2026年高考数学复习热搜题之一、二次函数及方程、不等式

2026年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式

一.选择题(共8小题)

r2x+3y—3<0

1.设x，y满足约束条件卜％-3y+3工0,则z=2x+y的最小值是()

(y+3>0

A.-15B.-9C.1D.9

2.关于x的不等式的解集是(1,+8),则关于工的不等式(。工+〃)(工-3)>0的解莫是()

A.(-8,-I)u(3,+oo)B.(-I,3)

C.(1,3)D.(-8,|)u(3,+oo)

3.对于任意实数x,不等式(〃-2)2(〃-2)X-4V0恒成立，则实数〃取值范围是()

A.(-8,2)B.(…，2]C.(-2,2)D.(-2,2]

4.若不等式在X6成，2]上有解，则实数〃?的取值范围是()

A.[-1,+8)B.(-I,+8)C.(一挤，+8)D.(0,+8)

f0<x<2

5.已知不等式组卜+y-2Z0所表示的平面区域的面积为4,则k的值为()

{kx-y+2>0

A.1B.-3C.1或・3D.0

6.关于"勺不等式加+〃x+c>0(aWO)的解集为(-3,I),则不等式c/+力x+.VO的解集为()

A.(-1,1)B.(-8,一3u(l,+8)

C.(-1,1)D.(-8,-1)u(1,+oo)

7.设集合A={Cx,y)仅・y21,at+y>4,%・ayW2},则()

A.对任意实数小(2,1)GA

B.对任意实数a,(2,1)年A

C.当且仅当aVO时，(2,1)M

D.当且仅当心割寸，(2,1)04

8.如果函数/(x)=/+/»+c对任意实数，都有/(2+f)=/(2-z),那么()

A.f(2)</(1)</(4)B./(I)</(2)</(4)

C.f(2)</(4)</(1)D.f(4)<f(2)</(1)

二多选题（共4小题）

（多选）9.设卬表示不小于实数”的最小整数，则满足关于x的不等式田2+肉-I2W0的解可以为（）

A.V10B.3C.-4.5D.-5

（多选）10.已知关于x的不等式。（X-1）（x+3）+2>0的解集是（川，4），其中wVx2,则下列结论

中正确的是（）

A.X\+X2+2=0B.-3<x\<x><1

C.ki-X2|>4D.XI.¥2+3<0

（多选）11.设p：实数犬满足』-4纨+3〃2<0,其中〃W0,q：实数x满足［］［：一6配，若〃是夕

xz+2x-8>0

的必要不充分条件，则实数。的取值可以是（）

35

A.1B.-C.-D.3

24

（多选）12.已知关于x的一元二次不等式数2+版+c>。的解集为“，则下列说法正确的是（）

A.若M=0,则aVO,AWO

B.若巴=?=£,则关于x的不等式心^〃上田〉。的解集也为M

atbic>

C.若例={*-IVx<2},则关于x的不等式〃（Al）+b（x-1）+c〈2ar的解集为{力Y0或Q3}

a+3b+4c―

D.若xo为常数},且4则一;-----的最小值为5+2通

b-a

三.填空题（共3小题）

x-2y+4>0

13.已知实数x,），满足2x+y-2Z0,则7+）?的取值范围是.

3x—y—340

14.已知关于x的二次方程/+2加计2〃汁1=0,若方程有两根，其中一根在区间（-1,（））内，另一•根在

区间（1,2）内，机的范围是.

15.若方程77-（〃?+13）x-〃?-2=0的一个根在区间（0,1）上，另一根在区间（1,2）±,则实数小

的取值范围为.

四.解答题（共5小题）

16.设函数/（x）=?r-ax+b.

（I）讨论函数/（siru）在（一冬，自）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；

（II）记用（x）=x2-aox+bo,求函数1/（sinx）-fa（sinx）|在［一冬，g］上的最大值D；

42

(HI)在(II)中，取的=加=0,求z=b-?满足条件OW1时的最大值.

