2026年高考数学二轮复习：数列综合大题（题型）（天津）原卷版

专题13数列综合大题

!目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

佟］典例引领他］方法透视性|变式演练

I

j【选填题破译】

i题型（）i错位相减法

I题型02分组求和法

I题型03裂项相消法

!题型04倒序相加法

!题型05分段数列求和

!题型06并项求和

i

:第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

选填题破译

题型01错位相减法

典例引

【例1-1］（2026・天津蓟州•月考）已知数列｛4｝满足：4=1,"川二端=（〃6”）・

⑴求证：数列为等差数列：

⑵设4•­，求数列｛"｝的前〃项和，；

（3）设c”=W",求数列匕｝的前〃项和人

【例1・2］（2026・天津红桥・月考）已知等差数列｛%｝的通项公式。“=2〃-1,数列也｝满足4=4,bx=3b“-%・

（1）证明：数列也一〃｝是等比数列,并求｛〃｝的通项公式;

⑵已知数列仁｝，G=。"（"-〃）求数列仁｝的前〃项和S”.

方依透视

错位相减法求数列｛〃”｝的前n项和

（1）适用条件

若｛4｝是公差为d［d00）的等差数列，依｝是公比为q（q。I）的等比数列，求数歹U｛anbn｝的前n项和S“.

（2）基本步骤

（3）注意事项

①在写出S”与夕冬的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S”-qS“；

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号.

等差乘等比数列求和，令c”=（A"+B）W，可以用错位相减法.

7；=(4+4)1+(24+8)/+(3/+B)c/+…+(/〃+B)/'①

<7；=(4+5)42+(2X+5城+(3力+B)q4+…+(An+B)qn+i②

n23r,

①一②得：(1-q)Tn=(A+B]q-[An+B)q^+A(q+q+...+q).

『，4〃BAx,.+izBA

整理得：Tn=(-----+-2y1-(---；-；---

q—]7-q---\----(-g--1/q-\(q-\y77M.

文式演依

【变式1-1］（2026•天津滨海新•月考）已知｛/｝为等差数列，也J为等比数列,

q=4=1,%=5(4-q)，々=4(4-bj.

(1)求｛4｝,｛"｝的通项公式;

(2)若｛%｝的前〃项和为S”，求[+J+J+

Sr

5**W

1

(3)设q=/也,仁｝的前〃项和为人若问。肉,对V〃eN+,/?>2,关于x的方程”函诉有解，

求|。-6|的最小值.

【变式1・2】(2026・天津滨海新•月考)已知等差数列｛%｝和等比数列低｝满足：4=4=1也eN,%+%=回

她二81

⑴求数列｛为｝和仇｝的通项公式；

⑵求数列｛"1｝的前〃项和S,；

(3)已知%=祟，数列｛%｝的前〃项和刀,，若对任意正整数〃，不等式1-7；〈/恒成立，求实数2的取值范

围.

【变式1-3](2026•天津•月考)已知数列｛4｝是等差数列，｛叱是等比数列，且俎｝与也｝是各项均为正

整数的递增数列，q+A=3,4+b2=9,b2=b；.

⑴求｛q｝、也｝的通项公式；

(2)若｛〃“｝和｛叫都是无穷递增数列，且从｛〃力中任取不少于两项(互不相同)之和，都不是｛匕｝中的项,

则称｛与｝被｛匕｝拉黑.

⑴求S“=%h+aQ+…+a也,并判断⑸｝是否被｛q｝拉黑，说明理由.

n362

(ii)设,?仅刁新刁,]一北二力’任取一列系数｛4｝'满足4W｛1,2,3｝(〃£N)令

求证：无论乙如何取值，｛与｝都被｛&｝拉黑.

题型02分组求和法

【例2-1】(2026•天津滨海新•月考)已知数列也｝中，q=l,%=3%+〃'〃为奇数

见-3〃,〃为偶数

⑴求a2M3外的值；

(2)求证:数列卜厂号是等比数列；

⑶求数列｛q｝的前2〃项和§2“.

2w-3:滥则数列｛叫的前9项和

【例2・2】(2025・天津•模拟预测)已知数列｛%｝通项公式勺=。_1.

2，

为.

方依透视

（1）分组转化求和

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列

或可求前n项和的数列求和.

