2025-2026学年安徽省部分高中学校高三（上）期末数学试卷

2025-2026学年安徽省部分高中学校高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|log2|x|≤2}，则A∩B＝（）A．[0，4] B．（0，4] C．[﹣4，0）∪（0，4] D．[0，1]2．（5分）已知z＝1+i（i为虚数单位），则|z2+i|＝（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（）A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在4．（5分）若奇函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，且最小值为3，则它在区间[﹣2，﹣1]上是（）A．增函数且有最大值﹣3 B．增函数且有最小值﹣3 C．减函数且有最大值﹣3 D．减函数且有最小值﹣35．（5分）tan15°+1tan15°-1A．-3 B．﹣1 C．-33 6．（5分）已知等差数列{an}满足an＝2n﹣1，在ak和ak+1之间插入k个1，得到新数列{bn}，则{bn}的前90项和为（）A．168 B．188 C．212 D．2227．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A，B在C上，若OA⊥OB，则|AF|•|BF|的最小值为（）A．4 B．9 C．16 D．258．（5分）记△ABC的面积为S，若AB→⋅AC→=23SA．﹣1 B．-12 C．-13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知圆C1：xA．C1的半径为4 B．若C1，C2相切，则m＝±4 C．当m＝2时，C1，C2相交弦所在直线的方程为2x﹣3y+5＝0 D．当m＝2时，C1，C2相交弦的长度为2（多选）10．（6分）已知双曲线C：x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线与圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（A．r＝1 B．直线MF2与C的右支恰有两个交点 C．△F2MN周长的最小值为42D．|MN|的最小值为2（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，F在棱CC1上（不包括端点），则（）A．若F为棱CC1的中点，则平面ADF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面为矩形 B．若F为棱CC1的中点，则B，D1到平面ADF的距离之比为2 C．三棱锥D﹣AFD1的体积为定值 D．三棱锥A﹣DEF外接球表面积的最小值为13π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→，b→满足a→⋅b→=4，13．（5分）若函数f(x)=|x-1|ln(2b-xx)的图象关于点（a，0）对称，则a+b＝14．（5分）已知函数f（x）＝（1﹣x）ex，点（a，b）在曲线y＝f（x）上，则f（a）﹣f（b）的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜2，0＜φ＜π）的最小正周期为T，f(T4)=12；f（x（1）求f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g（x）的图象，求满足g（x）≥f（x）的x16．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an（1）求{an}的通项公式；（2）设b1＝a1，bn+1＝bn+nan，求数列{bn}的通项公式．17．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，SA＝2，SA⊥平面ABCD，Q，P分别为SB，AC的中点．（1）证明：PQ∥平面SAD；（2）求平面CPQ和平面SAD的夹角的余弦值；（3）求异面直线AB，SD公垂线段的长度（同时和两条异面直线都垂直并相交的直线叫做异面直线的公垂线，交点之间的距离就是公垂线段的长度）．18．（17分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率为12，圆O：x2+y2＝r2（r＞0），过F的直线与（1）求椭圆C的标准方程；（2）当r＝1时，设D在圆O上，且D也在AB上，判断是否存在点D满足|AD|＝|DB|，若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由；（3）当r=2时，直线AB交圆O于P，Q两点，求|PQ|19．（17分）已知函数f（x）＝ln2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在a∈R，使得关于x的方程f（x）＝ax+b有三个不同的实数根，求b的取值范围；（3）若x＝1为函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的极小值点，求m的取值范围．