17.设〃WR,二次函数/(3=0^-2.x-2a.若/(x)>0的解集为A,«={.v|l<x<3},AA4#0,求

实数。的取值范围.

18.二次函数/(x)的最小值为1,且,f(0)=/(2)=3.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若/Q)在区间[%,/I]上不单调，求a的取值范围.

2

19.关于x的不等式ar+(a-2)x-2>0(«GR)

(1)已知不等式的解集为(-8,-1]U[2,+8),求〃的值；

(2)解关于x的不等式a?+(a-2)A-2>0.

20.已知二次函数/(x)=〃t?-Zi-3,若不等式/(x)V0的解集为(-1,〃).

(1)解关于x的不等式Zp-4x+〃>(m+1)x-1；

(2)已知实数(。，1),且关于x的函数y=/(a')-4av1(AGH，2J)的最小值为-4,求a的值.

2026年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025

年12月）

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案AADBAADA

二,多选题（共4小题）

题号9101112

答案BCACDBCACD

一.选择题（共8小题）

（2x+3y—3<0

1.设x,y满足约束条件出一3y+3工0,则z=2x+v的最小值是（）

（y4-3>0

A.-15B.-9C.1D.9

【考点】简单线性规划.

【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式.

【答案】A

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求辞目标函数的最小值即可.

2%+3y—3<0

【解答】解：x、y满足约束条件2x-3y+3N0的可行域如图：

y+3>0

z=2叶），经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由｛4-3y+3=0解得4（-6,-3）,

则z=2x+y的最小值是：・15.

故选：A.

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力.

2.关于x的不等式ar-力>0的解集是(1,+8),则关于x的不等式(然+〃)(、-3)>0的解契是()

A.(-8,-1)u(3,+oo)B.(-I,3)

C.(1,3)D.(-8,1)u⑶+8)

【考点】解一元二次不等式.

【专题】不等式的解法及应用.

【答案】A

【分析】利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出.

(a>0

【解答】解：•・•关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+8),・•・b.

-=1

1Q

，关于X的不等式(ar+〃)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)>0,

Ax<-1或%>3.

，关于x的不等式(ar+〃)(x-3)>0的解集是{小V-1或x>3}.

故选：A.

【点评】熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解题的关键.

3.对于任意实数x,不等式(a-2)2(«-2)X-4V0恒成立，则实数〃取值范围是()

A.(…，2)B.(…，2]C.(-2,2)D.(-2,2]

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】不等式的解法及应用.

【答案】。

【分析】分类讨论，利用判别式，即可得到结论.

【解答】解：4-2=0,即〃=2时，-4<0,恒成立；

a・2W0时，——，解得・2VaV2,

(4(a-2/+16(a-2)<0

・•・-2VaW2

故选：D.

【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题.

4.若不等式-〃?V0在％wg,2］上有解，则实数〃?的取值范围是()

【考点】•元二次不等式及其应用.

【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用：运算求辞.

【答案】B

【分析】把不等式化为〃?设/(x)=?-2x,求出/(x)在尤弓，2］上的最小值，即可求得

机的取值范围.

【解答】解：不等式x2-2丫-机<0可化为机>/-2JG

设/(外=7-2x,则/(x)=(x-1)2-I^/(1)=-1,

所以不等式/・"-用<0在炉弓，2］上有解，

实数m的取值范围是m>-I,即we(-1,+8).

故选：B.

【点评】本题考查了不等式在闭区间上有解的应用问题，是基础题.

［0<x<2

5.已知不等式组卜+y-2>0所表示的平面区域的面积为4,则k的值为()

l/cx-y+2>0

A.1B.-3C.I或-3D.0

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.

【答案】4

【分析】由于直线)=履+2在)，轴上的截距为2,即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角

形面积公式解之即可.

【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，

解得点4的坐标为(2,2&+2；,

所以S»5C=；(2A+2)X2=4,

解得％=1.

故选：A.

【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法.

