江苏省南通市海安市2024-2025学年高三下学期期初学业质量监测数学试题及答案

江苏省南通市海安市2025届高三下学期期初学业质量监测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M={-1,0,1,3},集合N={x|x²≥2x},则MNN=()

A.{3}B.{0,3}C.{-1,0}D.{-1,0,3}

2.已知复数z满足则z=()

A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i

3.已知数列{an}为等比数列，a₁=512,公比则数列{an}的前n项积Tn最大时，n=()

A.4B.5C.6D.7

4.已知钝角x满足：,则sin2x=()

C

A.BD

5.已知非零向量b在向量a上的投影向量,则(b-a)a=()

A.-2B.2C.-1D

6.为推广新能源汽车，某地区决定对续航里程达到一定标准的新能源汽车进行补贴.已知某品牌新能源汽车

的续航里程ξ(单位：km)服从正态分布N(400,50²).补贴政策为：续航里程不低于350km的车辆补贴2万元，

超过450km的车辆额外再补贴1万元，则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为()附：若X～N(μ,o²),

则P(IX-μ≤σ)≈0.6826).

A.1.52万元B.1.68万元C.1.84万元D.2.16万元

7.已知函数f(x)=x(x-a)²的极大值为：,则a=()

ABCD

8.设圆0:x²+y²=2上两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)满足y₁-y₂=x₁一x₂-4,则|AB|=()

A.1B.√2C.2D.2√2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.为研究某种树的树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径x(单位：cm)和树高y(单位：m)

的数据(x,y;)(i=1,2,…,10),已知其中一组数据为(38.4,23.7),且,求得回归方程为y=

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0.25x+15,并绘制了如下残差图，则()

A.由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型

B.该种树的平均树高约为22.29m

C.数据(38.4,23.7)对应的残差为-0.9

D.删除一组数据(38.4,23.7)后，重新求得的回归直线的斜率变小

10.已知函数f(x)=sinx(1-cosx),则()

A.f(x)的零点为2kπ(k∈Z)

B.f(x)在[一π,π]上的最大值与最小值之和为0

C.直线x=π是f(x)的图象的一条对称轴

D.0是函数y=xf(x)的极小值点

11.如图所示的曲线C过原点0,且C上的任意一点到定点F(0,t)的距离与到直线l:y=2的距离之积为4,

则()

A.t=-2

B.C恰好经过3个整点(即横、纵坐标均为整数的点)

C.C上存在两点关于直线y=x-2对称

D.C与圆x²+(y+2)²=1交点的个数为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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12.2只红球，3只黄球，同色球不加区分，将这5只球排成一列，不同的排法种数为

13.已知f(x)是{x|x≠0}上的奇函数，当x>0时，f(x)=Inx,过原点O作两条互相垂直的直线，其中一条

与f(x)的图象相切于点A,C,另一条与f(x)的图象相交于点B,D,则四边形ABCD的面积为

14.将棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁沿对角面A₁BCD₁,B₁BDD₁,A₁B₁CD同时切开后，共得到个

多面体，其中一个多面体的体积为(只需写出一种结果).

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在△ABC中，记a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知

(1)若求tanA;

(2)若b=√2a,求C.

16.(本小题12分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC,AC⊥BC,PH⊥平面ABC,H为垂足，D为AC的中点.

(1)证明：DH//平面PBC;

(2)若AC=2,∠PAH=∠CAH=45°,求二面角P-BC-A的正弦值.

17.(本小题12分)

一批产品共16件，有2件不合格品，随机分装到两只箱中，每箱8件.收货方不放回地随机抽取产品进行

检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒收整批产品；如果抽检的

第1件产品合格，则从另一箱中再抽检1件，若合格，则接收整批产品，否则拒收整批产品.

(1)求2件不合格品包装在同一只箱中的概率；

(2)求这批产品被拒收的概率.

18.(本小题12分)

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在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线Γ:1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右顶点分别为A,B,

且A|B|=2.

(1)求厂的方程；

(2)直线1与厂的左、右两支分别交于点C,D,记直线BC,BD的斜率分别为k₁,k₂,且

(i)求证：直线1过定点；

(ii)P(-1,2),直线OP与BD交于点Q,判断并证明直线AQ与BC的位置关系.

