江苏省南通市南师附中、天一中学等九校2026年3月联合考试高三下学期数学试题（含答案）

江苏省南师附中、天一中学等九校2026年3月联合考试高三数学试题南通中学南师附中天一中学如皋中学常州中学启东中学扬州中学盐城中学泰州中学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z=2i+A.1 B.2 C.5 D.32.设集合A=−21a,B=−1aA.-1 B.0 C.1 D.23.xB.−32A.−D.5C.34.已知两条直线m，n和平面α，则下列命题为真命题的是A.若m∥n,m∥α,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m∥n,则n⊥α D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α5.科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有12的概率变为状态2，状态2的粒子有13的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态A.39% B.51% C.64% D.73%6.若直线y=x+1上存在点A,圆.x2+y−m2=2上存在点A.0 B.2 C.3 D.47.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°,bc=6sinBcosC,cosBsinC=36C.332A.A.1B.3D.38.已知正数a，b满足2aA.b＜a＜2b B.a＜b＜2a C.2b＜a＜3b D.2a＜b＜3a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是A.若随机变量.X~N1σ2,则P(X≤0)=B.若事件A，B相互独立，则PC.若样本数据x₁,x₂,…,xₙ的方差为2,则数据2x1D.用相关指数R²刻画回归效果，R²越接近1，说明回归模型的拟合效果越好10.已知函数.fxA.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称中心B.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在相同的对称轴C.曲线y=f(2x)向左平移π3个单位得到曲线y=g(xD.曲线y=f(2x)与曲线y=g(x)关于y轴对称11.已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB，PD分别交于点M，N.设PM=A.λ=μ时,AB∥平面CMNB.λ=12时,C.四面体PQBC的体积为3D.四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a=(1,-2),a+b=(3,m),且a⊥b,则m=.13.已知抛物线(C:y2=2pxp0)的焦点为F，直线x-2y+4=0与C有唯一的公共点14.已知函数fx=xx−22,对任意x∈[0,m],都有f(x四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,已知△PAB是圆锥PO的轴截面，PA=3,AB=2(1)求圆锥PO的外接球的表面积；(2)若C为弧AB的中点，求二面角C-PA-B的正切值.16.(15分)已知数列{an各项均不为零，(1)当t=1时,求an的前50(2)若an＞a17.(15分)某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为p(0＜p＜1),记X为甲随机选择1个选项的得分，Y为甲随机选择2个选项的得分.(1)若p=23,求P((2)求X的概率分布列和数学期望；(3)证明：当且仅当0＜p＜12时，E(X)18.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1ab0)的离心率为7,P(4,(1)求C的方程;(2)若PA⋅PB=36,(3)证明:△PAB的外接圆的圆心Q19.(17分)已知函数f(1)对任意(0＜s＜t,f(2)对任意b＞0,函数g(x)=f(x)-b存在两个零点.x(i)求a的取值范围；(ii)对于(i)中给定的a,证明:当∣x1−x参考答案1-8【答案】C【答案】B【答案】A【答案】C【答案】C【答案】D【答案】B【答案】A9.【答案】ACD10.【答案】AC11.【答案】BCD12.【答案】-113.【答案】514.【答案】3215.1PO=22,圆锥PO外接球球心设O在△BOO'(2)如图建系，∴PA=0−1−22而平面PAB的一个法向量n显然二面角C-PA-B的平面角θ为锐角，∴cosθ=16.(1)当t=1时,a令而b∴{an}一个周期的和为0，∴an的前50项和为：(2)当t=1时,由(1)知an为周期数列，a当t=2时,1∴1anan单调递减满足an＞17.1(2)X的所有可能取值为0,2,3PP∴X的分布列如下：x023P1+3p∴(3)Y的所有可能取值为0,4,6.∴P∴∴当且仅当0＜p＜12时，E(X)＜18.方法一(1)由题意知 ∴C的方程为： x2(2)设直线l方程为y即x2Δ=64PA∴==2=2⇒∴直线l的方程为y=-x+13.(3)设△PAB外接圆方程为x2+∴16+9+4D+3E+F=0⇒F=-25-4D-3E∴外接圆方程为x即Q72m+172方法二：设IPA由：k设外接圆圆心为Qx0y所以x0+y0=方法三：(1)由题意,e2=1+b2a2=74⇒b(2)设直线l方程为x+y=t.设A由x24−∴x1+x2=8t又xMPM2=得PA∴PA⋅PB=25又Δ=−8t2−44故t=1舍去,t=13.∴l:x+y=13,即∴l:y=-x+13.(3)设直线l方程仍为x+y=t,|t|＞1.且△PAB存在,故t≠7.由上可得AB的中点M(4t,-3t).因为AB的斜率为-1,所以AB的垂直平分线斜率为1，其方程为y+3t=x-4t⇒y=x-7t.设外接圆圆心Q(u,v),则v=u-7t.①又QM2=u−4t2+v+3t由(2)已得MA2=24t2−1.因为Q为外接圆圆心，QP2=代入v=u-7t,得(u⇒2(t-7)u=7(t-7)(t+1).由t≠7,得u再由①，v=u−7t=∴Q在定直线x+y=7.19.方法一：(1)由fx≥fs是∴f(x)在(0+∞上单调递增，⇒a1−xh(x)在(0+∞上单调递减，(2)(i)对∀b＞0,e⇒ex−令FF(x)在(-∞,lnb)上单调递减;(lnb+∞x→-∞,F(x)→+∞;x→+∞,F(x)→+∞要使F(x)有两个零点，只需F⇒a＞bφ(b)在(0,1)上单调递增;(1,+∞)上上单调递减,∴(ii)令e∴ex−lnb−令x-lnb=t,其中的两根为t1令GG(t)在(-∞,0)上单调递减;0+∞上单调递增，作出G(t令rr(b)在(0,a)上单调递减;(a,+∞)上单调递增,r∴当b=a时,rbmin=r∴∣x1−方法二：(1)由题意，f令x=t,得f(t)≥f(s),∀0＜s＜t,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.f令hx=e故h(x)在(0,+∞)上单调递增,且.x于是h(x)＞-1,x＞0.从而f'(x)≥0,∀x＞0⇒a≥1.当a=1时,f'∴2令px=ep'x=0⇒令φ(b)=b-blnb,则φ'b=−lnb..故φ于是p当a＞1时,x且pxmin＜0,故方程p(x)=0有两个不等实根，从而g当a＜1时,取b=1,则px当a=1时,取b=1,则p唯一实根为x=0，但x=0不在g(x)的定义域内..∴(ii)不妨设