2026年高考数学二轮复习：函数与导数（高频考点）（天津）原卷版

专题05函数与导数

内容概览

01命题探源•考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）

02根基夯实•知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）

03高频考点•妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考•（26-31）分）

考点一函数的基本性质

命趣点1利用函数的奇偶性及周期性的应用

命题点2函数4大性质的综合应用

高考预测题*3道

考点二导数综合问题

命题点1用端点效应（必要性探索）的解题技巧

命趣点2拉格朗日中值定理的解题技巧

高考预测题*3道

04好题速递•分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+10道高考闯关题）

考点考向命题特征

函数的基本性质主要包括1.基础题：送分稳，定位明确

单调性、奇偶性、周期性、选择、填空题前半部分常单独考查单一性质，如奇偶性判断、

函数的基本性对称性，是天津高考数学的单调区间求解，题干简洁，方法直接，侧重对概念的理解。

质高频基础考点，常与函数图2.中档题：综合强，交叉命题

（3年3考）像、导数、不等式等内容综多将2-3种性质结合，如“奇偶性+单调性+不等式”“周

合考查。期性+对称性+函数求值”，需灵活转化条件，侧重逻辑推

理能力。

3.难题：深融合，拔高区分

解答题中常与导数、零点问题、不等式证明结合，以单调性为

工具求解最值或参数范围，对性质的灵活应用要求高，是拉开

分差的关键。

导致综合问题单调性与极值/最值，切线1.分层设题，梯度明显

（3年3考）问题，与数列/三角函数综解答题通常分2-3问，第1问多为求切线方程、单调区间或极

合，不等式证明，零点问题值，属于基础送分题；第2-3问难度陡增，融合不等式证明、

零点分析、参数讨论，区分度极强。

2.侧重含参讨论，强调逻辑严谨性

题干多含未知参数（如a,b）,需根据参数取值范围分类讨论

函数单调性，避免遗漏特殊情况（如导数为0的点是否在定义

域内），对逻辑推理能力要求高。

3.注重构造思想，突出方法迁移

压轴问常需构造辅助函数转化问题，如将不等式证明转化为函

数最值问题，将零点问题转化为两个函数图像交点问题，考查

知识的灵活应用。

4.结合实际背景，考查建模能力

近3年1次以实际生活中的成本、利润为背景命题，要求先建

立函数模型，再用导数求解最值，体现数学的应用价值。

扣钠裳合

【函数的基本性质常用结论】

1.奇偶性的运算

/（/）g（N）y（x）+g（x）/(x)-g(x)/（外/力/［《）］

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函教奇函教

2.与指数函数相关的奇函数和偶函数

/（工）=优+。一、，（。＞0,且awl）为偶函数,

f(x)=ax-a-x,(。>0,且〃为奇函数

.、6,'-1、QX4-1

/r⑶二/石和r/⑴二口（。＞（）,且为其定义域上的奇函数

22

=1一一--和/（幻=1+—=，（«＞（）,且。工1）为其定义域上的奇函数

a+1a-1

f（x）=a同为偶函数

3.与对数函数相关的奇函数和偶函数

/(x)=log^(\/\+b2x2±bx)»fa>0且awl)为奇函数,

h+ex

f(x)=loga—=—,(a>0且awl)为奇函数

b^.cx

①若/(x+a)=/(x),则f(x)的周期为:。二时

②若/(x+a)=/(x+〃)，则/(I)的周期为：T=\a-l\

③若/(x+a)=-/G),则/(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

④若f(x+o)=土一、，则f(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

/W

⑤""卜匚垢，周期为3|叽/(“+〃)"一号"p周期为3同

/、1+f(x)一/、1-f(x)../、1+f(x+a\

⑥f(x+〃)=丁7],周期为4时/"+。)=7/，周期为2同；仆+2加；卜)，周期为5同;

