2026年高考数学二轮复习：各类函数综合归类（题型）（天津）解析版

专题03各类函数综合归类

i目录

i

|第一部分题型破译微观解剖，精细教学

1他典例引领性方法透视他■变式演练

!【选填题破译】

!

j题型01函数单调性的应用

|题型02函数奇偶性的应用

j题型03函数周期性的应用

题型04函数对称性的应用

i题型05函数4大性质的综合应用

|题型06已知函数解析式判断函数图象

!第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

【例111下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是().

A./(x)=YB./(犬)=*C./(x)=-D.f(x)=-2x

X

【答案】D

【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可.

【详解】对于A,函数/(»=•?在R上单调递增，故A错误；

对于B,函数/(x)=-V是偶函数，故B错误；

对于C,函数/（x）=!的定义域是{x|x，O},不是其定义域上的减函数，故C错误；

X

对于D,函数/（x）=-2x定义域为R,是奇函数且在R上单调递减，故D正确.

故选：D.

2

【例1・2】（2025•天津•二模）己知函数/（x）=x+sinx,xeR,若，“〃嚏⑼，Z?=/（log32）,c=f（2~）,

则。，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>ciC.a>c>bD.b>a>c

【答案】A

【分析】由导数知识可得/（x）在R上单调递增，然后比较唾2，唾32,2-2三者大小关系结合/（“单调性可

得答案.

【详解】f（x）=\+cosx>0,则f（x）在R上单调递增.

xlog23>log22=1,log32<log33=l,

1Y«（i

44

注怠到24=16>3彳=3,WiJ2>3=>log32>log33=-=2\贝I]log23>log,2>2々，

<）\/4

因为f。）在R上单调递增.

所以/（1叫3）"（1强2）>/（2-2）,

^a>b>c.

故选：A

方收电视

同一定义域内

①增函数（/）+增函数（/）=增函数/②减函数（、）+减函数（、）=减函数、

③/（幻为/，则一/（X）为、，IM为、④增函数（/）一减函数（、）=增函数/

⑤减函数（、）一增函数（/）=减函数、⑥增函数（/）+减函数（、）=未知（导数）

复合函数的单调性

函数/'（x）=Mg（x））,设〃=小）,叫做内函数，贝y（x）=”（〃则做外函数,

'内函数T,外函数T,n复合函数T

内函数J,外函数复合函数T4卜日抽巳H

内函数T,外函数复合函数结论：问增异减

内函数，，外函数复合函数J

，变式演佳

【变式1・1】(2026•天津北辰•月考)已知函数”,1)=加(—2-2x+3),则〃x)的增区间为.

【答案】(-3,-1)

【分析】根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可.

【详解】由-f-2x+3>0,解得：-3<x<l,即/(x)的定义域为(—3,1),

令y(x)=—x2-2x4-3,则y=Inv,

因为y=lnu在定义域内为单调递增函数，

所以求函数/(力的递增区间，只需求u(x)在(-3,1)上的单调递增区间即可，

而1，(工)=一/-21+3的对称轴是/=一1,开口向下，

故v(x)=-f-21+3在(―3,-1)单调递增，在(—1,1)单调递减，

根据复合函数同增异减的原则，得/(x)的增区间为(-3,-1).

故答案为：(-3,-1).

【变式1・2】(2U26•天津滨海新•月考)函数/。)=：一詈若fQ-a)〈f0,则实数〃的

2-7(-x),-2<x<0

取值范围()

A.[--,!)B.C.(-00，：)D.(1,2)

2222

【答案】D

【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式.

【详解】函数〃=一*+2在[0,2)上单调递减”函数J=log2〃在(0，”)上单调递增，

则函数y=log2(-x+2)在10,2)上单调递减，因此函数f[x}=2-log2(-x+2)在[0,2)上单调递增，

当％e(-2,0)时，-Xw(0,2),f(x)=2-f(-x)=2-[2-log2(x+2)]=log2(x+2),

函数/*)在(-2,0)上单调递增，而函数/(幻在x=0处连续，因此/*)在(-2,2)上单调递增，

由f(l—〃)</(〃)，n-2<\-a<ci<2,解得g<a<2,

所以实数。的取值范围是(；,2).