19.(本小题12分)

已知曲线C₁:y=Inx+a,C₂:y²=2px(y≥0,p>0).

(1)若a=2,C₁与C₂在公共点处的切线重合，求p;

(2)若C₁与C₂相交于A,B(A在B的左侧)两点，记直线AB的斜率为k.

(i)求证：

(ii)若p=2,设C(c,0)(c≤3),证明：|AC|<|BC|.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：解x²≥2x,得，x≤0,或x≥2;

∴N={x|x≤0,或x≥2};又M={-1,0,1,3}

∴MnN={-1,0,3}.

故选D.

2.【答案】A

【解析】解：依题意，

故选：A.

3.【答案】B

【解析】解：由a₁=512,公比

当1≤n≤5时，an>1;当n≥6时，0<an<1,

Tn是数列{an}的前n项积，

则当n=5时，Tn取得最大值.

故选B.

4.【答案】C

【解析】解：由,得

∵x为钝角，

cosx-sinx=0(舍),

得

即

故选C.

5.【答案】A

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【解析】解：因为非零向量b在向量a上的投影向量

即所以b·a=2,

所以(b-a)·a=b·a-a·a=2-4=-2.故选A.

6.【答案】C

【解析】解：由题意，得P(350≤ξ≤450)≈0.6826,

P(ξ>450)=0.5-P(400<ξ<450)≈0.5-0.3413=0.1587,

则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为0.6826×2+0.1587×3≈1.84万元

7.【答案】D

【解析】解：由题意，f(x)=x(x-a)²=x³-2ax²+a²x,

则f′(x)=3x²-4ax+a²=(3x-a)(x-a),

令f'(x)=0,解得：

当a>0时，f(x)在(一，3),(a,+○)上满足f′(x)>0,f(x)单调递增，

在(上满足f′(x)<0,f(x)单调递减，

取得极大值，解

当a<0时，f(x)在(-∞,a),上满足f′(x)>0,f(x)单调递增，

在上满足f′(x)<0,f(x)单调递减，

所以f(x)在x=a处取得极大值，不符合题意，

当a=0时，f′(x)=3x²≥0,f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意，

综上所述，

8.【答案】D

【解析】解：设x₁=√2cosa,y₁=√2sina,x₂=√2cosβ,y₂=√2sinβ,α∈(0,2π),β∈(0,2π),

由y₁-y₂=x₁一x₂-4,

可得√2sinα-√2sinβ=√2cosa-√2cosβ-4,

即√2sina-√2cosa-(√2sinβ-√2cosβ)=-4,

即

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所以

所1

即

所以A(1,-1),B(-1,1),

所以|AB|=√(1+1)²+(-1-1)²=2√2,

故选D.

9.【答案】ABC

【解析】解：对于A:分析残差图判断模型拟合程度，由残差图可知，残差分布比较均匀，且集中在0附

近，所以由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型，选项A正确；

对于B:已知Z1¹91x₁=291.6,则样本中心点的横坐标,将x=29.16代入回

归方程y=0.25x+15,可得y=0.25×29.16+15=7.29+15=22.29,所以该种树的平均树高约为

22.29m,选项B正确；

对于C:计算数据(38.4,23.7)对应的残差，当x=38.4时，y=0.25×38.4+15=9.6+15=24.6,残差

为y-y=23.7-24.6=-0.9,选项C正确；

对于D:分析删除一组数据对回归直线斜率的影响，删除数据(38.4,23.7)后，因为38.4大于样本中心点的

横坐标29.16,且23.7小于通过回归方程计算出的38.4对应的预测值24.6,所以删除该点后，样本中心

点向左下方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误.

