九年级数学上册第四章图形的相似：7相似三角形的性质（第1课时）大概念统领下“学教评一体化”导学案

九年级数学上册第四章图形的相似：7相似三角形的性质（第1课时）大概念统领下“学教评一体化”导学案

一、课标定位与教材重构

（一）内容所属

学段：初中九年级

学科：数学（北师大版）

领域：图形与几何——图形的相似

（二）课标要求

【核心素养导向】理解相似三角形的性质定理，能运用其解决具体问题；在推理证明中发展几何直观、推理能力与模型观念；经历“特殊到一般”“类比转化”的研究方法，感悟数学思想。

（三）教材纵横解构

本课是第四章《图形的相似》的核心关隘。前承相似三角形的定义与判定（解决“形状相同”的定性问题），后启相似三角形的周长与面积比（解决“大小关系”的定量深化），同时为后续初中阶段的锐角三角函数、高中阶段的平面几何与空间向量提供比例推理的基石。

二、导学目标体系（叙写模式：行为主体+行为条件+表现程度+进阶水平）

【基础保底·面向全体】

1.【基础】通过“模型房梁”情境的度量与证明，能准确说出相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比，并能独立完成规范的符号推理证明。

2.【基础】能在给定的简单相似三角形图形中，精准识别对应顶点、对应线段，并直接运用性质求已知线段的长度。

【发展跨越·面向多数】

3.【重要】经历“类比全等三角形研究思路”的过程，能独立将对应“高、中线、角平分线”的性质推广至对应“n等分线”、“对应线段”的一般情形，深刻理解“相似三角形对应线段的比等于相似比”这一统摄性结论。

4.【重要】通过“内接正方形”经典模型的探究，能构建相似三角形的基本图形（A型、X型），实现几何直观与代数计算的融合。

【创新拓展·面向部分】

5.【热点·难点】具备跨学科应用意识，能利用相似三角形对应高比的性质，解释并计算物理学科中的“小孔成像”原理、光学反射问题及实际测量中的不可达高度问题。

6.【高频考点】在复杂背景图形中（如动态几何、四边形与三角形综合），能够剥离出相似基本图形，运用对应线段比的性质建立方程，发展数学建模素养。

三、教学重难点及突破策略

（一）核心重点（★）

1.★★★【非常重要·高频考点】相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比的性质定理及其符号语言表述。

2.★★★【热点】性质定理在几何计算与实际测量中的综合应用。

（二）核心难点（※）

3.※※【难点·高阶思维】将性质从“三条特殊线段”推广至“任意对应线段”的过程，理解“对应”二字的广义内涵。

4.※※【难点·易错点】在非标准摆放或含有重叠图形的复杂几何构型中，正确识别对应高、对应中线，并厘清相似比与线段比之间的映射关系。

（三）痛点阻断策略

策略1：大单元教学——不孤立讲授性质，而是将其置于“全等→相似”的知识谱系中，利用全等是相似比为1的特例，构建知识网络。

策略2：可视化思维——强制使用不同颜色的笔在图上标注对应角、对应边，并要求每一步推理必须注明“∵相似，∴对应线段比等于相似比”。

策略3：几何代数桥——强化“设未知数（通常设特殊线段如正方形边长为x），利用对应高比列方程”的通性通法，破除学生对复杂图形中高线对应关系的恐惧。

四、教学准备与时空架构

1.学具准备：直尺、量角器、彩笔、导学案（留白处标注“我的思维生长线”）。

2.技术支持：GeoGebra动态演示（重点展示：保持相似比不变，拖动顶点，对应高、对应中线实时联动变化）。

3.课时分配：1课时（45分钟·深度探究型课堂）。

五、教学实施过程（核心环节·深度融合跨学科与大概念）

（一）课前前置·温故知新（定向诊断·5分钟）

【任务驱动】回顾全等三角形的性质与判定，完成类比表格填空。

【内容呈现】全等三角形是特殊的相似三角形（相似比为1）。全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？（答案：相等）。若相似比不为1，例如k，这些对应线段的比是否还相等？若相等，比值是多少？

【设计意图】利用“特殊→一般”的认知路径，为新知探究铺设脚手架，同时揭示数学的统一性。【重要】类比思想是本课的核心方法论。

（二）情境驱动·具身认知（建模·6分钟）

【真实情境】（跨学科·工程技术）某建筑设计院按1：50的比例制作了长江大桥钢索塔的模型。工程师需根据模型上1.2米高的对应立柱，推算出实际索塔内部横梁支柱的高度。