（2）分组转化法求和的常见类型

a=b土c.,｛6J,｛cJ为等差或等比数列

分

求n

tr4组

求

的（6”,也为奇数，

一［”,也为偶数，和

和4

｛6j,｛cj为等差或等比数列

变式演依

【变式2・1】（2025•天津滨海新•三模）若定义数列｛叫满足凡9+g,其中也｝是等差数列，｛g｝是等比

数列，则称数列｛%｝为"等差等比混合数列已知"等差等比混合数列"储」满足q=4间2=2勺+八3",其

中常数女工4^.

（1）当k=1时,写出%%的值;

（2）证明：｛。向-3。“｝是等比数列；

⑶设｛4｝的前〃项和为工，若｛SJ是“等差等比混合数列”，求左的值，并求｛SJ拆分出来的等差数列与等比

数列表达式.

【变式2-2］（2025•天津滨海新•一模）已知｛叫为正项等差数列，％+4=30,q4=29,S.为•&｝的前〃项

和.

⑴求数列｛为｝的通项公式：

⑵求数列一4的前〃项和q；

n

4/(〃+1)＞的前〃项和为此，证明：此＜〃+g.

⑶设数列＜

【变式2-3］（2026•天津滨海新•月考）已知数列血｝是等差数列，｛"｝是等比数列，且

b2=3也=9吗=配《4=b’.

⑴求｛4｝，｛a｝的通项公式；

⑵设｛%｝，｛a｝的前〃项和分别为S.，。，求3、&

⑶设M,为数列亿｝的前〃项和，求

题型03裂项相消法

【例3・1】（2026•天津蓟州•月考）已知数列应｝满足q=2,且为+与+*+…+击J算，在数列｛2｝中,

4=1，点?（。也+J在函数户X+1的图象上.

⑴求｛4｝和也｝的通项公式；

（2）求数列的前〃项和S”：

M也心+J

⑶集合A=\n\A<勺,〃GN［?N3］共有4个元素，求实数A范围.

【例3-2】（2026・天津红桥•月考）已知数列％=“（〃］）,则《+七+…+%。=

方依透视

常见的裂项技巧

积累裂项模型1：等差型

111

（1）----------=-------------

〃（〃+1）n〃+1

(3)______

'4/r-l22〃-12〃+1

]_[_1__________]

4〃(〃+1)(〃+2)2+(?7+1)(/7+2)

11111、

(5)------------=--------------------=—(z--------------------------)

〃(〃？-])n[n-1)(/?+I)2(〃-1)〃n[n+1)

n21F,1-

4<-14[(2〃+1)(2〃-1)

(7)=S-(〃+3)-J二J

(〃+1)(〃+2)(〃+3)(“+1)(〃+2)(〃+3)n+2〃+3〃+1〃+2

(8)n{n+1)=([〃(〃+1)(〃+2)-(〃-1)〃(〃+1)].

(9)〃(〃+1)(〃+2)=-[〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)-(n-1)〃(〃+1)(/?+2)]

________1_________\_]________________1

(10)«(/7+1)(/7+2)(/7+3)-3〃(〃+1)(〃+2)-(〃+1)(〃+2)(〃+3)

2n+\1

(11)

/?(//+1)2n2(“+1)2

1

(12)

/(〃+2)2417?(〃+2>

积累裂项模型2：根式型

(1)-----------7==x/〃+1-G

Vw+1+

i--------!•----7==—(y/n+k-yfn)

(2)

+k+>Jnk

1

(3).Z=^(<2^71-y/2^)

y/2n-1+V2/?+12

(4)卜卜?rh?=i+%三

______________]

(5)y?+2“+[+8；+而_2〃+i

=>Jn+\—\jn—\(>Jn2+2n+\+\/n2—\1J-2〃+1)="十'—-

2

1_(n+\)y[n-nyjn+1_(zz+1)\[n-n\!n+1_11

⑹(〃+l)M+/W〃+l[(j?+l)4]2一(〃占+1)2及(〃+l)EJi+1

积累裂项模型3：指数型

2"(2"“-1)-(2〃-1)11

(1)

(2"+,-1)(2W-1)(2"+,-l)(2n-1)T-1-2w+,-1

(y-l)3(”3--l)4(3^113-1-1

)

〃+22(n+I)-zt2111

(3)

〃(〃+l)2〃(〃+l)2nn+\2"