6.关于x的不等式〃/+法+c>0(,浮0)的解集为(-3,I),则不等式c/+/u,+aV()的解集为()

11

A.(一方，1)B.(一%一6u(L+8)

11

C.(一1,D.(-8,-1)u(1,+Q0)

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由题意可知，a<0,且-3+1=-3x1=(,所以所求不等式可化为3/・2x・IV。,

从而求出不等式的解集即可.

【解答】解：由题意可知。<0,且一3+1=—1-3x1=：，

所以b=2a,c=~3a,

所以c/+bx+4<0化为3/-2x-\<0,

解得一<x<l,

即不等式cd+Zu+aVO的解集为(一《，1).

故选:A.

【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考杳了一元二次不等式的解法，属于基础题.

7.设集合A={(x,y)ax+y>4,x-a)W2},则()

A.对任意实数小(2,1)GZ

B.对任意实数a,(2,1)於、

C.当且仅当aVO时，(2,1)CA

D.当且仅当仁|时，(2,I)处

【考点】简单线性规划.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式.

【答案】D

【分析】利用。的取值，反例判断(2,1)W4是否成立即可.

【解答】解：当a=-l时，集合A={(A,>0\x-1,心十)>4,人-a,W2}={(A,-

x+y>4,x+yW2},显然(2,I)不满足，-x+y>4,x+)W2,所以A不正确；

当。=4,集合A={(x,)，)|x-y21,ax+y>4,x-ay<2}={(x,j)\x-y^\,4,v+y>4,x-4y<2},

显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确；

当a=1,集合A={(x,y)|x-y21,ax+y>4,x-ay^2]={(x,y)|x-1,x+y>4,x-y<2},

显然(2,1)3所以当且仅当aVO错误，所以。不正确；

故选：D.

【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明

了.

8.如果函数/(X)=/+灰+。对任意实数/都有/(2+八=/(2-/),那么()

A./(2)</(1)</(4)B./(I)</(2)</(4)

C./(2)</(4)</(1)D./(4)</(2)</(1)

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】压轴题；数形结合.

【答案】A

【分析】先从条件“对任意实数，都有/(2+力=/(2-f)”得到对称轴，然后结合图象判定函数值

的大小关系即可.

【解答】解：•・•对任意实数，都有/(2+r)=f(2T)

・・・/(x)的对称轴为x=2,而是开口向上的二次函数故可画图观察

可得/(2)</(1)</(4),

故选：A.

【点评】本题考杳了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象

直观.

多选题（共4小题）

（多选）9.设3表示不小于实数工的最小整数，则满足关于x的不等式㈤2+3-12W0的解可以为（）

A.V10B.3C.-4.5D.-5

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】新定义；转化思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据题意求不等式团2+m・i2wo的解集，得出田的取值范围，再判断选项是否满足条件.

【解答】解：不等式同2+区-12<。可化为（q]+4）（[x]-3）£0,

解得-4WRW3；

又⑴表示不小于实数x的最小整数，

且h/IU]=4,[31=3,1-4.5]=-4,[-5]=-5；

所以满足不等式32+国-“WO的解可以为从C.

故选：BC.

【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是基附题.

（多选）10.已知关于x的不等式。（x-1）（x+3）+2>0的解集是（川，4），其中xiV,v2,则下列结论

中正确的是（）

A.XI+X2+2=0B.-3<AI<X2<1

C.|xi-X2|>4D.XIX2+3<0

【考点】由一元二次不等式的解求参数.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑思维.

【答案】ACD

【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系式，结合二次函数的图象与性质，

即可判断出结论.

【解答】解：由关于x的不等式。(x-1)(x+3)+2>0(启0)的解集是(巾，4)，其中X1VJ2,

所以a<0,且xi,X2是一元二次方程ax2+2ax+2-3a=0的解，

月7以.ri+.r2=-2,MX2=2—3<-3,

所以XI+X2+2=0,XIX2+3<0,选项A。正确.

又因为hl-X2|=J(%I+X2)2-4%I%2=J4-4x=2j4-I>4,所以选项C正确.

由方程a(x-1)(x+3)=0的解是-3和1,得出不等式。(x-1)(x+3)+2>0的解集为(xi,X2),

此时xiV-3V1VX2,选项4错误.

