2026年高考数学二轮复习：考点巩固检测练（三十三）计数原理与概率

［课下巩固检测练（三十三）］计数原理与概率

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分）

一、单选题

_4

1.（2024•北京高考）在（%一代）的展开式中，V的系数为（）

A.6B.-6

C.12D.-12

解析：选A.（%一五）4的二项展开式为0+1=品/'.（—石）r=禺（一1）%4喳4r”=0,1,

2

2,3,4）,令4—1=3,解得r=2,故所求即为第（-1）=6.

2.某同学忘记单词“succeed”的字母顺序，但是记得前两个字母为“su"，后两个字

母为“ed”，则该同学能写对的概率为（）

A.-B.-

54

C.-D.-

32

解析：选C.因为单词succeed中间三个字母cce的排列有Ag=3（种）排法，所以该同学

能写对的概率为点

3.（2025•四川攀枝花模拟）男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每

排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（）

A.36B.72

C.144D.288

解析：选B.若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生

只能站中间，不同的排法种数为此A,禺A,二36；同理可得，若第一排有1名男生，2

名女生，不同的排法种数为36.

根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为36+36=72.

4.（2025•辽宁沈阳二模）在（1—x）（l+2%）5的展开式中，V的系数是（）

A.-40B.-20

C.20D.40

解析：选D.（1-x）（l+2%）5=（1+2x）5-x（l+2xf,

(1+2%产的通项为7>+i=C£2%)r&£{0,1,2,3,4,5)),

所以x3的系数是1XC^23+(-l)XC^22=80-40=40.

5.(2025・湖南岳阳一模)甲、乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，

己知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有

资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲、乙两人通过的概率分

别为|,令，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为()

JAV/

解析：选D.在第一关中甲、乙两人通过的事件分别为A,B,两人有资格挑战第二关

的事件为

则P(A)=|,P(3)=V，P(M)=1一尸(而)=1一(1—1)(1—总)=叫P(AM)=P(A)=|,

3

所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率P(AI•)=¥"=*■=

P(M)五

5

*

6

6.(2025•吉林延边一模)编号为A,B,C,D,E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验

田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1,2试验田里，3品种必须与A

品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为()

A.24B.30

C.36D.54

解析：选B.当A种在4号田时，8只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列,

共有心=6(种)结果;

当A种在5号田时，结果相同，也有6种；

当A种在3号田时，3有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有3Ag=

18(种)结果:

根据分类计数原理，共有6+6+18=30(种)结果.

7.(2025•辽宁沈阳一模)若以工+鬣/+…+(:胴能被5整除，则x,〃的一组值可能为

()

A.x=2,〃=6B.x=4,〃=6

C.尤=8,〃=4D.x=14,〃=4

解析：选析依题意,C聂+第/+・・・+成炉=C?+C5+鬣4+・・・+(：肛》—1=(1+切

-1,

对于A,x=2,77=6,36-1=(33-1)(33+1)=26X28,不能被5整除，A不是；

对于B,x=4,〃=6,56-1,不能被5整除，B不是；

对于C,x=8,〃=4,94-1=(92-1)(92+1)=80X82,能被5整除，C是；

对于D,x=14,〃=4,154-1=(152-1)(152+1)=224X226,不能被5整除，D不

是.

8.(2025.陕西咸阳二模)已知甲箱中有3个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4

个白色乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以4,4分

别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以8表示从乙箱中

取出的是白球，则下列结论错误的是()

A.4,4互斥

B.P^\AL)=l

C.P(&B)=2

D.P(B)=1J

解析：选C.对于A中，由4,A2分别表示甲箱中取出的是白球和黄球，

因为每次只取1个球，所以Ai,4是互斥的事件，所以A正确；

对于B中,由题意，可得尸(41)=,P(A2)=：P(B।4)=\所以B正确；

对于C中，由尸(B|A2)=一可得CA2B)=P(42>P(B।、2)=弊\=:所以C错

■口

伏；

对于D中，由尸(8)=PG4/)+PG428)=2x三+±义士=2，所以D正确.

787856

二、多选题

9.己知(2x—5)2O25=QO+〃](X—2)+〃2(x—2/H-----\~ai025(x—2)2°25,则下列结论成立的

是()

A.+…+。2025=1

B.2202%o+22023〃]------F2〃2023+。2024=5X1。2。24

C.。。―41+。2—。3…—42025=32°2)

D.+2。2+3〃3H—,+2025〃2025=4050

解析：选AD.令无=3,得12025=々0+4]十…十〃2025，即〃0+0+…十。202f=1，A正

确.