/(-v)=/(A-+a)+/(x-«),周期为6时

⑦复合函数：g(x)的周期为丁，则/|>(切的周期也为丁

⑧若〃x)+g(力的周期为T，则/(X)、g(x)的周期均为7

轴对称

①若/(x+a)=f(-x),则/(x)的对称轴为x=~

②若/(x+a)=/(—x+〃)，则/(%)的对称轴为工=审

点对称

①若/(x+〃)=—/(—x),则/(人)的对称中心为0、

②若/(x+〃)+/(—x+6)=c,则/(x)的对称中心为(审，£

1.周期性对称性综合问题

①若/(Q+X)=/(Q-X),f(b+x)=f(b-x),其中则/(x)的周期为：T=2\a-l^

f[a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中。工b,则/(x)的周期为：

r=2|i

③若/(4+x)=/(4-x),f(b+x)=-f(b-x),其中则/(x)的周期为:

T=^a-b\

2.奇偶性对称性综合问题

①已知/(x)为偶函数，f(x+a)为奇函数，则/(x)的周期为：7=4|4

②已知/(X)为奇函数，/(『I4)为偶函数，则/(%)的周期为：7=4|4

【导数综合问题常用结论】

端点效应的类型

1.如果函数/(幻在区间勿上,/(x)20恒成立，则/(〃)之。或/(/?)>0.

2.如果函数f(X)在区问［出例上>0恒成立，且/(a)=0(或f(b)=0),则f'(a)>0(或/(份W0).

3.如果函数/(x)在区间［a.b］上，/*)N0恒成立，且f(a)=0J⑷=0(或f(b)=0tf1(b)<0)则

f\a)>0(或r®《0).

1.拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函数/CO满足如下条件：

(l)/(x)在闭区间［。，加上连续；

(2)/U)在开区间(小b)内可导.

则在(a,b)内至少存在一点3使得/'管)=

b-a

2.拉格朗日中值定理的几何意义

如图所示，在满足定理条件的曲线)，=/("上至少存在一点P(蜃/G))，该曲线在该点处的切线平行

于曲线两端的连线.

图3.1

3.需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理，即对曲线的任一切线,并不一定存在割线，使割线斜率等于

切线斜率,如/'（%）=/在％=0处的切线斜率为0,但/•（%）不存在割线使割线斜率等于0

4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式

f（a+h）-f（a）=f,（a+0h）h（O<0<\）.

注：拉格朗日公式无论对于。<匕还是都成立，而C则是介于a与人之间的某一常数.显然，当OvOvl

时、a<a+O(b-a)<b.

[7天领考点掰

考点一函数的基本性质

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.解题优先判断奇偶性，简化函数解析式后，再结合单调性/周期性求解值域、不等式2.抽

象函数可构造具体函数辅助分析（如奇函数设f（x）=x,偶函数设f（x）=x2）。3.含参问题先分析参数对性质

的影响，分类讨论做到“不重不漏”。

易错提醒：定义域优先原则忽略用导数求单调区间时，未考虑函数定义域（如对数函数、分式函数），导

致区间范围错误所有性质分析前，第一步先写定义域，后续步骤均在定义域内进行

奇偶性判断漏定义域验直接计算，忽略定义域不关于原点对称的情况（如误判为偶函数）牢记“定义域

关于原点对称是奇偶性的必要条件”，先验证再判断

抽象函数赋值不当解抽象函数问题时，赋值无逻辑（如不会赋值求）抽象函数赋值优先，结合已知条件

变形，含参函数单调性讨论漏根讨论的根时，忽略根是否在定义域内（如，导数零点，未讨论的情况）

先求导数零点，再按“零点是否在定义域内”“零点大小关系”分类，画数轴辅助分析

周期性与对称性混涪把对称轴、对称中心和周期的关系记混（如误将当作周期条件）牢记：等式两边符

号相同为周期，相反为对称，整理成标准形式再判断

更合函数单调性“同增异减”用错内外层函数定义域分析错误（如，误将内层的增区间当作整体增区间）

先求复合函数定义域，再拆分内外层，分别判断单调性，最后结合“同增异减”；

工命题点01利用函数的奇偶性及周期性的应用

【典例01]（2025•天津河北•模拟预测）已知函数）、=/（»是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函