2025-2026学年安徽省部分高中学校高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCCAADDB二．多选题（共3小题）题号91011答案ACACACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|log2|x|≤2}，则A∩B＝（）A．[0，4] B．（0，4] C．[﹣4，0）∪（0，4] D．[0，1]【分析】化简集合，根据交集的概念求解．【解答】解：由题A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，B＝{x|log2|x|≤2}＝[﹣4，0）∪（0，4]，故A∩B＝（0，4]．故选：B．2．（5分）已知z＝1+i（i为虚数单位），则|z2+i|＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用复数的四则运算求出z2+i后，再由复数的模的公式即得．【解答】解：由z＝1+i，得z2+i＝（1+i）2+i＝1+2i+i2+i＝3i，所以|z2+i|＝3．故选：C．3．（5分）直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（）A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在【分析】由平面与平面垂直的判定定理得经过直线l的所有的平面都和平面α垂直．【解答】解：∵直线l⊥平面α，∴由平面与平面垂直的判定定理得经过直线l的所有的平面都和平面α垂直，∴经过l且和α垂直的平面有无数个．故选：C．4．（5分）若奇函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，且最小值为3，则它在区间[﹣2，﹣1]上是（）A．增函数且有最大值﹣3 B．增函数且有最小值﹣3 C．减函数且有最大值﹣3 D．减函数且有最小值﹣3【分析】先利用奇函数的对称性，判断单调性，再根据单调性，判断最值出现在区间的端点即可．【解答】解：因为奇函数的图像关于原点对称，若f（x）在[1，2]上是增函数，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，因为f（x）在[1，2]上的最小值为3，即f（1）＝3，根据奇函数性质f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，又因为f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，所以在区间右端点x＝﹣1处取得最大值f（﹣1）＝﹣3．故选：A．5．（5分）tan15°+1tan15°-1A．-3 B．﹣1 C．-33 【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案．【解答】解：因为tan45°＝1，所以tan15°+1tan15°-1=-tan15°+tan45°1-tan15°×tan45°=-tan（15°故选：A．6．（5分）已知等差数列{an}满足an＝2n﹣1，在ak和ak+1之间插入k个1，得到新数列{bn}，则{bn}的前90项和为（）A．168 B．188 C．212 D．222【分析】设新数列{bn}的前90项包含原数列{an}的前m项，得到新数列到am为止的总项数为m+(m-1)×m2，确定出新数列{bn}的前90项包含原数列{an}的前12项和78个【解答】解：设{bn}的前90项包含原数列{an}的前m项，由于ak和ak+1之间插入k个1，可得在am前插入的1的总数为1+2+⋯+（m﹣1）=m(m-1)则新数列{bn}到am为止的前的总项数为m+(m-1)×m当m＝12时，可得12+(12-1)×12当m＝13时，可得13+(13-1)×13所以新数列{bn}的前90项包含原数列{an}的前12项和78个1，因为等差数列{an}满足an＝2n﹣1，所以新数列{bn}的前90项和为12(1+2×12-1)2故选：D．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A，B在C上，若OA⊥OB，则|AF|•|BF|的最小值为（）A．4 B．