，深化对位似本质的理解。

（四）典例精析，应用内化(预计用时：12分钟)

例1：识别判断，巩固概念

如图，判断下列各组图形是否位似。若是，请指出位似中心和位似比；若不是，请说明理由。

（呈现四组图形：①明确位似的；②相似但对应点连线不共点的；③连线共点但对应边不平行的（非相似）；④异侧位似（k<0）的。）

教学组织：学生独立思考后发言，强调判断必须严格依据定义的两个条件（相似且对应点连线共点/对应边平行）。

例2：基础作图，掌握技能

已知△ABC和点O。以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形△A‘B’C‘，使位似比为2:1（放大）。

教学组织：

1.教师引导分析：关键是如何确定A‘、B’、C‘。利用性质2，它们应在射线OA、OB、OC上，且OA’：OA=2：1。

2.教师规范板演：

1.3.步骤一：连接OA、OB、OC。

2.4.步骤二：在射线OA上截取OA‘=2OA（或反向延长线上截取，讨论不同情况）。

3.5.步骤三：同法作出B’、C‘。

4.6.步骤四：连接A’B‘、B’C‘、C’A‘，得△A’B‘C’。

7.学生同步练习：在学案上完成作图。教师巡视，指导学困生。

8.变式提问：若位似比为1:3（缩小）呢？若要求作异侧位似图形（k=-2）呢？引导学生思考作法的调整。

例3：综合应用，链接实际

如图，某社区要在广场中央（点O处）设置一个大型Logo的投影。Logo原图是一个边长为1m的正六边形ABCDEF。投影屏幕是一个平面，要求投影出的正六边形边长为4m。请利用位似知识，说明如何调整投影仪（位似中心）与Logo原图、屏幕的相对位置，并计算理论上的“位似比”。（简化模型，忽略光学细节）

教学组织：学生小组讨论，建立数学模型（将实物抽象为图形）。明确Logo原图与投影图像是位似图形，O是位似中心，位似比k=4（或-4，取决于正倒立）。此例将数学与物理、技术相结合，体现应用价值。

【设计意图】通过层次分明的例题，实现知识的内化与迁移。例1强化概念辨析；例2聚焦技能操作，通过教师规范板演突破作图难点；例3作为综合应用，创设真实问题情境，培养学生建模意识，感受数学的实用性。

（五）课堂小结，反思提升(预计用时：3分钟)

活动：自主构建知识图谱

1.引导学生以思维导图或知识树的形式，从“定义—要素（中心、比）—性质—判定—作图—应用”等方面，自主梳理本节课的核心内容。

2.分享与补充：请1-2名学生展示其知识结构图，其他学生补充。

3.教师点睛：强调位似是一种特殊的相似变换，其核心是“点O和比例k”控制下的图形缩放。理解位似，要从“形”（相似）、“位”（连线共点、对应边平行）、“数”（位似比）三个维度把握。

（六）分层作业，拓展延伸(预计用时：2分钟)

【必做题】

1.教材对应课后练习。

2.完成学案上的《位似图形概念辨析题》和《基础作图题》。

【选做题】

1.探究题：位似中心在什么位置时，位似图形与原图形在中心的两侧？什么时候在同侧？这与位似比的正负有怎样的关系？

2.实践题：利用位似原理，设计一个方案，测量校园内一棵大树的高度。要求画出测量示意图，写出简要步骤和计算原理。

3.挑战题：在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(4，1)，C(0，0)，以原点O为位似中心，位似比为1/2，求△ABC位似变换后得到的△A‘B’C‘的顶点坐标。你能发现坐标变化的规律吗？（为下节课“坐标系中的位似”做铺垫）

【设计意图】作业设计体现分层理念，满足不同层次学生的发展需求。必做题巩固双基；选做题中的探究题深化对概念的理解，实践题促进学科联系与综合应用，挑战题进行适度前瞻，激发学有余力学生的探索兴趣。

七、板书设计

主板书区域：

27.3位似图形（第一课时）

一、定义

1.两个图形相似。

2.对应顶点连线交于一点——位似中心(O)。

3.对应边平行（或在同一直线上）。

满足以上条件⇒位似图形。

二、要素

1.位似中心：点O（可在形内、形外、边上…）

2.位似比：k=\frac{对应边长度}{原对应边长度}

1.k>1：放大；0<k<1：缩小

2.k>0：同侧位似；k<0：异侧位似（中心对称）

三、性质

1.具有相似图形的一切性质。（对应角等，对应边成比例…）

2.\frac{OA‘}{OA}=\frac{OB’}{OB}=…=|k|

3.对应边平行（共线）。

4.周长比=|k|；面积比=k²。

副板书/作图区：

例2作图步骤：

1.连OA，OB，OC。

2.在射线OA上取A‘，使OA’=k·OA。

3.同法取B‘，C’。