故选：ACD.

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及不等式的解集应用问题，也考查了推理与判

断能力，是中档题.

(多选)11.设p：实数x满足J-4办+3/<0,其中aWO,q：实数x满足(1一,若〃是夕

X4+2x-8>0

的必要不充分条件，则实数。的取值可以是()

35

A.1B.-C."D.3

24

【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件.

【专题】分类讨论；定义法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解.

【答案】BC

【分析】分别求出命题p、q中。的取值范围，根据p是q的必要不充分条件，从而求出。的取值范围.

【解答】解：。>0时，解x2-4ar+3a2Vo得：xE(a,3a),

aVO时，解/-4ar+3a2<0得：xG(3a,a),

解不等式组2U，得：尤(2,3],

+2x-8>0

因为〃是g的必要不充分条件，

所以a>0时，3a>3且aW2,解得1V〃W2,

aVO时，3〃<2且〃>3,无解，

综上可得：1V〃W2.

故选：BC.

【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，也考查了分类讨论思想，是基础题.

(多选)12.已知关于"勺一元二次不等式a?+加+c>。的解集为M,则下列说法正确的是()

A.若M=。,则aVO,△<()

B.若巴二3=工，则关于A-的不等式a'jr+b'x+c'X)的解靠也为M

atbrcf

C.若M={x|-l〈xV2},则关于x的不等式a(x2+l)+b(x-1)+cV2at的解集为{xjxVO或x>3}

a+3b+4c_

D.若xo为常数},且则「----的最小值为5+2通

b-a

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】利用二次函数的图象判断A,设2=£=£=：,若fVO时判断8,由“=国・1〈工<2},

arbrCft

得到{，二二:且aVO判断C,由M={.小WM,村为常数},得到”>0且△=庐-4ac=0,利用换元

法和基本不等式判断D.

【解答】解：A：当。>0时，则一元二次不等式瓜+c>()一定有解，

当“VO,ZiWO时，则一元二次不等式&/+/>+(?>()无解，M=0,工人正确，

abc1

B：设一=-=—=则a'=at,h'=bi,c'=cl,

arb，crt

若/VO,则不等式a'/+〃x+c>00a/+加:+cV(),・••解集不为M,・"错误，

--=-1+2

a工，且

C：若M="|-1VXV2},则・r

-=-1x2

la

(f+l)+b(x-1)-3x>0,/.x<0或x>3,

・••不等式a(pH)+b(x-1)+cV2ax的解集为{小VO或x>3},，C正确,

D：•.•M={x|xWxo,m为常数),且aVb,

.*.6/>0且A=序-4ac=0,b-〃>0,

设b・a=f>0,则Z?=/+。，

b2

匕

则a+3b+4c=-Q-+-3---H-—^=吧5a+t±+522遥+5,当且仅当5吧a=t二即仁而a,b=(1+V5)a时取

b-ab-atata

等号，

a+3b+4c-

••・一;-----的最小值为5I2迷，・・・。正确，

b-a

故选：ACD.

【点评】本题考查一元二次不等式的解法与应用，利用基本不等式求最值，属于中档题.

三,填空题（共3小题）

x-2y+4>0

13.已知实数x,满足2x+y-2?0,则的取值范围是

3x—y-3<0

【考点】简单线性规划.

【专题】数形结合；转化法；不等式.

【答案】见试题解答内容

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直

线的距离公式进行求解即可.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

设Z=/+.\2,则Z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，

由图象知A到原点的距离最大，

点0到直线BC：2x+y-2=0的距离最小，

由以：二；得J二3即，⑵3）,此时Z=22+32=4+9=13,

则z=/=（急2=|,

4

故z的取值范围是《，13],

4

故答案为：《，13].

-1-\

【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键.