9 C．16 D．25【分析】结合抛物线的定义与向量垂直的条件，通过代数变形求最值．【解答】解：由抛物线C：y2＝4x，得F（1，0），设A(y124，y1由OA⊥OB，得OA→⋅OB→=y12y2216+y1y则|AF|⋅又y12+y224≥|y1y2|2=8，当且仅当y1＝4可得|AF|•|BF|≥17+8＝25．故选：D．8．（5分）记△ABC的面积为S，若AB→⋅AC→=23SA．﹣1 B．-12 C．-13【分析】先求出角A，再用角B表示BA→【解答】解：因为AB→⋅AC所以由AB→⋅AC所以sinAcosA=tanA=33，因为A∈（0，由正弦定理得：BAsinC=BCsinA=1所以BA→因为sinC=sin(B+A)=sin(B+π所以2sinCcosB=2(=3因为B∈(0，5π6所以BA→⋅BC→≥-1+故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知圆C1：xA．C1的半径为4 B．若C1，C2相切，则m＝±4 C．当m＝2时，C1，C2相交弦所在直线的方程为2x﹣3y+5＝0 D．当m＝2时，C1，C2相交弦的长度为2【分析】将C1的一般方程化为标准方程后可判断A；根据相切得圆心距，再求出m后可判断B的正误；两圆方程相减后得相交弦方程，故可判断C的正误；利用几何法求出弦长后可判断D的正误．【解答】解：已知圆C1：x对于A选项，C1化为标准方程为：（x+m）2+（y﹣5）2＝16，所以C1的半径为4，故A选项正确；对于B选项，由A的判断可得C1（﹣m，5），圆C2：x则C2（0，2）且C2的半径为1，若C1，C2相切，则|C1C2|＝5或|C1C2|＝3，故m2+9=5解得m＝±4或m＝0，故B选项错误；对于C选项，当m＝2时，将C1，C2两圆方程相减可得4x﹣6y+10＝0即2x﹣3y+5＝0，故相交弦所在直线方程为2x﹣3y+5＝0，故C选项正确；对于D选项，由C可得相交弦方程为2x﹣3y+5＝0，故C2（0，2）到直线l：2x﹣3y+5＝0的距离为d=|2×0-3×2+5|所以C1，C2相交弦的长度为21-d2故选：AC．（多选）10．（6分）已知双曲线C：x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线与圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（A．r＝1 B．直线MF2与C的右支恰有两个交点 C．△F2MN周长的最小值为42D．|MN|的最小值为2【分析】根据直线的距离即可求解A，根据直线MF2的斜率与渐近线的斜率比较，即可求解B，根据双曲线的定义，结合三点共线即可求解C，根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解D．【解答】解：由题意得C的渐近线为y=±3x，圆心为（0由于C的渐近线y=±3x与圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（r所以r=23+1=1且M（0，2），F2（2，0），得到直线MF2的斜率为﹣1，因为直线MF2的斜率大于渐近线y=-所以直线MF2与C的左、右支各有1个交点，故B错误；而△F2MN周长为|MN|+|NF当且仅当M，N，F1三点共线时等号成立，故C正确；设N（x，y），所以x2-y可得|MN|2所以|MN|的最小值为2，故D错误．故选：AC．（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，F在棱CC1上（不包括端点），则（）A．若F为棱CC1的中点，则平面ADF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面为矩形 B．若F为棱CC1的中点，则B，D1到平面ADF的距离之比为2 C．三棱锥D﹣AFD1的体积为定值 D．三棱锥A﹣DEF外接球表面积的最小值为13π【分析】根据线面平行和垂直的性质可判断A；根据相似即可求解B；根据等体积法，结合体积公式即可求解C；根据正切的两角差公式，结合外接球的性质即可求解D．【解答】解：A选项：过F作BC的平行线交BB1于点G，所以G为BB1中点，故FG∥AD，FG＝AD，所以四边形ADFG为截面，AD⊥面ABB1A1，AG⊂面ABB1A1，所以AD⊥AG，故四边形ADFG为矩形，A正确；B选项：连接BD1，DG交于点O，则B，D1到平面ADF的距离之比为BOD1OC选项：由题易知三棱锥D﹣AFD1与A﹣DFD1的体积相等，因为△DFD1的面积为定值，F到面ADD1的距离为定值，所以三棱锥D﹣AFD1的体积为定值，C正确；D选项：设FC＝x，所以tan∠当且仅当x=2时，tan∠DFE取得最大值2此时sin∠DFE=1所以sin∠DFE的最大值为13，△DFE外接圆半径最小值为r=故三棱锥A﹣DEF外接球的半径为R2所以三棱锥A﹣DEF外接球表面积的最小值为4π（r2+1）≥13π，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→，b→满足a→⋅b→=4，b→【分析】根据投影向量公式计算求解．