令X—2=3则原等式变形为(2]—1)2°25=〃0+〃/+42尸+,・・+。2025产°25,

由二项式定理得，。2。25=以02522°25=22025,

令尸工，得0=oo+生+号+…+梁+当黑，

22222202422025

等式两侧同乘22024,得22。2%。+22。230+…+2他023+〃2024+竽=0，

所以22024〃。+22。230+…+2so23+〃2O24=一驷变=一22°2、B错误.

2

令X=1,得(-3)2°25=〃0—4]+〃2—43…—。2025，故。。一+。2一。3…一。2025=一32

°25,C错误.

对等式(2L1)2。25=。0+4[/+〃2产~|---卜°2025产°25两侧同时求导函数得,4050(2/—1)2024

=ai+2ait+3。35+…+2025破0251024,

令f=l,得。]+2他+3。3H-----F2025^2025=4050,D正确.

10.某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两

人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则()

银幕

银幕中心线

QQQQQQtQQQQQQQ

gQgQQtgggQQO

sogosoogoos

QQQQC^QQQOS

QQgQQBSQQQQO

QQQOQCH3QQQQQ

QQQOOCM3QQQQQ

QQQQQQQOQQOQQQ

A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种

B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种

C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种

D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种

解析：选ABD.若甲、乙左右相邻，可选择三至七排，(10+4+3+6+4)A,=54(种)，

所以一共有54种购票情况，故A正确；

甲、乙在同一列的情况共有的+Ag+Ag+A专+A'+A?+A白+A白=106(种)，

则甲、乙不在同一列的情况有A鼎一106=1154(种)，所以一共有1154种购票情况，

故B正确；

若甲、乙前后相邻，先选座位，有2+4+4+1+2+4+4=21(种)，

再考虑甲乙顺序，有A今一2(种)，所以一共有42种购票情况，故C错误；

银幕中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位，甲、乙分坐于两侧，有A,X18X18

=648(种)情况.

甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有A发5X6+3X3+3X2+4X4+

3X3)=140(种)情况，

所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648—140=508(种)，故D正

确.

11.(2024・安阳模拟)甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项

目由A,B,。三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A,B,。的概

率分别为0.5,0.3,0.2,当他负责工序A,B,。时，该项目达标的概率分别为0.6,

0.8,0.7,则下列结论正确的是()

A.该项目达标的概率为0.68

B.若干不负责工序C,则该项目达标的概率为0.54

C.若该项目达标，则甲负责工序A的概率为If

34

D.若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为晟

8

解析：选ACD.记“甲负责工序A”为事件Mi,“甲负责工序"'为事件区,“甲

负责工序C”为事件族,“该项目达标”为事件M

对于选项A,该项目达标的初率为P(N)=P(Mi)P(NIMi)+P(M*P(NIM2)+

P(%)P(NIM3)=0.5X0.6+0.3X0.8+0.2X0.7=0.68,故选项A正确；

对于选项B,P(NI(MU%))

P(MI)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)

P(MI)+P(M2)

0.5x0.64-0.3x0.827、4/、口

=0.5+0.3=0故选项B错伏；

对于选项C,p（M][N）=3"必=竺坐=/，故选项C正确；

P（N）0.6834

对于选项D,P（M]|泌=口%吗।M]）=°.5X（1-0.6）=三,故选项D正确.

P（N）1-0.688

三、填空题

12.（2025•陕西咸阳二模）在（2/—?）6的展开式中，x2项的系数为60,则。的值

为.

解析：展开式的通项公式7k产蓝（2%3）6f（一丁=（一心26一权（:怨"必，

令18—4攵=2,可得％=4,则/项的系数为（—"xzGfxcanzi/XQMGO,可得。=

土1.

答案：士1

13.（2024.天津高考）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比

赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定

每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地

做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他

还参加“田间灌溉”项目的暇率为.

解析：法一（列举法）：给这5个项目分别编号为A,B,C,D,E,从五个活动中选三

个的情况有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共

10种情况，

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲参加“整地做畦”的概率为：P=-=-；

105

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选择。有3种可能性：ABD,ACD,ADE,

故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为三=2

62

法二：设甲、乙选到A为事件M,乙选到。为事件N,

则甲选到A的概率为P（M）=^=I

C55

乙选了A活动，他再选择D活动的概率为P（N［M）==£=一

PyM）£42

答案：I

14.（2024.新课标II卷）在如图的4X4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有

一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格

中的4个数之和的最大值是.

解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个

方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可

选，所以共有4X3X2X1=24（种）选法；

先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4；

再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5,故从第

一行选21,从第二行选33,从第三行选43,从第四行选15,此时个位上的数字之和

最大，故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112.

答案；24112

［创新题］

15.（2025•安徽合肥二模）如图，在4义4的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋

子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为.

解析：设“每行都放置两枚棋子”为事件4”每列都有两枚棋子”为事件8,

则所求概率为「（臼/）=噜=嘿，

根据题意，每行都放置两枚棋子，即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有鬣种方

法，

所以