14.已知关于x的二次方程,+2加计26+1=0,若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在

区间（1,2）内，，〃的范围是（-3,

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】设/(x)=/+2蛆+2例+1,问题转化为抛物线/(x)=』+2妹+2m+1与x轴的交点分别在区间

〃(0)=2m+1<0

(・I,0)和(1.2)内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得,〃的范

/(I)=4m+2<0

/(2)=6m+5>0

围.

【解答】解：设/(­=/+2/心+2〃?+1,问题转化为抛物线/Cr)=』+2g+2〃?+1与x轴的交点分别在

/(0)=2771+1<0

“)>解得一^V^iV-J，

/(I)=4m+2<062

(f(2)=6771+5>0

5

6--

5

6--.

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题.

15.若方程7，-(〃计13)x-机-2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，则实数m

的取值范围为(・4,・2).

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.

【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据方程和函数之间的关系设/(x)=7x2-(/n+13).r-/n-2,根据一元二次方程根的分布，

建立不等式关系进行求解即可.

【解答】解：设函数f(x)=72-(m+13)x-m-2,

•・•方程(〃?+13)x-〃?-2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2),

/,(0)=-m-2>0(m<-2

/(I)=-2ni-8<0»即

V(2)>0f⑵=—3m>0(m<0

则-4<m<-2,

即实数m的取值范围是(-4,-2)；

故答案为：(■4,-2).

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，根据方程和函数之间的关系构造函数是解决本题的关键.

四.解答题(共5小题)

16,设函数/(x)=/-奴+从

(I)讨论函数/(siiir)在(-多g)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；

乙2

(II)记向(x)=』-aox+仪)，求函数1/(sinx)-fa(sint)|在[-}刍上的最大值D；

(IH)在(II)中，取w=加=0,求2=匕一号满足条件。忘1时的最大值.

【考点】二次函数的性质与图象.

【专•题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)设r=sinv,f(t)=r-at+b(-1</<I),讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的

存在；

(H)结合不等式的性质求得最大值；

2

(Ill)由(II)结合不等式的性质求得Z=b—%n的最大值.

【解答】解：(I)设尸Si3在正(一夕今递增，

即有f⑺=r-at+b(-1</<1),/⑺=2t-a,

①当a》2时，/(/)W0,/(/)递减，即/(sinx)递减；

当-2时，/(/)20,/(/)递增，即/(sinx)递增.

即有。22或aW-2时,，不存在极值.

②当・2VaV2时，・1V/V等，⑺VO,/(sinx)递减：

-<t<\,f(r)>0,f(sinx)递增.

2

/<sin.v)有极小值/(])-b--

(11)一*夕工£时，(sinx：・./b(sinx)|=|(a-ao)siru+Z?-Ao|W|a-ao|+|Z?-Z?o|

当(a-ao)Cb-bo)—()时,取x=*,等号成立；

当(a-ao)(b-bo)WO时，，取、=—刍，等号成立.

由此可知，\f(sin.r)-yb(sinx)|在[一★，/上的最大值为0=|a-〃o|+族-力o|.

(n【)DWI即为同+向wi,此时ow/w],-iwhwi,从而z=b-I$i

q

取a=0,b=\,则间+|〃|W1,并且2=/2—。=1.

由此可知，z=8-半满足条件OW1的最大值为1.

【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想

方法和数形结合的思想，属于难题.

17.设aWR,二次函数/(x)=tzx2-2x-2a.若/(x)>0的解集为A,8={x|lVxV3},AC4W0,求

实数。的取值范围.

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】解：注意到A=4+8〃2>0,则函数有两个零点，由。的正负，确定不等式解集的形式.结合着

数轴分类讨论.

【解答】解：由题意可知二次函数。#0,

令f(x)=。解得其两根为=]—[2++,%2=)+[2+

由此可知xiVO,X2>O

(/)当。>0时，A={HvVx」U{xk>x2}，则408工6的充要条件是rV3,

即:+j+\<3解得Q>多

(，)当“V0时，人=3内〈人<m}408#(|)的充要条件是4>1,

畔+J+3>1

解得。<-2

综上，使人7t4>成立的a的取值范围为(_g,—2)U6,+OO)

【点评】在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等

式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握.