故选：D

【变式1-3](2025•天津和平•一模)已知函数/(x)的定义域为。xo),若对于任意的x,ye(。,一)，都有

/(》)+/&)=〃划)+2,当时，都有〃x)>2,"3)=3.则函数“力在区间[1,27]上的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在9,+◎上的单调性，再利用单调性求出最大值.

［详解］任取&,x2€(0,+00),X,<r,则>1,

内

由当x>l时,都有/")>2,得/申>2,

任意的X,y€(0,+oo),都有f(x)+f(y)=f(xy)+2,

即f(砌=即x)+f(y)-2,

则f(w)=fa­—)=fw+/(包)-2>f(n),

为内

因此函数/(X)在(0,E)上单调递僧，

故国1,27］时,/WnMK=/(27)=/(3)+/(9)-2

=3+/(3X3)-2=1+/(3)+/(3)-2=34-3-1=5,

故选：B

题型02函数奇偶性的应用

辑网引发

【例2・1】(2026•天津滨海新•月考)若函数〃%)=淆~(攵为常数)在定义域上为奇函数，则左=.

【答案】1

k-V1X-k

【分析】由奇函数的性质得到恒成立，即可求.

【详解】由题设，(一同=匕;=小丑=-/(用，即空上1=二?恒成仁所以2=1,经验i正满足题

设.

故答案为：1

【例2・2】(2026•天津・月考)设奇函数/("的定义域为R,对任意的e(°，+8),且3N孙都有不等

式VU.)-V(A-2)＞()＞且八_2)=-1,则不等式八公2)＞乌的解集是()

x\~x2x-2

A.(0.4)B.(—,0)J(2,4)C.(f,0)U(4,y)D.(0,2)U(4,+oo)

【答案】D

【分析】根据给定条件，构造函数g(x)=#5),利用函数单调性定义确定g*)在(。,位)上的单调性，再结

合奇偶性求解不等式.

【详解】设函数g(x)=#(x),由f0)为R上的奇函数，g(-x)=-#(-%)=xfM=g(x),

则函数g。)是R上的偶函数，又卫生玉3＞0o史立血＞0,

依题意，对任意的N，“24。'4"00)，目.王。天，都有"")一'*)>(),

再一勺

则函数g(x)在(0,+00)上单调递增，由/(-2)=-1,得g(2)=g(—2)=-2/(-2)=2,

不等式仆—2)>3=gzz匚>o=gi2>。，

x—2工―2x—2

则得①或<啊

x-2>2

由①可得，，，解得x>4：

x>2

由②可得卜(?［<“),即得［2-；<2,解得0Vx—

-x-2<0x<2

综上可得，原不等式的解集为9,2)11(4,〜).

故选：D

方收电视

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)

②奇偶性的定义：

奇函数：/(一工)二一/(幻，图象关于原点对称，偶函数：y(-x)=/(x),图象关于y轴对称

③奇偶性的运算

/(X)屋/)y(x)+g(x)/(x)-g(x)/(z)g(l)/［晨川

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

陵式僚称

【变式2・1】(25・26高一上•天津滨海新•月考•)有下列命题：

①当。>0,且"1时，函数/*)=「2_3必过定点(2,-2)；

②不等式2Zd+--?<0的解集为R,则实数攵的取值范围为(-3,0)；

O

③函数/*)是定义在R上的偶函数，当XN0时，/(x)=f+x-l.则当xvO时，f(x)=x2-x

…19

④已知2"=3=&(心1),且一+：=1,则实数2=8.

ab

其中正确命题的序号为(把正确的答案都填上).

【答案】①③

【分析［根据指数型函数图象恒过定点判断①；对不等式的二次项系数分类讨论，分别求得满足条件的集

合，即可求得左的取值范围，即可判断②；利用函数的奇偶性求解析式即可判断③；根据对数的运算性质

计算即可判断④.