数的是（）

A.y=/(H)B.y=./'('一)

c.y=xf(x)D.y=/(x)+x

【典例02］（2025♦天津武清•模拟预测）己知函数/（力=3，^（x）=sin.v,某函数的部分图象如图所示,

A.y=/'(x)+g(x)B.y=/(x)-g(x)

c.y=f(x)g(x)D..V=TH

/W

1命题点02函数4大性质的综合应用

【典例01］（2025・天津武清・模拟预测）已知定义在1＜上的函数/（力=心阴，。=/（1%国，人一小叫£|，

c=/（ln3）,则b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【典例02】（2025♦天津和平•三模）定义域为R的函数/（力满足〃工+4）=2/（同，当xw［0,4）时,

—X2-x,xe[0,2)

m-\

>若xe[-8,-4)时，/(x)>—»则实数机的取值范围是（）

fl4m

,XG[2,4)

5

A.(-oo-2]u(0,2]B.[-2,2]

C.[-2,0)U(0,2]D.[-2,0)u[2,+oo)

1.已知函数/（力是奇函数，函数g（%）是偶函数，〃x）+g（x）=ln（e、l）,则函数“力的解析式为

若函数”（x）=16/3-2/小4«）+3图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数机的取值范围为

2.已知函数且的反函数〃力图象经过(27,3),则；若/(〃小7)在［3,4］上

单调递增，则，〃的取值范围是.

3.已知函数〃x)=*-丁+2,则不等式/俨)+/(4・5)<6的解集为()

J"11

A.(-5,1)B.(-co,-1)U(5»+00)

C.(-1,5)D.(8,5)51,9)

考点二导数综合问题

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.切线问题

核心步骤

1.区分”在点P(xo,f(xo))处切线”与“过点P的切线”：

在点处切线：直接求导F(xo),斜率k=f(xo),用点斜式写方程。

过点切线：设切点Q(xi,f(x。)，斜率k=F(x)切线方程为y-f(xi)=F(xi)(x-xi),代入点P坐标解方程求心。

2.验证切线斜率存在性(在x=0处切线斜率不存在)。

解题技巧

切线过某点但该点不是切点时，设切点是关键，避免漏解。

两曲线相切时，切点处函数值相等、导数值相等，联立方程求解参数。

2.单调性与极值、最值问题

核心步骤

1.求函数f(x)的定义域(优先步骤，避免后续区间错误)。

2.求导f(x),化简并因式分解(便于找寻数零点)。

3.求f(x尸0的根，判断根是否在定义域内。

4.含参函数分类讨论：根据导数零点的个数、零点大小关系、零点是否在定义域内划分参数范围。

5.列表分析f(x)符号变化，确定单调区间、极值点；闭区间最值需比较极值和区间端点函数值。

不等式证明与恒成立问题

核心步骤

1.不等式证明：

构造辅助函数g(X)=f(X)-h(X),将证明f(X)>h(X)转化为证g(X)min>0。

求以X),分析g(x)单调性、极值，确定最小值；若最小值不易直接求，可二次求导分析g'(x)的单调性。

2.恒成立求参数范围：

分离参数法：将参数a与变量X分离，转化为a》f(x)max或aU(x)min(优先用，避免分类讨论)。

分类讨论法：无法分离参数时，直接分析f(x)单调性，求最值建立参数不等式。

函数零点问题：核心步骤

1.转化思想：将零点个数转化为f(x)=0的根的个数，或两个函数y=f(x)与y=g(x)图像交点个数。

2.求导分析f(x)单调性、极值、最值、渐近线，画出函数大致图像。

3.结合图像特征，建立极值与0的大小关系，求解参数范围。

%命题点01用端点效应(必要性探索)的解题技巧

【典例01］(2025•天津•二模)已知函数/(x)=e'T_r+e2,xeR.