【问题链1】模型与实景构成什么图形关系？（相似三角形）

【问题链2】模型的“高”与实物的“高”是一组对应线段。它们的比值与相似比1：50有何关系？

【操作验证】利用GeoGebra展示任意△ABC及其缩小后的△A‘B’C‘，过顶点作垂线。动态拖动改变相似比，实测对应高AD与A‘D’的长度。

【学生发现】对应高的比始终等于相似比。

【教师追问】这是特例还是必然？你能用已学的相似三角形的判定进行逻辑证明吗？

【思维留白】导学案左侧栏设置“我的证明思路”区。

（三）定理生成·严谨推理（高阶思维·10分钟）

1.【核心突破】对应高的比等于相似比（★★★★★【重中之重】）

已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k，AD⊥BC于D，A‘D’⊥B‘C’于D‘。

求证：AD/A‘D’=k。

【学法指导】三步推理法：

（1）定对应：由大相似得∠B=∠B’，∠C=∠C‘。

（2）证小相似：在Rt△ABD和Rt△A’B‘D’中，∠B=∠B‘，∠ADB=∠A’D‘B’=90°，故△ABD∽△A‘B’D‘。

（3）得结论：由小相似得AD/A’D‘=AB/A’B‘=k。

【易错警示】【基础·必考】必须证明垂直关系转化的两个直角三角形相似，严禁直接跳过证明步骤写“由相似得高比=相似比”。

2.【类比迁移】对应中线、对应角平分线的比（★★★【重要】）

【小组合作】（异构同工）时间：6分钟。组内1、2号证明中线，3、4号证明角平分线，5号记录共性。

已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k。AE为BC边中线，A’E‘为B’C‘边中线；AF平分∠BAC，A’F‘平分∠B’A‘C’。

求证：AE/A‘E’=k；AF/A‘F’=k。

【思维索引】对应中线：利用相似得∠B=∠B’，且比例式AB/A‘B’=BC/B‘C’=2BE/2B‘E’=BE/B‘E’，故△ABE∽△A‘B’E‘→AE/A’E‘=k。

对应角平分线：利用相似得∠B=∠B’，∠BAC=∠B‘A’C‘，由角分线定义得∠BAF=1/2∠BAC=1/2∠B’A‘C’=∠B‘A’F‘，故△ABF∽△A’B‘F’→AF/A‘F’=k。

【结论统摄】定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（四）深度追问·概念升华（一般化推广·8分钟）

【思辨进阶】（突破难点※※）

【问题串】

（1）若AF不是角平分线，而是∠BAC的三等分线（靠近AB侧），AF/A‘F’还等于k吗？

（2）若E不是BC的中点，而是BC上靠近B点的三等分点（即BE=1/3BC），AE/A‘E’还等于k吗？

（3）大胆猜想：相似三角形对应线段（无论是特殊的“三线”，还是一般位置的比例线段）的比，与相似比有何关系？

【动态验证】GGB演示：在BC边上取任意一点E，连接AE；在B‘C’上取E‘，使得BE/B’E‘=BC/B’C‘（即分割比例相同）。度量AE/A’E‘的值，发现恒等于k。

【终极结论】★★★★★【高阶·统摄性结论】相似三角形对应线段的比等于相似比。（这里的“对应线段”包括：对应高、对应中线、对应角平分线、对应边的m等分线、对应角的n等分线、乃至对应周长的任意分割线，前提是分割比例相同。）

（五）模型应用·经典例题（内接正方形·10分钟）

【母题呈现】（源自课本改编·★★★【高频压轴】）

如图，AD是△ABC的高，BC=60cm，AD=40cm。四边形PQRS是正方形，其中P、Q在BC边上，R在AC边上，S在AB边上。求正方形PQRS的边长。

【问题拆解】（通法提炼）

1.【难点定位】如何建立包含“未知边长”与“已知高和底”的方程？

2.【关键一招】证明△ASR∽△ABC。

理由：SR∥BC→∠ASR=∠B，∠ARS=∠C→两角对应相等。

3.【核心转化】★★★★★【必杀技】利用“相似三角形对应高的比等于相似比”。

设正方形边长为xcm，则AE=AD-ED=(40-x)cm。

对应高：△ASR的高AE，△ABC的高AD。

对应边：SR对应BC。

列比例式：AE/AD=SR/BC→(40-x)/40=x/60。

4.【计算求解】交叉相乘：60(40-x)=40x→2400-60x=40x→100x=2400→x=24。

答：正方形边长为24cm。

【变式追问】（思维容量提升）

若题目改为“矩形PQRS，且PS：SR=2：3”，如何设未知数？（设PS=2y，SR=3y，则AE=40-2y，利用(40-2y)/40=3y/60求解。）

【设计意图】此模型是中考几何综合题的母本，涵盖了“A型相似”、“对应高比性质”、“方程思想”三大要素。必须达到“见内接四边形，即作对应高比例”的条件反射。【高频考点】【必考题型】