【详解】对于①，因为所以令X—2=0,即x=2,

则f(2)=a"-3=-2,故”力过定点(2,-2),故①正确：

a

对干②，当2=0时，满足题意，

8

当£>0时，函数y=2履?+开口向上，2履［+履-：<0解集为R不成立，

88

当七<0时，若2H2+履-3<0解集为R,则△=F-4x2Zxf-^|<0,解得-3<攵<0,

8ko)

a

综上若不等式2丘2+履一3<0的解集为R，则实数上的取值范围为(-3,0］,故②错误；

O

对于③，函数“X)是定义在R上的偶函数，

・••/(-力=/(力

又当穴之0时，f(x)=x2+x-\,

2

当工V0时，-x>0,/(-x)=x-x-lt

.\/(x)=x2-x-l,即当％V0时，f(x)=x2-x-\,故③正确：

对于④，因为2"=3〃=攵(女工1),所以〃=唾22力二唾3%,

11,c1I,

所以一=；----7=log*2,7=-------=logt3,

alog2Kblog?k

2

故由L+?=l得logA2+21og*3=l,HPlogJl(2x3)=l,即log.8=l,

所以2=18,故④错误.

故答案为：①③

【变式2・2］若辕函数〃力=(>+，〃-5*-+3为偶函数，则川=

【答案】-3

【分析】由事函数的定义得病+〃?-5=1,解出加，并根据/卜)为偶函数，进行检验，得到小的值.

【详解】因为/(幻=(川+加一5)^-，3为辕函数，Mm2+m-5=l,解得帆=-3或相=2.

当〃?=2时，f［x}=x3,为奇函数，不符合题意；

当刑=一3时,/(x)=x18,为偶函数,符合题意,所以〃%)=/.

故答案为：-3.

【变式2.3】已知小)是定义在R上的偶函数，当—时，号老八小恒成立，且/⑵=1,

则不等式/'(X—2)VY—4X+1的解集为—.

【答案】(F,())U(4,+OO)

【分析】根据题意构造新函数g。)，判定其奇偶性及单调性进行计算即可.

【详解】因为"詈八…'所以/

2

即fa)-X；<f(x2)一后，令g(x)=f(x)-x,则有g($)Vg(w),

则X。)在(F,0］上单调递蟠.

又f(x)是定义在R上的偶函数，g(r)=/(-x)-(r)2=/(幻-/=式外,

所以g。)是定义在R上的偶函数.

由f(x-2)</-4x+l,可得/(X-2)V(X-2)2-3,

整理得f(x-2)-(x-2)2<-3=/(2)-22,

即g(x-2)<g⑵，

由Xa)是偶函数且gM在单调递增，在(0,+))单调递减,

可得|x-2|>2,解得x>4或x<0.

综上，不等式的解集为(—0)54,田).

故答案为：(yo,0)u(4,”).

题型03函数周期性的应用

典例引颔

【例3・1】(2025•天津红桥•模拟预测)定义在R上的奇函数/3满足/*)=/(2-幻，且当时，

/(A)=2',则/(log220)=

【答案】7

4

【分析】根据已知条件推导出函数的周期性，再利用函数的性质将/(log?20)转化为已知区间内的函数值求

解问题即可.

【详解】因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=为K/(-x)="/(x)

所以/(2-幻=-/。-2),

又f(x)=/(2-幻，

所以/(幻=一/a-2),/(X-2)=-/U-4),

根据这两个式子可得fM=/U-4),所以/*)是以4为周期的周期函数，

又log220>log216=4,所以20)=/(log,20-4),

又log,20-4=log,20-log,16=log,-<log,2=1,所以0vlog220-4v1,

4

,082

故f(log?20)=/(log220-4)=/(log2=2^=1.

故答案为：7.

4

【例3・2】(2025•天津武清•模拟预测)已知“X)是定义在R上的偶函数，且/(4r)=/(x),当0"普

时，/(x)=3-2x,则/•(-2025)=()

A.-1B.1C.3D.7

【答案】B

【分析】首先根据偶函数的定义可得：/(-x)=/(x),进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数

周期性求解函数值即可.