⑴若曲线y=/(A)在x=1处的切线斜率为0,求实数t的值；

(2)若，=1,对VxeR,不等式/(%)-《2之如+6恒成立(〃力均为实数)，求3+1)。的最大值；

⑶实数/满足对任意的/〉/，函数/(幻总有两个不同的零点与毛优＞%)，证明：%＞驾为十三.

2et

【典例02］(2025•天津和平•二模)E^I^^/(x)=2/ir2+］n(〃a+〃)-2〃zr(〃?，〃wR,〃?＞0).

(1)若函数/")的两个极值点为。与g，求小，〃的值及函数/(x)的单调区间；

⑵若〃=；.

(i)求证：当〃？«05时，函数"X)在区间提+8)上单调递增；

(ii)对，总玉川1,2］,使得成立，求实数4的取值范围.

g命题点02拉格朗日中值定理的解题技巧

【典例01】(2025・天津•模拟预测)法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定

理:如果函数/(A)满足条件①在闭区间心，同上是连续不断的，②在开区间(&》)上都有导数，那么在开

区间(。⑼上至少存在一个实数匕使得〃〃)-/(〃)=/'⑺(〃-a),其中f被称为拉格朗日中值.函数

f(x)=r+JC在区间［0,4］上的拉格朗日中值/所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(23)D.(3,4)

【典例02】(2025・天津•模拟预测)已知函数〃x)=Y-3x+41nx,«GR

⑴当a=l时，求函数/(x)在区间2］上的最小值；

(2)若函数/(x)在区间［1,2］上单调递减，求q的取值范围；

⑶若函数g(x)的图象上存在两点4(不乂)，巩松外)，且王＜々，使得/［=迨］二以"卫』，则称

I2，%—%

y=g(x)为“拉格朗日中值函数”，并称线段48的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数/(“

是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.

1.(2025•天津红桥•模拟预测)已知二次函数/'(力=加+21+416对的值域为［0,+8),则L3的最小值

ca

为.

2.(2025•天津南开•模拟预测)设aeR,已知函数/⑴=-犬+2工+2,g(x)=ax-+。，若方程/(k-4)=g(x)

有两个实数解，则实数。的取值范围为.

3.(2025•天津宁河•模拟预测)已知函数/(x)=f-1+如(1+力，

⑴若曲线y=/(.r)在点(0.-1)处的切线与直线标-2)，+1=0垂宜，求实数〃的值；

(2)当。=-4时，讨论函数单调性

(3)当a=2时，若对任意xe(T权)，不等式+协恒成立，求〃的最小值；

(4)若外“存在两个不同的极值点用,电小<々，且,/<(%)<〃%，求实数也取值范围.

略题速建Uh台层闯关

国好题速递

InY

1.(2()25•天津•一模)已知函数/*)=——k.

x

⑴当k=0时，求曲线广fM在点(e，/⑹)处的切线方程；

⑵若/(1)《0恒成立，求实数〃的取值范围；

(3)利用(2)的结论证明：In-+ln-+--+In-+-)(/2>1,/ZGN*).

23〃e23n

2.(2025・天津•二模)已知函数/(幻=已'+。"、一；(。+1)/+(。一1»一(。+1),其中〃eR.

⑴当a=()时，求曲线y=/(x)在“一1处的切线方程；

(2)当a=l时，证明对于任意的实数工，总有/(好20；

⑶若x=0是/(x)的极值点，求〃的值.