18,二次函数/(x)的最小值为1,且/(0)=/(2)=3.

(I)求/(工)的解析式；

(2)若/(X)在区间[%，。+1]上不单调，求a的取值范围.

【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由二次函数/(x)的最小值为1，且/(0)=/(2)=3,可求得其对称轴为上=1,可设/

(x)=a(x-1)2+1(〃>0),由/(0)=3,可求得“，从而可得/(x)的解析式；

(2)由/(幻的时称轴x=l穿过区间(2«,。+1)可列关系式求得。的取值范围.

【解答】解：(1)・・•/(%)为二次函数且/(0)=/(2),

・••对称轴为x=l.

又•・•/(%)最小值为1,

，可设/(x)=a(X-1)2+|,(«>0)

V/(0)=3,

:.a=2,

：.f(x)=2(x-1)2+1,即/(x)=2?-4x+3.

(2)由条件知f(x)的对称轴x=l穿过区间(加，〃+1)

/.2a<1<«+1,

【点评】本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的图象与性质，考查待定系数法，属于中档题.

19.关于x的不等式以2+(a-2)x-220(t/GR)

(1)已知不等式的解集为(・8,・]]U[2,+8),求。的值：

(2)解关于x的不等式a?+(a-2)X-2N0.

【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象.

【专题】分类讨论；不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出。的值；

(2)讨论。的取值，求出对应不等式的解集即可.

【解答】解：(1)•・•关于x的不等式向分(〃-2)厂220可变形为

(ov-2)(x+1)20,

且该不等式的解集为(-8,-1JU12,+OO),

又不等式对应方程的两个实数根为-1和2；

2

=2,解得4=1；

(2)①a=O0寸，不等式可化为-2N0,它的解集为｛心W-1｝;

②aWO时，不等式可化为(ar-2)(x+1)20,

当a>0时，原不等式化为(A-1)(A+1)20,

22

它对应的方程的两个实数根为一和-1,且一>-1,

aa

，不等式的解集为｛耳仑(或xW-1｝；

当时，不等式化为(-二)(

aVOxax+1)/0,

2

不等式对应方程的两个实数根为一和-1,

a

2

在-2V〃V0时，一<-1,

a

2

・'.不等式的解集为3-WxW-1｝；

a

2

在a=-2时，-=—1»不等式的解集为｛X|A=■1｝;

2?

在aV・2时，一〉一1,不等式的解集为3・IWXWGL

aQ

综上，a=0时，不等式的解集为｛x|xW-1｝,

9

a>0时，不等式的解集为｛木22或xW-1｝,

2

-2VaV0时,不等式的解集为3-MW-1｝,

a

a=-2时，不等式的解集为｛小=-I｝，

aV-2时，不等式的解集为｛R-IWXW舁.

【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题

R.

20.已知二次函数/(x)=〃M-2X-3,若不等式/(x)<0的解集为(-1,〃).

(1)解关于x的不等式Zv2-4x+/?>(m+1)x-I；

(2)已知实数冰(0,1),且关于x的函数y=/(/)-4/7G印，2])的最小值为-4,求。的值.

【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象.

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出机与〃的

值，再求不等式的解集；

(2)用换元法，得函数>=尸-(4。+2)/-3,求出最小值为-4时的。的值即可.

【解答】解：(1)V/(x)=/以2・2x-3,且/(x)V0的解集为(-1,〃)，

，方程wx2-2A•-3=0的两个实数根是・1,〃，且w>0：

(-1+力=2

.1.lx…支

Im

解得《二；；

，原不等式可化为(x-2)(A-1)>0,

解得解集为(・8,1)U(2,4-00);

(2)设，=/,且优(0,I),

2]时，ave[a2,«]；

函数)'=/(«*)・4"+I=--(4〃+2)t-3,

对称轴是f=2a+l>a,

・•・)'〃"“=。2-(4a+2)a-3=-4,

解得a=:或。=-1(舍去)；

.,.存在实数n=i.

【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用

问题，是中档题.

考点卡片

1.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作AOB.