【详解】因为/1)是定义在R上的偶函数,所以=,又因为/(4一力=/(切,

所以f(4-x)=f(r),所以/(%+4)=f(x),所以f(x)的周期为4.

因为时，/(x)=3-2x,所以〃_2025)=/(_1)=/⑴=1.

故选：B.

方收电视

①若/(X+〃)=/"),则/(龙)的周期为：丁=同

②若/(x+a)=/(%+〃)，则/(工)的周期为：7=卜一4

③若/(X+〃)=-/(.E),则/⑴的周期为：T=\2ci[(周期扩倍问题)

④若/(x+a)=±-',则/(x)的周期为：T=\2ci\(周期扩倍问题)

/U)

【变式3・1】(2026•天津滨海新•调研)已知函数〃x),g(x)定义域均为R,g(x)的图象关于点(L0)对称,

且满足/(l+x)+g(f)=4,/(x-3)+g(K)=4,则下列说法错误的是()

A.函数”力的图象关于x=-1对称B.函数g")的图象关于x=2对称

C.)=g(x-l)是奇函数D.g(—l)+g(O)+g(l)+g(2)=l

【答案】D

【分析】对A、B,由已知条件通过变局代换判断对错；对C,分析g(x)的周期，利用周期性及中心对称赋

值化简判断；对D,利用周期性和对称性求解判断.

【详解】对于A：由，(l+x)+g(r)=4得〃-l+x)+g(2-x)=4,

由f(x—3)+g(x)=4得/(—l-x)+g(2—x)=4.

所以/(—1—x)=/(-1+x),即函数/(x)的图象关于x=—l对称，A正确；

对于B：由〃l+x)+g(T)=4得〃T+x)+g(2r)=4,

由f(x-3)+g(x)=4得〃x-l)+g(2+x)=4,

所以g(2r)=g(2+x),即函数g(x)的图象关于x=2对称，B正确：

对于C:因为g(1)关于点(1,0)对称,所以g(l+x)=-g(l-x),

因为g(x)关于x=2对称，所以g(l—x)=g(3+x),

所以g(l+x)=-g(3+x),所以g|：2+x)=-g(x),所以g(4+x)=-g(2+x)=g(x),

即g(x)周期为4,

又由g(x)关于点(1,0)对称可得g(xT)=-g(3-x)=-g(T-x)

即g(「x—l)=­g(x-l),所以y=g(x-l)是奇函数，C正确；

对于D：因为g(x)关于4=2对称，所以8⑴二8⑶，

因为g(1)关于点(LO)对称，所以g(-l)+鼠3)=0,屋0)+晨2)=0,

所以g(-l)+g(O)+g(l)+g⑵=0,D错误;

故选：D.

【变式3・2】(2026•天津•联考)下列说法正确的是()

A.与/(另二疗表示同一个函数

B.函数/。)=卜+1|的单调增区间为(-8,-1)

C.函数/(力=6+1的值域为［L+8)

D.对于也wR,函数/(x)满足/(x+2)=/(x).若xw［0,2)时，f(x)=x,则/(5)=5

【答案】C

【分析】根据相同函数的条件可判断A：根据绝对值函数的单调性可判断B；根据函数的值域可判断C；

由周期函数的性质可判断D.

【详解】对于A：f(x)=47=\x\,所以/*)="与/(力=/7不是同一个函数，故A错误；

对干B：/(x)=|x+l|在上单调递减，在(T+8)上单调递增，故B错误；

对于C：&N0,所以/(力=«+121,函数/。)=五+1的值域为［l,+oo),故C正确；

对于D：/(5)=/(3)=/(1)=1,故D错误.

故选：c.

【变式3・3】(2025•天津河北•模拟预测)定义在R上的奇函数〃“满足〃X+2)=/(力，且当0<x41时,

D.

4

【答案】D

【分析】根据条件，利用函数的性质，得了(9)=一/(£|，再将x代入/(H=-f+x,即可求解.

【详解】因为“。奇函数,又/(x+2)=f(x),知的一个周期为T=2,

所以痣卜小3-升《%-同,

又当0<xWl时，/(x)=-x2+x,所以==则

故选：D.