3.(2025•天津河北•模拟预测)函数〃x)=lnx+8-x的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

4.(2025・天津•三模)设函数记函数g(x)=f(x)-加有且仅有〃个互不相

同的零点(〃wN),则当〃取到最人值时，实数〃的取值范围是,

5.（2025・天津北辰・三模）设函数f（x）=」Tj+2|，：：：,4”=@_到任的，若存在唯一的整数x,

|/（』）一雇工）+耳一|/（戈）-g（止IM

使得<0,则攵的取值范围是,

2同

6.（2025・天津•二模）已知函数〃x）的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（）

B./(x)=2W-2

C./(.r)=2W-.r2D./(r)=eW-|.r|

7.(2025•天津•二模)已知函数〃x)=xln(h+l),其中Z>0.

⑴当左=1时，求曲线），=/（x）在点（1J⑴）处的切线方程;

（2）求证：/（力在（0,+。）上单调递增;

⑶求证：Vx,,9e（0,*o）且%，（司一天乂/'（4）+/'（毛））＜2（/（内）一/（七））.

8.（2025・天津滨海新•三模）已知函数〃x）=e、siu（e为自然对数的底数），＜g（x）=21n（x+l）-64V,其中

〃为实数.

⑴求函数/（力在点（。J（0））处的切线方程；

⑵若对Viejo,1],有求〃的取值范围；

（3）i正明：gln（〃+I）vsing+sin；+•••+sin；＜+-^+GN"）.

9.（2025•天津・一模）己知函数/（x）=x-alnx-a,g（x）=x-ln（.r+l）+/〃.

⑴求函数/（x）的单调区间；

（2）若对函数4x）=g（x1。恰有两个零点，求实数〃?的取值范围；

（3）求证：对于任意正整数〃，有:七丁二＜1必+1）＜£；

277^+1ak

10.（2025.天津红桥.二模）已知向量是夹角为6。°的单位向盘,若对任意的小吃几X），且X＜&、

亚二亚1>忸-可,则加取值范围是()

X]一工2

「[、r1

A.[e)+e)B.-,+<»C.[e,+a>)D.-,+<»

11.(2025・天津•一模)已知函数/(1)=半(。€1<)

Inx

⑴若曲线y=/(x)在点(ej®)处的切线在y轴上的截距为-e,求。的值；

⑵若函数y=/(x)存在唯一极值点，求。的取值范围；

⑶若函数y=/(x)存在极大值，记作MG，求证：ln(/2(a))+|d<l.

12.(2025•天津•一模)设〃=网巴力=：,c=2ln3-31n2,则()

8

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

13.(2025•天津河北•二模)已知函数/(x)=e]—at-3(awR).

(1)当a=-1时，求曲线y=/(x)在(0,7(0))处的切线方程；

2

(2)当工20时，若不等式/(幻之，-2恒成立，求”的取值范围；

⑶若/(x)有两个零点内,勺，且M<当，证明：3ev,+eX2>3a.

aX

14.(2025•天津河西•一模)已知函数/(%)=一芍四个不同的零点,且可<£<不<々，则

1

X+--4a+—

X

友(七一王)+(七一9)的取值范围是

x~、、

----r-a+2a,x<a

15.（2025・天津•二模）设aeR,函数/（幻=卜-4.若/*）在区间（—,〃）上恰有2个不同

\Jx-a+a\x+\\,x>a

的零点，则〃的取值范围是;若/(刈在定义域内恰有2个零点，则。的取值范围是.

您高考闯关

1.已知函数P(x)=e'"〃?£R),g(x)=sinx,且曲线)，=p(x)在x=0处的切线的倾斜角为。

4

⑴若函数/(%)=需在区间卜〃]上单调递增，求实数f的最大值；

(2)当xNO时，/：〃>0,/(力为奴工)的导函数)，求〃的取值范围；

⑶设函数g(x)=〃(,r)—q(x)—；V,若gaj+gHhZaxxj,证明：^+%2<0.

2.若函数/(x)=|(f-1)(-/+以+4_C(CWR)的图象关于直线1=2对称，旦〃力恰有6个零点，则

c的取值范围为