〃〃

(4〃—I)—191_3+i3-i

(4)--3"T=

n(n+2)2(n+2)n2n+2n

(2〃")(1)"(-1/(-1/

(5)

n(n+1)

a=n-3n-1>设=(a〃+b)3"-[a(〃-l)+b]・3"T,易得a=g,b=—1

(6)n

于是％=；(2〃—1)3"-；(2〃-3)•3"T

(7)(_1)”(/+4〃+2)2"_(-1)”(〃2+4〃+2)_(_l)[/+〃+2(〃+l)+〃]

n-2rt-(»+l)2,,+1-/?-(w+l)2,,+1~-

(-iri-=-(-L)”+(-ir(T严

+(-ir-----+----------，+,

2"+in-T(〃+])•2”22，n-T(z?+l)-2n+,

积累裂项模型4：对数型

bg。也=1吟「嗨4

册

积累裂项模型5：三角型

(1)=-----------(tana-tan0)

cosacos夕sin(«-//)

(2)---------=-—[tan(w+1)°-tann°]

cosn°cos(H+l)°sinloLJ

(3)tanatan/3=-----------Hana-tan0)-1

tan(a-/?)

/,、,r/,、itan〃一tan(〃-1)

(4)an=tan-tan(/?-l);tan1=tan〃-(〃-1)1=-------------------

1+tanAztan(7;-I)

tann—tan(»—1),tann—tan(w—1)

则tan〃•tan(〃-1)=------------------l,a„=1

tanltan1

积累裂项模型6：阶乘

n_1______1_

(w+l)!-n!"(w+l)!

n+2_n+21_/:+1_11

nl+(/?+!)!+(w+2)!~n'.(n+2)2~nl(n+2)~(〃+2)!+1)!”+2)!

常见放缩公式:

1111/

(1)—<-------=--------(/?>2).

n'-1)/?n-1

11_11

⑵n2>n(n+1)n〃+l；

⑶X<q=2p________L_

n~4ir4n~-I2n+1

11111/。

(4)—<—<-------=--------(r>2).

/，•!r(r-l)r-1〃'八

(i¥11i

(5)II—<1+1+-----F----+…+-------<3:

InJ1x22x3(〃-1)〃

22/

(6)—1==—{=---；=<-/=---/==1+G)(«>2)；

(7)厂2>2^------=2(-«+J〃+])；

7n\Jn+7nyjn+\jn+1

___________________________________________________J__________

（9）（2"—1）2-（2"_l）（2"_l）-（2"-l）（2"-2）一（2"-1）（2"L1）-2"--2T（〃之2）；

111J〃+l-J〃-11

（,0）

r\1

1Nn+1

2

（“）x[^Jn2n+\lnn2n\[n~-\+（/?-!）\[n（石+J〃-1）

\-G）

=-7=-7=（,^2）：

y/n-1\jn

1_]122__2_

（12）环77=（]+[）"_]<Q+C：+C：—广帅+]）=/二?；

1

12"-=1_______\_（、

（13）2"-1<（2,,-,-l）（2n-l）-2n-,-l-2fl-lW-），

,212j

（14）2（il-«）=-j---------p<丁v-i------1-----=2（Jn-~1）.

J〃+1+vnvn+w?-1

【变式3-1］（2026•天津河北•月考）已知数列｛为｝的前〃项和为S“，SnSN、,数列也J满足:

片i也+2（或小）,

且利+1,%+1分别为数列也｝第二项和第三项.

⑴求数列｛凡｝与数列｛a｝的通项公式:

⑵若数列…也+㈠",百E求数列｛g｝的前2〃项和七；

（3）当〃21时，设集合M,=M+4l32<4+%<32\lKi<〃,/cN｝,集合中元素的个数记为4,求

数列｛〃｝的通项公式.

【变式3・2】（2026•天津滨海新•月考）定义:£%=%+%+•••+明，已知数列｛4｝满足七4=2凡+1,

*=1A-1

H4

a=log?（一外用）,则ET?-=_____•

，=244+i

【变式3-3]（2026•天津•调研）己知等差数列｛凡｝满足％=S?+1,$3=4+2,其中S”为｛为｝的前〃项和,

数列也｝为正项等比数列，々=4+1,4是24与48的等差中项.

⑴求数列｛q,｝和仇｝的通项公式；

⑵求刈44+制）；

11华计也）

⑶数列｛qj满足弓=2,。2=5,数列｛风｝中第G，j，q，…，％，…项构成新的等比数列，求立.