题型04函数对称性的应用

'典例引6

【例4・1](2026•天津南开碉研)定义在R上的函数/。)满足f(4-x)=/(x),且当xN2时，f(例单调递

增，则不等式/(2-x»/(x+l)的解集为

【答案】；，+8

【分析】依据条件得出对称轴，结合单调性列出绝对值不等式，求解即可.

【详解】因为函数/(X)满足/(4-x)=/(M,则函数/*)关于x=2对称：

又因为当XN2时，/(x)单调递增，

所以|2-%一2|之卜+1-2|,UP|^|>|X-1|,两边平方得：x2^x2-2A+b解得：

所以解集为：摄”).

故答案为：g，+8.

【例4・2】(2026•天津南开•月考)已知函数/3=2二|逆("=/(工_1)+1,

e+1

…+g(号」)("£'♦)'则数列｛4｝的通项公式为.

【答案】氏=2〃-1

【分析】由/(1)=-/3得/(x)为奇函数,进而得g(x)=/(x-l)+l关于(1,1)对称，即g(x)+g(2-x)=2,

最后利用倒序相加法即可求解.

【详解】由题意有：〃-另=£二=二=-/(月，所以“可为奇函数，所以g(x)=〃x-l)+l关于(1,1)

e+11+e

对称,所以g(x)+g(2—x)=2,

所以q=g(/)+g([>…+g(2：1)①,

又。"=4个卜《平卜…+心)②，

G/-crf012〃一1、]r(2\(2n-2\\r(2n-\\(1)]八1X

由①+②仃：2%=+-J+g[/+g]---J+.••+g[-JJ+=2ox(2〃-1),

所以巴=2〃-1,

故答案为：4“=2〃-1.

方收遗规

轴对称

①若/(X+。)=/(--V),则/(X)的对称轴为x=^

②若f(x+a)=f(-x+b),则/(x)的对称轴为x=—

点对称

①若/(工+〃)=一/(一冗)，则/(八)的对称中心为(今0、

②若/(x+a)+/(—x+b)=c,则/(x)的对称中心为(绊，；

【变式4・1】(2026•天津•调研)已知/(x)是定义在R上的偶函数，满足/(2+x)=/(27),且/(可在[-2,0]

上单调减，则下列结论中正确的是()

A-。)

c./g)>/0)>/(-|

D-0)>同"

【答案】C

【分析】根据函数的对称性及单调性，利用偶函数性质比较大小.

【详解】因为〃2+X）=〃2-4）,所以「

又是定义在R上的偶函数，且/3在［-2,0］上单调减,

所以〃力在［0,2］上单调增,

所以/闫=《扑川）<呜），

故选：c

1

2-X+

4-,0<x<2

【变式4・2】（2026•天津东丽•开学考试）函数/（力的定义域R,当x>0时，/（力=<,函

2（x-3）-,x>2

数片/（力+5是奇函数•记关于x的方程/（"二依-；（AeR）的根为中毛，…,与，若

7

〃玉）+〃/）+…+〃/）=-（，则实数攵的取值范围为（）

」31「38、「36］［39）

A-\2'2）B•任亭，•匕可D.卜司

【答案】D

【分析】画出y=/（x）,y=依-:的图象，结合图象以及对称轴来求得正确答案.

2"+-.0<%<2

【详解】当x>0时，/（司=4,

2（A-3）\X>2

因为丁=/（%）+；是奇函数，所以y=/（力的图象关于（。，-£|对称，且〃。）=-5，

由此画出了（X）的图象如下图所示，直线y=履--过点。,一公，

因为2-2+；=（2（2_3）2=2,

所以过点（。，―；）和点卜；）的直线的斜率为3一（一力二3,对应直线方程为），=?3一；,

I'''2-0-8

91

过点（。,一5）和点（2,2）的直线的斜率为2一［一J=9,对应直线方程为yX-

8-4-

2-0-8

由图象以及对称性知，要使〃百）+〃W）+…+，（％）=-1，

i39、

则f(x)=履-T在(0,”)上有3个交点，即需丘.

