2026年高考数学复习系列(全国)专题4.1 平面向量的线性运算及数量积(讲义)(解析版)_第1页
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文档简介

专题4.1平面向量的线性运算及数量积(举一反三复习讲义)

【全国通用】

1、平面向量的线性运算及数量积

命题规律平面向量的运算是高考的热点内容。从近几年的高考情况来看,试题主

要以选择题、填空题的形式呈现,其中平面向量的线性运算、平面向量的数

分析量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容,难度中等,有

时会与三角函数、平面几何等相结合命题。学生在高考复习中应注意加强对

向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握,学会灵活求解。

考点2023年2024年2025年

高考真题新高考Ⅱ卷:第13题,新高考I卷:第3题,

5分5分全国一卷:第6题,5

平面向量的

全国乙卷(文数):新高考Ⅱ卷:第3题,分

统计线性运算及

第6题,5分5分全国二卷:第12题,

数量积

全国乙卷(理数):全国甲卷(理数):5分

第12题,5分第9题,5分

全国甲卷(理数):

第4题,5分

预测在2026年全国卷高考数学中,平面向量的运算的考情将继续维持

2026年稳定态势。仍然以选择题、填空题为主,分值稳定在5分左右。核心考点聚

焦数量积、模长夹角、以及平行与垂直关系,难度不大;也可能结合实际情

命题预测境(如速度、位移等)或新定义情境,或延续与三角函数、平面几何等相结

合命题,难度中等。

知识点1平面向量线性运算问题及其解题策略

1.平面向量线性运算问题的求解思路:

(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法

相互转化;

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线

定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向量线性表示.

2.向量线性运算的含参问题的解题策略:

与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,

然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

3.利用共线向量定理解题的策略:

(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线共线.

(3)若与不共线且,则.

(4)��(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.

知识点2向量数量积的性质和常用结论

1.向量数量积的性质和运算律

(1)向量数量积的性质

设,是非零向量,它们的夹角是θ,是与方向相同的单位向量,则

①��.��

②.

③当与同向时,;当与反向时,.

����

特别地,或.

④,当且仅当向量,共线,即∥时,等号成立.

����

⑤.

(2)向量数量积的运算律

由向量数量积的定义,可以发现下列运算律成立:

对于向量,,和实数λ,有

①交换律�:��;

②数乘结合律:;

③分配律:.

2.向量数量积的常用结论

(1);

(2);

(3);

(4);

(5),当且仅当与同向共线时右边等号成立,与反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.����

知识点3平面向量数量积问题的解题策略

1.平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法:当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问

题;

(2)坐标法:当平面图形易建系求出各点坐标时,可利用坐标法求解.

2.夹角与垂直

根据平面向量数量积的性质:若,为非零向量,则(夹角公式),等,可知

��

平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

3.向量的模的求解思路:

(1)坐标法:当向量有坐标或适合建坐标系时,可用模的计算公式;

(2)公式法:利用及,把向量的模的运算转化为数量积运算;

(3)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余

弦定理等方法求解.

4.向量数量积综合应用的三大解题方法

(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代

数运算和向量运算,从而使问题得到解决.

(2)基向量法:适当选取一组基底,写出向量之间的联系,利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行

求解.

(3)利用向量运算进行转化,化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法,以向量

为载体考查三角形问题时,要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

【题型1向量的线性运算】

【例1】(2025·四川眉山·模拟预测)在中,是线段的中点,是线段的中点,则()

A.△𝐴�B.��������=

1331

4��−4��4��−4��

C.D.

1331

−4��+4��−4��+4��

【答案】D

【解题思路】根据平面向量的线性运算求解.

【解答过程】因为是线段的中点,所以.

11

�����=2��+2��

因为是线段的中点,所以,

111

�����=2��=4��+4��

则.

31

��=��−��=−4��+4��

故选:D.

【变式1-1】(2025·四川资阳·一模)如图,D是的边AC的中点,点E在BD上,且,则()

△𝐴���=2��

A.B.