题型04倒序相加法

[例4-1]（2026•天津和平•月考）已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且q=2,。向=3S,+2（〃eN・）.

⑴求数列｛?｝的通项公式；

⑵设b.=log2%-14，求数列版|｝的前〃项和Tn；

、

求£♦(2m-I卜

⑶已知加为正整数，设，”=丁+4"''E/

2”,m=l\&=1/

【例4・2】（2025•天津•调研）已知各项为正数的数列｛4｝满足：4=2="?其中S,是数列｛%｝

的前〃项和.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

⑵设4=+为c：+…+a“c：.

（i）求数列｛"｝的通项公式及其前〃项和小

2b"，,“」]

⑴若.了且卒二立？证明:心1・

方依速现

将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时

可用倒序相加法（等差数列前〃项和公式的推导即用此方法）.

变式演依

【变式4-1]（2024•天津河西•三模）已知递增数列｛6｝的前〃项和为S“，且4st=d+4〃，

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

⑵设”=+%c+〃©+•••+〃”£：.

(•)求数列出｝的通项公式；

Q12。-2、

(n)求Z--------------.

.【《9+2)

【变式4-2](2024・天津•二模)已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列.4=1,且

%-乙=1,a4-b1=by-a6.

⑴求数列也｝和｛，｝的通项公式;

ak—)，，女为奇数,

kaj

⑵若4=

1)

a2n+]-k%+*，〃为偶数・

a2n+i-k7

①当k为奇数，求c#+c2n+i：

②求春A.

A-1

【变式4-3】设/")=——数列/“｝的通项公式为％=/(磊)，利用等差数列前〃项和公式的推导方法,

4+212U21)

可得数列｛凡｝的前2020项和为.

题型05分段数列求和

其例引会

【例5・1](2025•天津南开•一模)已知等差数列｛为｝与递增等比数列也｝满足：％=々=1,%=生，%+为=4.

(1)求应｝和也｝通项公式;

(2)保持数列｛4“｝的各项顺序不变，在4与4+1之间插入4个3(%eN),使它们与数列也｝的项组成一个新

数列｛。.｝,记数列｛&｝的前〃项和为7；,求

%/=2k-l,

bnr-l

(3)记4="(其中ACN),证明：Xd,<2.

c12”

一二,〃二2七

以-1

【例5-2](2026•天津滨海新•调研)已知数列｛，“｝是等差数列，设S”(〃wN・)为数列｛%｝的前〃项和，数

列也｝是等比数列，b“>0,若q=3,4=1,4+/=12,as-2b2=a3.

⑴求数列｛凡｝和低｝的通项公式；

⑵求数列｛。也｝的前〃项和2：

（3"-2）也7〃为奇数

（3）若「二S”,求数列仁｝的前2〃项和心.

人,〃为偶数

方武通观

（1）分奇偶各自新数列求和

（2）要注意处理好奇偶数列对应的项:

①可构建新数列；②可“跳项”求和

变式值珠

【变式5-1]（2026•天津西青•月考）己知｛4｝是公差大于0的等差数列，4=1,%+1是生和/的等比中

项.｛"｝是公比大于0的等比数列，4=2,4-打=4.

⑴求｛%｝和｛"｝的通项公式；

⑵对任意的正整数〃，设、=丘；震数，*£—；

也/为偶数Mq

⑶记%为也｝在区间（o,M（〃?WN）中的项的个数,求数列｛4“｝的前100项和.

【变式5-2]（2026・天津南开,调研）已知等差数列｛。”｝的前〃项和为S.，q=2,5=14,数列也｝满足乙=4,

鼠=3。-2.

⑴求数列也｝和他｝的通项公式；

为一，〃为奇数

。；《+2

求数列｛，｝的前2〃项和凡.

丁二/为偶数

【变式5-3]（2025・天津♦模拟预测）已知等比数列｛〃“｝的前〃项和为s“，5=；，生+/=-；・

⑴求｛4｝的通项公式；

〃〃为奇数

（2）若'｛>/里蚪，求数列低｝的前2〃项和？2“；

%,〃为他数

⑶若存在正整数〃，使得（5广〃力5讨一〃?）<0成立，求机的取值范围.