4.ooj

故选：D

【变式4・3】(2026•天津•月考)设函数丁=/(力的定义域为R,且〃x+l)为偶函数，〃1-1)为奇函数,

当工«-1』时，/(x)=l—V,贝IJ〃l)+〃2)+〃3)+.・・+/(2026)=.

【答案】1

【分析】根据函数奇偶性的性质得出函数关于1=1以及点(-1,0)对称，由此可得出函数周期，根据周期进

行计算即可.

【详解】因为函数y=/(力的定义域为R，且了5+1)为偶函数，f(x-l)为奇函数,则/(1一x)=〃l+x),

所以函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称，也关于点(TO)对称，所以〃r)=/(x+2),

所以/(x+2)=-/(x-2),则/a+8)=-/(x+4)=/(x),

所以函数f(x)是周期为8的周期函数，当“4-川时，f(x)=i-x2,则〃-1)=0,/(0)=1,/(1)=0,

/(2)=/(0)=1,/(3)=/(-1)=0,/(4)=-/(2)=-1,/(5)=-/0)=0,/(6)=-/(0)=-1,

/(7)=/(-1)=0,/(8)=/(0)=1,

820268

所以£/(4)=()，因为2026=8x253+2,所以£/(&)=253x£/⑹+/(1)+/(2)=1.

*-|hlJt-1

故答案为：1.

题型05函数4大性质的综合应用

共例引微

l,xeQ.

【例5・1】(2026•天津•月考)已知函数津(力=<则给出下列三个命题:

0,xe%Q,

①函数/6)是偶函数；

②存在.”R(i=l,2,3),使得以点(七,/(若)儿♦=123)为顶点的三角形是等腰直角三角形：

③存在看eR(i=l,2,3,4),使得以点(wJ(xJW=123,4)为顶点的四边形为菱形.

其中，所有真命题的序号是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】对于①，根据奇偶性的定义可判断；对于②，可以分类判定三角形的形状进行判断：对于③，

可以构造成立的例子.

【详解】对于①：当xeQ时，-xeQ,/(x)=l=/(-x)；

当xw\Q时，-xw'Q./(x)=O=/(-x)；

所以〃X)=/(T)恒成立，所以函数/(X)是偶函数，故①正碓；

对于②：当x"R(i=L2,3)都是有理数时，三点(卬/a))(i=1,2,3)纵坐标都是1，三点共线，不构成三角形;

同理当天cR(i=l,2,3)都是无理数时，也不合题意；

所以只有可能两个为有理数，一个为无理数，或两个无理数，一个有理数，

对于两个为有理数，一个为无理数的情况，

设西，七是有理数，&是无理数，对应三点4(41)，8(卬l),C(.0),

叔然NCAB/CBA都不可能为直角，

故V/WC要为等腰直角三角形，必须NAC4为直角，且卜。=忸。，

所以关于直线x=&对称，于是％+々=2&，

此式等号左边为有理数，右边为无理数，不可能成立；

对干两个为无理数，一个为有理数的情况，

设对超是无理数%＜七，七是有理数，对应三点人(5,0),巩孙0),。(七,1)，

同样ACABXCBA都不可能为直角，

故VA8C要为等腰直角三角形，必须/4C8为直角，且H。二忸。，

所以4B关于直线1=当对称，

如图所示:

但昼-1,&+1都是有理数，而々是无理数，

这也不可能成立，故②错误；

对于③：令％=0,七=2，七=百,治=6+2，

则对应四点坐标为人（。，I），8（2」）,C（G,0）,D（X/3+2,0）,

如图所示：

.珠

1AB

、\|A@=|阳二|凶=|0|=2,四边形A5DC为菱形，故③正确.

~~dCDX

综上，所有真命题的序号是①③.