（六）跨学科整合·实验几何（实践与创新·5分钟）

【物理视角·小孔成像】

题干：如图，蜡烛AB放置于小孔O前，通过小孔在光屏CD上形成倒立实像。已知AB=20cm，蜡烛到小孔的距离（物距）BO=50cm，像到小孔的距离（像距）OD=15cm。求像高CD。

【学科链接】

1.物理原理：光沿直线传播。

2.几何建模：∵AB∥CD（物与屏通常平行），∴△ABO∽△DCO（注意对应顶点：A对应D，B对应C，O为公共顶点，实际图形多为X型相似）。

3.性质应用：相似三角形对应高的比等于相似比。此处对应高即为BO和OD。

∴CD/AB=OD/OB→CD/20=15/50→CD=6cm。

【素养落地】剥离无关情境，抓取“平行→相似→对应高比→线段长”的逻辑链。同时强化书写规范：明确指出哪两个三角形相似，对应点写在对应位置上。

（七）分层变式·挑战自我（即时反馈·5分钟）

【A组·基础循环】（面向100%学生）

1.若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应中线的比是______。【基础】

2.已知△ABC∽△A‘B’C‘，AD和A’D‘是对应角平分线，AD=8cm，A’D‘=3cm，则△ABC与△A’B‘C’的对应高之比为______。【基础】

【B组·模型识别】（面向80%学生）

3.如图，电灯P在横杆AB正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是______m。【难点】提示：△PAB∽△PCD，对应高分别是P到AB的距离和P到CD的距离。

【C组·动态思维】（面向30%学生·【选拔性考题】）

4.在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3。点P从B出发沿BA向A以1cm/s移动，点Q从C出发沿CA向A以1cm/s移动，同时出发，t秒后PQ截△APQ。是否存在t，使PQ将△ABC的高AD分成1：2的两段？若存在，求出t值。

（解析关键：△APQ∽△ABC，利用对应高的比等于相似比AP/AB。）

（八）元认知反思·课堂结网（总结·3分钟）

【知识三维图】

维度一（是什么）：相似比=对应高比=对应中线比=对应角平分线比=任意对应线段比。

维度二（怎么用）：①直接求线段长（知比求长）；②几何构型求值（内接四边形）；③跨学科建模（物理成像、测量）。

维度三（为什么）：根本原因在于相似图形“形状相同”，缩放变换是整体均匀的，因此图形中的每一段微元都按同一比例缩放。

【思维误区清单】

误区1：误将非对应高线的比当成相似比。（纠正：必须对应同一对顶点或对应边的垂线）

误区2：在“内接正方形”模型中，误认为正方形的边落在BC上，高AD被分成的两段中，上段才是小三角形的高。（纠正：画图，标注垂直符号，牢记“高”是顶点到底边的垂直距离）

误区3：符号书写不规范，相似三角形顶点不对应。（纠正：养成习惯，△ABC∽△A‘B’C‘，A对A‘，B对B’，C对C‘）

六、学习效果评价设计（嵌入式评价）

（一）过程性评价（权重40%）

1.【独立证明】能否独立写出“对应角平分线比等于相似比”的完整推理过程。（评价标准：对应角相等→角分线得半角相等→小三角形相似→比例式→代换大相似比。）

2.【合作交流】在“推广至n等分线”环节，是否能提出合理的猜想并给出简单的口头论证。

（二）终结性评价（权重60%）

【限时检测】（5分钟·当堂清）

3.（基础题）两个相似三角形对应角平分线的比为1：4，则它们对应中线的比为______。【基础】

4.（应用题）如图，某同学拿着一把12cm长的刻度尺，站在距离电线杆30m的地方，他把手臂向前伸直，刻度尺竖直，此时刻度尺恰好遮住电线杆。已知手臂长约60cm，求电线杆的高度。

（解析：构造相似三角形，眼为顶点，手臂长是小三角形的高，刻度尺是小三角形的底；人到杆的距离是大三角形的高，杆高是大三角形的底。利用对应高比等于相似比。）

5.（拓展题）【热点】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD⊥BC于D，点E为AB边上任意一点，过E作EF⊥BC于F，EG⊥AD于G。求证：EF/AD+EG/BD=1。

（解析：本题极具挑战，需将EF与EG分别放入△BEF∽△BAD和△AEG∽△ABD中，利用两次相似性质转化线段比。）

七、作业设计·差异推送

（一）巩固性作业（必做）

习题4.11第1题、第2题（直接套用性质，巩固符号语言）。

（二）拓