8.6.2直线与平面垂直 讲义-高中数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直●直线与平面垂直的判定一、知识要点思考1、在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化,你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？思考2、如图直线AB与平面α内过B的所有直线.那么对于平面内不经过点B的直线呢?理论依据：根据异面直线所成角可得AB⊥B′C′.∴AB与平面α内的所有直线垂直.记作l⊥∝．★直线与平面垂直的定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.记作：l⊥αl叫做α的垂线,α叫做l的垂面,l与α的唯一公共点P叫做垂足。画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。①“任何”表示“所有”.②定义包含着哪些含义？1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则l⊥α.2.如果l⊥α,则直线l与平面α内的任意一条直线都垂直.利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.简记为：线面垂直则线线垂直思考3、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。思考4、有没有方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？准备一块三角形的纸片，做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），那么：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？结论：思考1、图中平面∝内与折痕AD垂直的直线有几条?它们有什么位置关系?思考2:你能得到直线与平面垂直的判定定理吗?有什么位置关系?★直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.简记为线线垂直则线面垂直二、基础知识要点1、判断题（1）若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直。（）（2）若直线与平面内的所有直线垂直，则直线与平面垂直。（）（3）若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直。（）（4）若直线与平面内的两条直线垂直，则直线与平面垂直。（）2、直线平面，直线，则与的位置关系为3、已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A.α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥βC.m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β四、典例讲解例1、如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。注：证明线面垂直的又一方法，符号表示为：例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证BC1⊥面A1DCB1.例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D巩固练习1：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=，求证：PD⊥平面ABCD巩固练习2：如图，已知PA垂直于☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC●直线与平面垂直的性质一、知识要点★1、直线和平面所成的角如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角.想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?结论：二、基础练习+典例讲解试一试1：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影试一试2：过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC（1）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的_______心（2）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的_______点（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的_______心例题1：（线面角的求法）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面BB1C1C所成的角（2）A1B与面A1B1CD所成的角例题2：（线面角的求法）三棱锥S­ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．小结：通性通法：求斜线和平面所成的角的一般步骤：1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．★2、直线与平面垂直的性质思考1：如图1，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？思考2、如图2，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？证明你的猜想：归纳：直线与平面垂直的性质例1(多选)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若a⊥α，b∥β且α∥β，则a⊥bB.若a⊥b，a⊥α，则b∥αC.若a⊥α，b⊥α，a∥c则b∥cD.若a⊥α，β⊥α，则a∥β例2：直线l∥平面α，证明：l上各点到平面α的距离相等.四、综合提高1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.求证:AM⊥PD;求直线CD与平面ACM所成角的余弦值.2、如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.同步检测：1如