故选：C

【例5・2】（2025•天津•模拟预测）已知/（X）是偶函数，且/（X）在（』（）］上单调递增，则（）

A.ftlog,3卜图＞/（0留）B./（log,34/（0.9。」”/图

C.f（0—）＞f„/图D./（0.9。［）＞呜）＞/（随3

【答案】D

【分析】分析函数“X）在［0,”）上的单调性，比较log|3、0.9。」、:的大小关系，结合函数/（X）的单调

2Z

性可得出结果.

【详解】因为函数/（X）是偶函数，且/（M在（Y,0］上单调递增，则该函数在［0,”）上为减函数，

因为监3＜10gli=°,

22

所以，logj3=|logr(3|=log23,且函数y=log?X在(0,+8)上为增函数,

所以，log23>log22V2=|>1,

因为函数y=O9'在R上为减函数，则0<0.9°」<0.9°=l，

3log23=log13,且/log,3=flogl3h=/(log23),

故0<0.9°』<-<

22k2J\2\)

a,

所以，/(0.9)>/f|^>/(log23)=/|logi3

故选：D.

方法速视

1.周期性对称性综合问题

①若/1+人)=/(“一)，/(〃+人)=/(。一人)，其中/工(,则/(6的周期为:丁=冬一4

②若,f(a+x)=—/(a—x),f(b+x)=-f(b-x),其中awb,则/(x)的周期为：

T=2\a-l^

③若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=-f(b-x),其中awb,则/(x)的周期为：

T=^a-l\

2.奇偶性对称性综合问题

①已知/(工)为偶函数，/(x+〃)为奇函数，则/W的周期为：r=4|4

②已知/(x)为奇函数，/(X+4)为偶函数，则/(X)的周期为：7=4|4

【变式5・1】(2025・天津南开・联考)“函数/(力在［-覃］上有最大值”是“函数/(力在卜U］上单调〃的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件定义、函数单调性和函数最大值定义及其关系即可求解.

【详解】“函数/(%)在卜1』上有最大值”不能推出“函数f(x)在【川］上单调”,

如函数y=V在卜］内上有最大值］,但函数)，=/在卜］用上不单调，所以充分性不成立；

若"函数/("在卜1』上单调"则“函数"可在［T』上有最大值为/㈠)或/⑴"，必要性成立，

所以函数〃”在卜川上有最大值”是“函数在［T1］上单调”的必要不充分条件.

故选：B.

【变式5・2】(2025・天津•模拟预测)已知函数/(月=小|-六若正数〃?，〃满足/仕卜"〃-1)=2,

则2加+，的最小值为()

n

A.3B.4夜C.2+2&D.3+2叵

【答案】D

【分析】根据函数解析式可得/(《)+，(-%)=2,据此得出工=1_〃，再由“1”的技巧及基本不等式得解.

m

【详解】因为“、)=小|-+；,

所以f(-X)=~x\x\---------+—=-A|X|-3一+3=-x\x\+-----—,

v7112-x+\2112V+121121+12

所以/(x)+/(r)=2,

所以由1)=2可得即,+〃=],

\mJrt:tn

由m,n>0,

则lm+—={2m+——+77^]=3+linn+—>3+2.2nui■—=3+2>/2,

nvn)\m)ntnVmn

当且仅当2〃机=」-,即〃?=1+巫,〃=夜-1时，等号成立.

nm2

故选：D

【变式5・3】(2025・天津・模拟预测)已知奇函数/(月的定义域为(e,0川(。，用)，满足对任意演、当式。，”)，

且.丫尸七，都有"""<0,且"2)=2,则不等式/(x)>x的解集为()

X2~Xl

A.(—2,0)5。，2)B.(Y,-2)U(O,2)

C.(-2,0)U(2,+oo)D.(f-2)D(2,+S)

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=犯,其中xwO,分析函数g(x)的奇偶性与单调性,可得出g(-2)=g(2)=l,

分工>0、x<0两种情况将不等式变形，结合函数g(£l的单调性即可得解.