【解答】解：∵a→|b∴a→在b→方向上投影向量的坐标为故答案为：（1，1）．13．（5分）若函数f(x)=|x-1|ln(2b-xx)的图象关于点（a，0）对称，则a+b＝【分析】由题意得到f（x）+f（2a﹣x）＝0，代入解析式求解即可．【解答】解：由题意得，f（x）+f（2a﹣x）＝0，所以|x﹣1|ln2b-xx+|2a﹣1﹣x|ln2b-2a+x即|x﹣1|ln2b-xx=|2a﹣1﹣x|ln(所以|x﹣1|＝|2a﹣1﹣x|恒成立，得2a﹣1＝1，解得a＝1，即|x﹣1|（ln2b-xx+ln2b-2+x2-x因为|x﹣1|在定义域内不恒为0，所以2b-xx•2b-2+x2-x即（2b﹣x）（2b﹣2+x）＝x（2﹣x）恒成立，整理得b2﹣b＝0，解得b＝1或b＝0，当b＝0时，f（x）＝|x﹣1|ln-xx所以b＝1，a+b＝2．故答案为：2．14．（5分）已知函数f（x）＝（1﹣x）ex，点（a，b）在曲线y＝f（x）上，则f（a）﹣f（b）的最大值为1．【分析】利用导数判断函数单调性，进而求解值域范围，计算得到结果．【解答】解：由题意函数f（x）＝（1﹣x）ex，对函数求导可得f′（x）＝﹣xex，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）≤f（0）＝1，点（a，b）在曲线y＝f（x）上，则b∈（﹣∞，1]，所以f（a）﹣f（b）＝b﹣f（b）＝b+（b﹣1）eb，设g（b）＝b+（b﹣1）eb，g′（b）＝1+beb，[g′（b）]′＝（b+1）eb，当b∈（﹣1，1）时，g′（b）单调递增，当b∈（﹣∞，﹣1）时，g′（b）单调递减；所以g'(b)≥g'故g（b）≤g（1）＝1，即f（a）﹣f（b）的最大值是1．故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜2，0＜φ＜π）的最小正周期为T，f(T4)=12；f（x（1）求f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g（x）的图象，求满足g（x）≥f（x）的x【分析】（1）根据f(T4)=12列式算出φ=π3，由f（x）的图象关于点(2π3，0)对称，结合0＜ω（2）根据函数图象的平移变换，求出g（x）＝sin（x+π6），然后根据三角恒等变换公式化简g（x）≥f（x），得到2sin(x-【解答】解：（1）根据f（x）的周期T=2πω，可得f（T4）＝sin（ω•π2ω即sin（π2+φ）=12，即cosφ=12，结合0＜因为f（x）的图象关于点(2π所以f(2π即2ωπ3+π3=kπ，k∈Z，结合0＜ω＜2，解得ω（2）将f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到g（x）的图象所以g(x)=f(x-可得g（x）≥f（x）即sin(x+π等价于32sinx+1所以sinx﹣cosx≥0，即2sin(x-π4)≥0，可得x-即x∈[2kπ+π4，16．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an（1）求{an}的通项公式；（2）设b1＝a1，bn+1＝bn+nan，求数列{bn}的通项公式．【分析】（1）根据通项与前n项和的关系得到an＝2an﹣1，再根据等比数列通项公式求解；（2）利用累加法和错位相减法求解．【解答】解：（1）因为an=Sn2+1，所以当则an-an-1=Sn-Sn-1又因为a1所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an（2）因为an=2所以bn+1令cn=n⋅2n，设数列{cn}的前n则Tn=1×2+2×2Tn①﹣②得：-T所以Tn所以bn+1又因为b1＝a1＝2，所以bn+1所以当n≥2时，bn又因为当n＝1时，b1＝2符合上式，所以bn17．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，SA＝2，SA⊥平面ABCD，Q，P分别为SB，AC的中点．（1）证明：PQ∥平面SAD；（2）求平面CPQ和平面SAD的夹角的余弦值；（3）求异面直线AB，SD公垂线段的长度（同时和两条异面直线都垂直并相交的直线叫做异面直线的公垂线，交点之间的距离就是公垂线段的长度）．