10.【答案】BD

【解析】解：选项A:函数f(x)的零点即f(x)=sinx(1-cosx)=0时x的值，

因为sinx(1-cosx)=0,则sinx=0或1-cosx=0,

当sinx=0时，x=kπ,k∈Z;当1-cosx=0,即cosx=1时，x=2kπ,k∈Z,

所以f(x)的零点为kπ,k∈Z,A选项错误；

选项B:因为f(-x)=-sinx(1-cosx)=-f(x),所以f(x)为奇函数，

所以f(x)在[一π,π]上的最大值与最小值之和为0,B选项正确；

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选项C:f(π+x)=sin(π+x)[1-cos(π+x)]=-sinx(1+cosx),

f(π-x)=sin(π-x)[1-cos(π-x)]=sinx(1+cosx),

f(π+x)≠f(π-x),所以直线x=π不是f(x)的图象的一条对称轴，C选项错误，

选项D:令g(x)=xf(x)=xsinx(1-cosx),

则g′(x)=(sinx+xcosx)(1-cosx)+xsin²x,

当x,sinx+xcosx<0,xsin²x<0,

所以g′(x)<0,g(x)单调递减，

又g(x)=xf(x)为偶函数，户,g(x)单调递增，

所以0是函数y=xf(x)的极小值点，D选项正确，

故选BD.

11.【答案】ABD

【解析】解：设曲线C上任意一点P(x,y),由图可知y≤0,

根据两点间距离公式点P(x,y)到定点F(0,t)的距离为

根据点到直线的距离公式，点P(x,y)到直线l:y=2的距离为y|-2|.

已知曲线C上的任意一点到定点F(0,t)的距离与到直线l:y=2的距离之积为4,

则可得x²+(V-t)21y-2|=4两边平方可得(x²+(-t3(V-2)²=16.

因为曲线C过原点O(0,0),将原点坐标代入上式可得(0+(0-t)²)(0-2)²=16,

即4t²=16,解得t=±2.

当t=2时，由图可知显然不满足C上的任意一点到定点F(0,t)的距离与到直线l:y=2的距离之积为4,

舍去.

故t=-2,故选项A正确；

当t=-2时，(x²+(y+2)²)(y-2)²=16,令x=0,解得y=0或y=-2√2,所以曲线C中y∈[-2√2,0],

当y=0时，x=0;当y=-1时，时，x=±1,

所以曲线C恰好经过(0,0),(1,-2),(-1,-2)三个整点，选项B正确.

对于选项C,假设C上存在两点关于直线y=x-2对称，

则将曲线C上移2个单位长度的曲线C′上存在两点关于直线y=x对称，

易知曲线C′的方程为(x²+y²)(y-4)²=16,

设曲线C′上关于直线y=x对称的两点为A(xo,yo),B(yo,xo),且xo≠yo,

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则有(x。²+yo²)(y₀-4)²=16,(yo²+x₀²)(x₀-4)²=16,

联立上式可得yo=8-xo,

显然y=8-x与曲线(x²+y²)(y-4)²=16不相交，故假设不成立，故选项C错误；

对于选项D,将x²+(y+2)²=1代入到曲线C的方程(x²+(y+2)²)(y-2)²=16中，得(y-2)²=16,

解得y=6或y=-2,由圆的方程的纵坐标y∈[-3,-1],所以y=6舍去，

将y=-2代入(x²+(y+2)²)(y-2)²=16得x=±1,所以交点坐标为(1,-2),(-1,-2)此时这两点的

坐标也满足圆的方程，所以曲线与圆共有两个交点，选项D正确.

综上，答案为ABD.

12.【答案】10

【解析】解：分两步完成，第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球，共C²种排法，

第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，共C³种排法，

故将这5只球排成一列，有C²·C³=10种不同的方法.

13.【答案】

【解析】解：设切点坐标为(x₀,Inx₀),

因为x>0时，f(x)=Inx,

所以f′(x)

则切线的斜率

则切线方程

代入(0,0),可得xo=e,

此时切线的斜率为另一条切线的斜率为-e,

两条切线方程分别y=-ex,可得交点坐标为(0,0),

联立可得A(e,1),

联立·

因为f(x)是{x|x≠0}上的奇函数，

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∴四边形的面积

故答案为：

14.【答案】8;

【解析】解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被三个对角面A₁BCD₁、B₁BDD₁、A₁B₁CD切割.

每个对角面都会将正方体分成两个部分，但是这些部分会相互重叠.

具体来说：1.第一个对角面A₁BCD₁将正方体分成两个部分，

2.第二个对角面B₁BDD₁进一步将每个部分分成两个，总共分成四个部分，

3.第三个对角面A₁B₁CD会再次将每个部分分成两个，但由于之前的切割，最终会得到8个多面体，因此，

[空1]应填入8.