符号语言：AHB=(x\xeAf且.诧用.

八实际理解为：人是A且是6中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

®Ar\B=BQA.②AG0=0.③AAA=A.@AQBQA,AABGB.⑤AGB-GB.⑥AG8=0,两个

集合没有相同元素.⑦AC(Cu4)=0.⑧Cu(4HB)=(QJA)U(CUB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“旦”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

2.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

I、判断：当命题“若〃则，'为真时，可表示为〃=q,称〃为夕的充分条件，q是〃的必要条件.事实上，

与“p=q”等价的逆否命题是它的意义是：若q不成立，则〃一定不成立.这就是说，q对

于〃是必不可少的，所以说，/是p的必要条件.例如：p：x>2；<7：x>0.显然xWp,则等价于

则比〃一定成立.

2、充要条件：如果既有“〃=/',又有“qnp”,则称条件〃是q成立的充要条件，或称条件q是〃成立的

充要条件，记作〃与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若〃为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若pnq为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题的充要条件；

④若为假命题且q=p为假命题，则命题〃是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题〃与命题4所表示的范围，再根据“谁大谁必要，徙小谁充分”的原则，判断命题〃与命题9

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

3.二次函数的性质与图象

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变

量的变化而变化.它的一般表达式为：y=a/+/"+c(aWO)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析儿何里面，或是代数综合体都有

可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物

线的焦点、准线和曲线的平移.

这里面略谈一下他的一些性质.

①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当。>0(<0)时，图象开口向上(向下)：对称轴工=一经：

最值为：/(-^)；判别式△=〃-4"C,当△=()时，函数与工轴只有一个交点；△>()时，与K轴有两

个交点；当avo时无交点.

②根与系数的关系.若△》()，l=Lxi、X2为方程的两根，则有Xl+X2=JI*X2=

③二次函数其实也就是抛物线，所以/=2〃y的焦点为(0,-),准线方程为含义为抛物线

1-22

上的点到到焦点的距离等于到准线的距离.

④平移：当y=a(x+〃)2+c向右平移一个单位时，函数变成y=q(x-\+b)2+c；

【命题方向】

熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得

取得，这也是一个常考点.

4.一元二次不等式及其应用

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+cX)

或ajr+bx+c<()(a不等于0)其中a4+法+c是实数域内的二次三项式.

特征

当△=庐・4心>0时,

―元二次方程ax1+bx+c=0有两个实根，那么a^+bx+c可写成aCx-x\)(x-X2)

当△=b2・4ac=0时，

一元二次方程ar+Z>A+c=0仅有一个实根，那么aC+bx+c可写成a(x-xi)2.

当△=/，-4ac<0时.

一元二次方程ax1+bx+c=0没有实根，那么a^+bx+c与x轴没芍交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式/<户6的解集为.

解：原不等式可变形为(x-3)(x+2)<0

所以，-2<.r<3

故答案为：(-2,3).

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成“/+笈+。<0的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

①一元二次不等式恒成立问题；

一元二次不等式aP+bx+c>0的解集是R的等价条件是：a>0且△V0；一元二次不等式aF+bx+cVO的

解集是R的等价条件是：«<0EA<0.

②分式不等式问题：

里X)。/a)・g(x)>0；

9W

堂<0可(x)・g(x)<o；

g⑺

/(x)■g(%)2o

g(x)工o

fW•g(x)6o

g(x)工o

5.解一元二次不等式

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是小+公+c>。或

a.r+bx+c<0(a不等于0)其中a^r+bx+c是实数域内的二次三项式.

特征

当△=〃？-4ac>()时,

一元二次方程ax1+bx+c=0有两个实根，那么o^+Ar+c可写成a(.r-.ri)(x-X2)

当△=/?2-4ac=0时，

一元二次方程af+/u+c=0仅有一个实根，那么a^+bx+c可写成a(x-xi)2.

当△=户・4团<0时.

一元二次方程/+瓜+。=0没有实根，那么—十几+c与x轴没有交点.

【辩题方法点拨】

例1：