2121

��=3��+6����=3��+3��

C.D.

1211

��=3��+3����=3��+3��

【答案】D

【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可.

【解答过程】由题意,

22

��=��+��=��+3��=��+3��+��

.

2111

=��+3−��+2��=3��+3��

故选:D.

【变式1-2】(2025·河南安阳·一模)已知平行四边形的对角线的交点为,则

()𝐴�����+2��+2��+��=

A.B.C.D.

【答案】C��������

【解题思路】根据给定条件,利用平面向量线性运算计算得解.

【解答过程】在中,.

故选:C.▱𝐴����+2��+2��+��=��+2��−2��−��=��−��=��

【变式1-3】(2025·贵州铜仁·模拟预测)在平行四边形中,是对角线上靠近点的三等分点,则()

A.B.𝐴������

1221

��=−3��+3����=3��−3��

C.D.

1221

��=3��−3����=−3��+3��

【答案】A

【解题思路】由向量的加减法,和数乘运算法则直接求解即可.

【解答过程】因为是对角线上靠近点的三等分点,

所以,����

2

��=3��

则.

2212

��=��+��=��+3��=−��+3��+��=−3��+3��

故选:A.

【题型2向量共线定理及其应用】

【例2】(2025·广东广州·三模)已知向量不共线,与共线,则实数的值为()

A.B.2�,�C.6��+�3�+D2�.�

32

2−3

【答案】A

【解题思路】由向量共线得到,求解即可.

�1

【解答过程】因为与3=2共线,

所以,��+�3�+2�

�1

3=2

解得:,

3

�=2

故选:A.

【变式2-1】(2025·北京·二模)设平面向量与不共线,,则“与共线”是“”的()

A.充分不必要条件��B.必要不�,充�∈分�条件�+����+2���=2

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】根据共线定理可得,由与不共线,得且,即可结

合充要条件的定义求解.�+��=���+2����−2�=0��−1=0

【解答过程】若与共线,

则存在非零实数�+,�使�得��+2�,即,

由于平面向量与�不共线�,+所��以=���+2�且�−2�,�故=��−1,�

因此“与��共线”是“�−2”�的=充0要条��件−,1=0��=2

故选:�C+.����+2���=2

【变式2-2】(2025·福建泉州·模拟预测)已知向量不共线,,其中

→→→→→→

�1,�2��=��1+�2,��=2�1+��2�>0,�>

,若三点共线,则的最小值为()

0A.�,5�,�B.24�+�C.3D.2

【答案】B

【解题思路】由平面向量的共线定理可得,再结合基本不等式即可求得答案.

【解答过程】因为三点共线,所以存��在=实2数,使,即,

→→→→

1212

又向量不共线�,,�,所�以,整理,得�,��=�����+�=�(2�+��)

→→

�=2�,

�1,�2��=2

由,所以1=��,,

当且�>仅0当,�>0时2�,+取�等≥号2,2即��=4的最小值为4.

故选:B.2�=�=22�+�

【变式2-3】(2025·湖南·模拟预测)如图,在中,点是线段上靠近点的三等分点,过点的直

线分别交直线、于点、.设△,𝐴��,则��的值为(�)�

𝐴������=�����=���2�+�

A.B.C.D.

【答案】C1234

【解题思路】根据,结合平面向量的减法可得出,结合,,

21

��=2����=3��+3����=�����=���

可得出,利用、、三点共线,可求出的值.

21

33

【解答过�程�】=连�接��+,因�为��点是线�段�上靠�近点的三等分点,2�则+�,

��������=2��

即,所以,,

21

��−��=2��−����=3��+3��

又因为,,则,

21

��=�����=�����=3���+3���

因为、、三点共线,设,则,

所以,�����,=且���、不��共−线�,�=���−��

所以,��=1−�,��+��,�故����,因此,.

2121

3�=1−�3�=�3�+3�=1−�+�=12�+�=3

故选:C.