【详解】构造函数g(x)=§,其中x，0,

则g(-x)=/L°=U°=g(x),所以，函数g(x)为偶函数，

-XX

对任意的对任意.、Xje(0,+oo),\[.x}^x2,都有「W<0,

占一玉

不妨设斗<工2，则%/(工2)<天/(%)，可得以/"J，即g(X1)>g(x2)，

X]x2

所以，函数g(x)在(0,+8)上为减函数，则该函数在(YC,O)上为增函数，

且武2)=零=1，g(—2)=g(2)=l,

当工>0时，由/(x)>x可得g(x)=?>l=g(2),可得0<x<2：

当工<0时，Hl/(x)>X口]得g(x)=>^-----<l=g(—2),o]jx<—2.

X

综上所述，不等式〃x)>x的解集为(—,-2)U(0,2).

故选:B.

题型06已知函数解析式判断函数图象

共例引6

【例6・1】(2025・天津•模拟预测)函数/(刈=2取的图象大致为().

【答案】D

【分析】由特殊点函数值即可判断.

[详解】因为/(T)=2°=l,/(O)=2,/(l)=4.

结合图象只有D符合,

故选:D

函数/(力上

【例6・2】(2025•天津河北・联考)的图象为()

x

【答案】D

【分析】先求出函数定义域，进而得到了（力=尼刁为奇函数，结合特殊点函数值，得到答案.

X

【详解】人力=匕』的定义域为（田,。）5°，用），

4_力=巨匚』=_忙」1=_/（刈，所以〃x）=EK为奇函数，排除A；

-XXX

/⑴=0,/（2）=-a,/（3）=|R,显然父?＞不a，故〃3）＞〃2）,

故BC错误，D正确.

故选：D

方收电视

函数的奇偶性

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）

②奇偶性的定义：

奇函数：f（-x）=-fM，图象关于原点对称，偶函数：/（一旦=/（6,图象关于）'轴对称

③奇偶性的运算

/（/）g（N）y（x）+g（x）/(x)-g(x)/（外/力/［《）］

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

特值与极限

®V2=1.414,V3=1.732,6=2.236,归=2.45,41=2.646

②e=2.71828,=7.39,=^=1.65

③In1=0,In2=0.69,In3=1.1,\ne=\,Iny[e=—

④sin1=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=-().42

特别地：当x—>0时sinx=x

例如：sin0.1=0.099«0.1»sin0.2=0.199^0.2,sin0.3=0.296^0.3

当Kf0时cosx=l

cos().l=0.995«1,cos(-0.2)=0.980«1

e-J18sx在上的图象可能是（

【变式6・1】（2024・天津•二模）函数），=7)

【分析】利用定义判断函数y=卜-3■卜osx的奇偶性，再代入特殊值检验，即可选出正确答案.

所以函数丁=卜《卜°sx是奇函数，所以其图象关于原点对称.所以排除A,C；

（1、

又当x=l时，y=e一一cosl>0,所以排除D.

e）

故选：B.

X

【变式6・2】（2025・天津•模拟预测）函数〃月=产^的图像大致是（）

【分析】利用奇偶性分析图象对称性排除CD项，再根据在区间（0,1）内的函数值符号可得答案

【详解】由卜2-1卜0,解得x」±l,

因此定义域为（—1）5-1，1）51，心），关于原点对称，

由，（川=母「启（x）,

因此/（X）是奇函数，图象关于原点对称，故可排除选项CD；

X八

当O<X<1时，卜0,因此/（x）=R

即函数/（X）在（。，1）上的图象位于X轴上方，故可排除B项;

故选：A.

【变式6・3】（2026•天津•月考）函数“X=7—的图象大致是（）

、/+4r

【答案】A

【分析】根据函数〃力的奇偶性和/（可函数值的符号即可判断.

【详解】依题意，函数〃.1）二刀』的定义域为R,=上三匚=_一=/1）,

所以/（力是偶函数，所以/（X）的图象关于了轴对称，所以排除B,D选项：

又当xeR时，/(x)=—>0,所以排除C选项.

4+4

故选：A.

1.(2025•天津红桥•模拟预测)下列函数中为偶函数的是()

A.y=cosxB.y=\nxC.y=x3D..v=er

【答案】A

【分析】根据常见函数的奇偶性判断即可.

【详解】y=cosx为偶函数，