题型06并项求和

翼例不■

【例6・1】（2025・天津•模拟预测）已如数列｛3｝的前〃项和为邑，且满足％=6,2S”M=（〃13M+"〃eN）

⑴求数列｛〃“｝的通项公式;

（2）若4=（-1）&，求数列｛，｝的前”项和Tn.

【例6-2］（2026•天津滨海新•调研）已知数列｛q｝是等差数列，也｝是公比不为1的等比数列，%=6,

%+为=22,3%=他，且2仇是3々与白的等差中项.

⑴求数列｛/｝，也｝的通项公式;

（-1）"等，〃为奇数

，求”;

⑵没4=也二弛，〃为偶数

⑶若对于数列｛%｝,｛"｝,在《和肛讨之间插入4个2（AcN*）组成一个新的数列｛&｝,记数列忆｝的前〃项

和为4,求心26

方武通观

两两并顶或者四四并顶

，变式演依

【变式6・1】（2024・天津•二模）等差数列｛4｝的前〃项和为S”，3%+4=%，E=15.

⑴求数列｛%｝的通项公式：

⑵求数列［（一）"%｝的前〃项和.

【变式6-2］（2025•天津西青•月考）等差数列｛%｝的首项4=1,其前10项和品,=100,正项等比数列出｝

中，bi=2a］,4=%+1.

⑴求数列｛q｝与｛4｝的通项公式；

（2）求数列｛㈢广（%+｝的前2〃项和Qln；

q力”，〃为奇数

（3）已知=（3%-4也求数列｛4｝的前2〃+1项和&+］

----------,n为眄数

【变式6・3】（2025•天津武清・模拟预测）已知数列｛4｝的通项公式为q=2〃-1,其前〃项和为S”，则数列

的前2025项和为（）

2024x2025、2024x20252025x20262025x2026

A.B.C.D.

2222

02

1.（2025・天津•二模）已知数列｛%｝为等差数列,数列｛a｝为等比数列,g=2卬，瓦=%,%=%，且也｝

的公比是｛q｝公差的2倍.

⑴求数列｛凡｝,｛4｝的通项公式；

⑵若数列匕｝满足q=",Cy=a],且当上之2,c"="'"

（i）求证：Xc>>限2：

/=%~|+%T

（ii）求数列｛qj的前为+，项的和S”.

2.（2025•天津北辰•三模）已知等差数列｛为｝的前〃项和为S”，满足：％=3,公差d为整数且满足

S；<9〃“+27,正项等比数列出｝满足:。=2也+?=2%.

⑴求数列｛6｝,｛"｝的通项公式;

%,〃=2k-1

⑵设g={co.〃"/+〃+3fj=2k‘其中AeN'求数列&}的前2〃项和为Q；

Ws”『〃一

⑶定义》="（〃）为除数函数，即它的函数值等于〃的正因数的个数，例如："（1）=1,"（4）=3,记

"甯+**―记求证:”星S

3.（2025•天津•二模）已知等差数列｛%｝和等比数列｛4｝满足:%="=1,b.wN,%+4=18,b2b4=Sl

⑴求数列｛q｝和他｝的通项公式;

⑵求数列｛忌的前〃项和2；

⑶己知4=去，数列匕,｝的前〃项和如若对任意正整数〃，不等式1-。〈（恒成立，求实数义的取值范

围.

4.（2025•天津武清•模拟预测）已知各项均为正数的等差数列｛2｝的公差〃不等于0,%=2,没《、％、%

是公比为q的等比数列但｝的前三项.

⑴求数列｛。也｝的前〃项和4；

⑵将数列｛为｝与｛4｝中相同的项去掉，｛《,｝中剩下的项依次构成新的数列｛。｝，设其前〃项和为S,,求

S**「22”T+3-2"T的值；

⑶设----厂，数列｛4｝的前〃项和为北，是否存在正整数“、〃且1</〃<〃，使得]、乙、1依次

成等差数列，若存在，求出〃?的值：若不存在，请说明理由.

5.（2025•天津河西•模拟预测）已知等比数列｛%｝的前〃项和为冬，满足54+252=353,数

列出｝满足〃"+1-（〃+1应=〃（〃+1）,〃£）\*,且4=1.

⑴求数列也｝,｛4｝的通项公式；

导之，〃为奇数

⑵设c”=«r~，。为上“｝的前〃项和，求以.

为偶数

6.（2025•天津•一模）已知等差数列｛%｝满足%+%=16必=招，记数列｛〃“｝的前〃项和为S