【题型3平面向量数量积的运算】

【例3】(2026·四川巴中·一模)已知平面向量满足,与的夹角为,则()

π

�,�|�|=2,|�|=3��3�⋅(�−�)=

A.7B.1C.D.

【答案】B4−334+33

【解题思路】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可.

【解答过程】因为.

22π1

�⋅(�−�)=�−�⋅�=|�|−|�|⋅|�|⋅cos3=4−2×3×2=1

故选:B.

【变式3-1】(2026·河北·一模)已知向量均为单位向量,且,则

1

()�,�,��⋅�=−2,|3�+�|=|�−2�|�⋅�=

A.B.C.D.

1111

−5−4−3−2

【答案】D

【解题思路】根据给定条件,利用数量积的运算律列式求解.

【解答过程】由向量均为单位向量,且,

1

得�,�,�,整理得�⋅�=−2,|3�+�|=|�−,2�|

222222

即(3�+�)=(�−2�)9�,+所�以+6�⋅�=.�+4�−4�⋅�

11

9+1+6⋅(−2)=1+4−4�⋅��⋅�=−2

故选:D.

【变式3-2】(2025·浙江杭州·一模)设向量.若,则()

A.2B.3�=C.24,�,�=2+�,2�D.�5⋅2�−�=0�=

【答案】A

【解题思路】由向量的坐标表示出,然后解方程即可.

→→→

【解答过程】,�⋅2�−�=0

∴2�−�=2−�,0,

�⋅2�−�=4−2�+0=0

解得.

故选:�=A.2

【变式3-3】(2025·新疆辽宁·一模)等腰梯形ABCD中,AB平行于CD,,,,P

π

𝐴=2��=1∠�𝐴=4

为腰AD所在线段上任意一点,则的最小值是()

A.B.1��⋅𝐴C.D.

3

322

【答案】C

【解题思路】作垂直于于点,作垂直于于点,建立平面直角坐标系,求出相关点的坐标,利

′′′′

用坐标计算出��的表�达�式,由�二次�函�数的单调𝐴性即可�求得答案.

【解答过程】��⋅��

如图,作垂直于于点,作垂直于于点,

′′′′

又�,�,𝐴�,��𝐴�

π

𝐴=2��=1∠�𝐴=4

则,,,,

′1′1′3′1

以点��为=坐2标�原�点=,2�所�在=直2线�为�=轴2建立如图所示的平面直角坐标系,

�𝐴�

则,,,,又P为腰AD所在直线上任意一点,

3111

�0,0�2,0�2,2�2,2

则设,,则点P的坐标为,

1111

��=���=2�,2��∈0,12�,2�

所以,,

31111112

��⋅��=2−2�,2−2�⋅2−2�,−2�=2�−2�+3�∈0,1

又关于的二次函数的对称轴为,

12

��=2�−2�+3�=2

则在上单调递减,

12

�=2�−2�+3�∈0,1

所以当,即点P和点D重合时,取得最小值.

3

�=1��⋅��2

故的最小值是.

3

��⋅��2

故选:C.

【题型4平面向量的夹角问题】

【例4】(2025·广东深圳·模拟预测)已知非零向量满足,则与的夹角为()

A.B.C.�,�(�+4�)⊥D�,.(�+3�)⊥���

ππ2π5π

6336

【答案】D

【解题思路】根据向量垂直得到方程组,设,则,,利用向量夹角余弦公式求出

答案.�=1�⋅�=−3�=23

【解答过程】,

22

所以(�+4�)⋅�,=不�妨+设4�⋅�=,0则,(�+3�)⋅�,=�⋅�+3�=0,

2

�222

�⋅�=−4=−3��=1�⋅�=−3�=12�=12

所以,故,

�⋅�−33

�=23cos�,�=�⋅�=23=−2

又,故与的夹角为.

�,�∈0,π��6

故选:D.

【变式4-1】(2025·山东泰安·模拟预测)已知向量,若的夹角为锐角,则实数的取

值范围是(  )�=(1,2),�=(�,4)�,��

A.B.且C.D.