【分析】（1）连接BD，证得PQ∥SD，利用线面平行的判定定理，即可证得PQ∥平面SAD；（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面CPQ和平面SAD的一个法向量n→=(-1，（3）过A作AM垂直于SD，证得AM为异面直线AB，SD的公垂线，在直角△SAD中，求得AM长度，即可求解．【解答】解：（1）证明：连接BD，因为P为AC的中点，且四边形ABCD为正方形，所以P为BD的中点，又因为Q为SB的中点，所以PQ∥SD，因为SD⊂平面SAD，PQ⊄平面SAD，所以PQ∥平面SAD；（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（2，2，0），P（1，1，0），Q（1，0，1），可得PQ→设平面CPQ的法向量为n→则n→⊥PQ取z＝1，可得x＝﹣1，y＝1，所以n→又由向量n1→=(1设平面CPQ与平面SAD的夹角为θ，则cosθ=|cos＜所以平面CPQ与平面SAD的夹角的余弦值为33（3）因为SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以SA⊥AB，又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，因为SA∩AD＝A，SA，AD⊂平面SAD，所以AB⊥平面SAD，过A作AM垂直于SD，即AM⊥SD，因为AM⊂平面SAD，所以AB⊥AM，所以AM为异面直线AB，SD的公垂线，在直角△SAD中，SA＝2，AD＝2，可得SD=S所以AM=SA⋅AD所以异面直线AB，SD的公垂线的长度为2．18．（17分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率为12，圆O：x2+y2＝r2（r＞0），过F的直线与（1）求椭圆C的标准方程；（2）当r＝1时，设D在圆O上，且D也在AB上，判断是否存在点D满足|AD|＝|DB|，若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由；（3）当r=2时，直线AB交圆O于P，Q两点，求|PQ|【分析】（1）由离心率和通径的计算即可求解；（2）通过斜率为0，斜率不存在，和斜率存在且不为0三种情况讨论求解即可；（3）①当直线AB的斜率为0时，得到|PQ||AB|=22，②当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my+1，联立椭圆方程，结合椭圆弦长公式和圆的弦长公式得到|PQ||AB|=16(2m2+1)(3m2+4)2(m2+1)3，再令t＝m2【解答】解：（1）由题可得ca=1所以椭圆C的方程为x2（2）易知F（1，0），设D（x0，y0），显然当直线AB斜率为0时，不符合题意；当直线AB斜率不存在时，D（1，0），满足题意，此时直线方程为x＝1；当直线AB斜率存在时，如图，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，则x124又x1所以x04y即（x0﹣1）（x0+4）＝0，解得x0＝1或x0＝﹣4，均不符题意，综上所述，存在点D满足|AD|＝|DB|，此时直线AB的方程为x＝1；（3）①当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4，|PQ|=22，所以|PQ|②当直线AB的斜率不为0时，如图，设直线AB：x＝my+1，联立x24+y23=1x=my+1，化简得（3m2+4）y所以y1则|AB|==1+圆心（0，0）到直线AB的距离d=1则|PQ|=22-所以|PQ||AB|令t＝m2+1＞1，则(2m设f（x）＝（2﹣x）（x+3）2（0＜x＜1），则f′（x）＝﹣（3+x）2+（2﹣x）2（x+3）＝（x+3）（1﹣3x），所以当x=13时，f（x）取得极大值，也是最大值所以|PQ||AB|因为51527＞2219．（17分）已知函数f（x）＝ln2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在a∈R，使得关于x的方程f（x）＝ax+b有三个不同的实数根，求b的取值范围；（3）若x＝1为函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的极小值点，求m的取值范围．【分析】（1）确定函数的定义域，求出函数的导数，判断其正负，即可得答案；（2）由题意可得方程ln2x-bx=a（3）求出g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的导数，利用构造函数，结合分类讨论m的范围判断其单调性，判断x＝1是否为函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2的极小值点，即可确定答案．【解答】解：（1）由题意知f（x