设正方体棱长为1,截面A₁B₁CD将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分成体积相等的两部分，不妨保留三棱柱

A₁D₁D-B₁C₁C,截面A₁BCD₁将三棱柱A₁D₁D-B₁C₁C分成三棱锥C-A₁D₁D和四棱锥C-A₁B₁C₁D₁,它

们的体积分别于是，保留四棱锥C-A₁B₁C₁D₁,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面A₁BCD₁上，A₁C

与BD₁相交于0,则截面B₁BDD₁将四棱锥C-A₁B₁C₁D₁分成三棱锥0-A₁B₁D₁及多面体0C-B₁C₁D₁,0

是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，于是，三棱锥0-A₁B₁D₁的体积则多面体0-B₁C₁D₁

的体积所以其中一个多面体的体积因此[空2]应填

15.【答案】解：因所以由正弦定理得，即3tanA=2tanB,

(1)因为所以tanC=1,即tan[π—(A+B)]=1,所以tan(A+B)=-1,即

所以3tan²A-5tanA-2=0,解得tanA=2或

因为3tanA=2tanB,所以tanA,tanB同为正数，所以不符合题意，故tanA=2;

(2)因所以由余弦定理得，

整理得，3(a²+c²-b²)=2(b²+c²-a²),即5a²-5b²=-c²,

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又因为b=√2a,所以c=√5a,所以由余弦定理得，

又因为0<C<π,所!

16.【答案】(1)证明：连接PD,因为PA=PC,D为AC的中点，所以AC⊥PD;

又因为PH1平面ABC,ACc平面ABC,所以PH1AC;

又因为PD,PHc平面PHD,PD∩PH=P,所以AC1平面PHD,

又DHc平面PHD,所以AC⊥DH;

因为AC⊥BC,且HD,BC均在平面ABC内，所以DH//BC;

因为BCc平面PBC,DH女平面PBC,所以DH//平面PBC;

(2)解：如图，过点H作HQ⊥BC于点Q,连接PQ,

因为PH1平面ABC,BCc平面ABC,

所以PH⊥BC,

又HQ⊥BC,HQnPH=H,HQ,PHc平面PHQ,

所以BC1平面PHQ,

又PQc平面PHQ,

所以PQ⊥BC,所以∠PQH为二面角P-BC-A的平面角，

因为AC=2,∠PAH=∠CAH=45°,所以PH=AH=√2AD=√2,HQ=DC=1,

所以PQ=√3,

所以

所以二面角

17.【答案】解：

(1)记A=“2件不合格品包装在同一只箱中”,

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因为16件产品随机分装到两只箱中有种，其中2件不合格品包装在同一只箱中有C2C94种，

即2件不合格品包装在同一只箱中的概率为-

(2)由(1)知，

记B=“产品被拒收”,C=“第1次抽到不合格品”,D=“第2次抽到不合格品”,

①若2件不合格品包装在同一只箱中，则P(C)=0,

(可

②若2件不合格品包装在两只箱中，

由①②得，

即这批产品被拒收的概率为-

18.【答案】(1)解：设双曲线厂的焦距为2c,则且2a=2,解得a=1,c=2,

所以b²=c²-a²=3,所以厂的方程为：

(2)(i)证明：设直线l的方程为y=kx+m,C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),B(1,0),

消去y,得(3-k²)x²-2kmx-(m²+3)=0,

所

由

整理得(k²+2k)x₁x₂+(m-k+km)(x₁+x₂)-2m+m²=0,

整理得(k+m)(k-m+2)=0,所以m=-k或m=k+2,

当m=-k时，直线1的方程为y=kx-k,过点B(1,0),不符，故舍去；当m=k+2时，直线I的方程为

y=k(x+1)+2,过点(-1,2),

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所以直线1过定点(-1,2);

(ii)解：直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：

因为P(-1,2),所以直线OP方程为：y=-2x,

又直线BD方程为：y=k₂(x-1),联立y=-2x与y=k₂(x-1),

解得

因为A(-1,0),所以直线AQ的斜率由得直线BD的斜率k₁所

以AQ//BC

19.【答案】解(1)若a=2,则Ciy=Inx+2,C₂:y=√2px(y≥0,p>0)

因为C₁与C₂在公共点处的切线重合，不妨设x₀为公共点的横坐标，则且

所以