【答案】B�>−8�>−8�≠2�<−8�≠2

【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围,注意排除同向共线的情况即可.

【解答过程】由题意�⋅�>0,

若�,⋅�此=时1⋅�同+向2⋅共4线=,�非+锐8角>,0⇒�>−8

�4

1=2=2⇒�=2�,�

所以且.

故选:�B>.−8�≠2

【变式4-2】(2025·四川绵阳·模拟预测)已知向量,且,则向量与夹角的大小为

()�=2�=0,1�⋅�=1��

A.B.C.D.

ππππ

2346

【答案】B

【解题思路】根据已知,利用平面向量夹角公式求解.

【解答过程】,

,∵�=0,1

∴�=1

∵�⋅�=1,

∴�⋅�cos<�,�,>则=1.

1�

cos<�,�>=2<�,�>=3

故选:B.

【变式4-3】(2025·甘肃·模拟预测)若是非零向量且满足,则与的夹角的余

弦值为()�,��−3�⊥�,�−3�⊥���

A.B.C.D.

1124

9339

【答案】B

【解题思路】由向量垂直关系得到,再由向量夹角公式即可求解.

1212

【解答过程】设与的夹角是,因�为⋅�=3�=3,�

所以��,即��−①3,�⊥�

2

又因为�−3�⋅�=0,|�|−3�⋅�=0

所以�−3�⊥�,即②,

2

由①②�知−3�⋅�=0|�|−3�⋅�=,0

1212

�=�,�⋅�=3�=3�

所以12.

�⋅�3|�|1

2

故选:coBs�.=��=|�|=3

【题型5平面向量的模长问题】

【例5】(2025·江苏·模拟预测)已知平面向量,,且,则()

A.B.4C�.=1,−2�=3D.2�4+�⊥��−�=

【答案】C226

【解题思路】由,得到,通过即可求解.

2

22

【解答过程】因为�+�⊥�,�⋅�=−5�−�=�−2�⋅�+�

所以�+�⊥�,

2

又�+�⋅�,=则�+�⋅,�=0

2

所以�=1,−2,�=5

所以�⋅�=−5,

2

22

�−�=�−2�⋅�+�=5+10+9=24

所以,

故选:�C−.�=26

【变式5-1】(2025·甘肃平凉·模拟预测)已知平面向量满足,且向量在向量上的投影向量

为,则的值为()�,��=�=1��

1

2�2�−3�

A.B.C.D.

【答案】C252376

【解题思路】由投影向量的定义求出,再由向量的模长公式求解即可.

1

�⋅�=2

【解答过程】因为向量在向量上的投影向量为,

1

��2�

所以,所以,又,

�⋅�1�⋅�1

22

|�|⋅�=2�|�|=2�=�=1

所以,所以.

1222

故选:�⋅C�.=22�−3�=(2�−3�)=4�−12�⋅�+9�=7

【变式5-2】(2025·云南·一模)已知是单位向量,且.若平面向量满足,则

11

的值为()�,��⋅�=−2��⋅�=�⋅�=2�

A.B.C.1D.

23

【答案】C222

【解题思路】以为原点,以方向为轴正方向建立平面直角坐标系,利用平面向量数量积的坐标运算可求

出的坐标,由�此可得模长.��

【解�答过程】由题意得,,设,

∵,∴�,=故�=1.�,�=�,�∈0,π

112π

�⋅�=−2cos�=−2�=3

如图,以为原点,以方向为轴正方向建立平面直角坐标系,使的起点与重合,终点在第二象限,则

�,�����=

13

1,0,�=−2,2

设,则1,故1,

�⋅�=�=2�=2

�=�,�1313

�⋅�=−2�+2�=2�=2

∴,故.

2

→13→123

故选�=:C2.,2�=2+2=1

【变式5-3】(2025·河北保定·二模)如图,圆和圆外切于点,,分别为圆和圆上的动点,已

�1�2����1�2

知圆和圆的半径都为1,且,则的最大值为()

2

�1�2��⋅��=−1��+��

A.2B.4C.D.

【答案】D2223

【解题思路】由,化简得到

112212121

,两��边⋅平𝐴方=化简��可得+:��⋅��+��=1,�由�⋅��=��⋅��−��≤

2

�2�−�1�−1−3≤�1�⋅�2�≤−1+3��+��=��1+�1�+��2+

化简即可得到答案.

2

2

【�解�答过程】

��⋅��=��1+�1�⋅��2+,�2�=��1⋅��2+��1⋅�2�+�1�⋅��2+�1�⋅�2�

=所−以1+��1⋅�2�−�1�+�1�⋅�2�=−1,

1212121

所以��⋅��=��⋅��−��≤��−,�即�,

2222

1221121212

解得��⋅��≤��+��−.2��⋅����⋅��+2��⋅��−2≤0

−1−3≤�1�⋅�2�≤−1+3

22222

1122121212

��+𝐴=��+��+��+��=�.�+��=��+��+2��⋅��

=故选2+:2D�.1�⋅�2�≤2+2×−1+3=23

【题型6向量数量积与其他知识交汇】

【例6】(2025·辽宁·模拟预测)设锐角的外心为,满足,,则

3

()△𝐴��3��⋅��=��⋅��sin�=2sin�sin�=

A.B.C.D.

22+325+17372

551812

【答案】A

【解题思路】结合图形,利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式,再利用同角的三角函数

关系将另一式化成②式,联立求出三角函数值,借助于和角公式即可求得答案.

【解答过程】

如图,圆是锐角的外接圆,设其半径为,

则�△𝐴��,

由|��|=|𝐴|=|��|=可�得,∠�𝐴=2∠�𝐴,∠���,=即2∠���,

2222

也即3��⋅��=��⋅��①.3�cos2�=�cos2 �32cos�−1=2cos �−1

22

又由3cos�−cos 两�边=平1方可得,即,

32222

也即sin�=2sin�②4sin�=3sin �4−4cos�=3−3cos�

22

4cos�−3cos �=1

联立①和②,解得22,因为锐角三角形,故有,,

cos�=5105

21△𝐴�cos�=5cos�=5

cos�=5

从而,,

215225

sin�=1−cos�=5sin�=1−cos�=5

于是,.

22+3

故选:Asin.�=sin(�+�)=cos�sin�+cos�sin�=5

【变式6-1】(2025·安徽芜湖·三模)已知与直线交于两点,且被截得两

22

段圆弧的长度之比为,若为上一⊙点�:,�则+�−10的�最+大9=值0为()��,�⊙��

A.1:B3.�⊙�C.��⋅��D.

【答案】B182+12162+16122+20102+24

【解题思路】根据题意,得到,所以,设为边的中点,根据向量的运算法则,求

π

∠�𝐴=2��⋅��=0�𝐴

得,结合圆的性质,即可求解.

22

【解�答�过⋅�程�】=由��+2��⋅��≤��+2,�可�得⋅圆�心�,半径,

22

⊙�:�+�−10�+9=0�(5,0)�=4

因为直线交圆于两点,且圆被截得两段弧的长度比为,

所以�,�可�得,�,��1:3

π

2

设为∠�𝐴边=的中点,可��得⋅𝐴=0,

则�𝐴��+𝐴=2��

2

��⋅��=(��+��)⋅(��+��)=��+(��+��)⋅��+��⋅��

22

当=且�仅�当+2�与�⋅�方�向≤相�同�时+,2等�号�成⋅立�,�

����

因为,所以.

22

2

所以��=�的=最4大,�值�为=�=2.2��⋅𝐴≤��+2��⋅��=16+162

故选:��B⋅.��162+16

【变式6-2】(2025·河北保定·三模)如图,在四边形中,,,,为线

段的中点,,则()𝐴����=2��=3∠���=30�

����=2����⋅��=

A.3B.C.D.

333

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