2026年高考数学二轮复习：圆锥曲线（高频考点）（天津）解析版

专题06圆锥曲线

内容概览

01命题探源•考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）

02根基夯实•知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）

03高频考点•妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考•（20-25）分）

考点一圆锥曲线基本性质

命题点1双曲线基本性质

命题点2抛物线基本性质

高考预测题*3道

考点一圆锥曲线综合问题

命题点I轨迹方程

命题点2存在性/定点/定值/定直线/最值问题

高考预测题*3道

04好题速递•分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+1。道高考闯关题）

不命题探源做考前解密

考点考向命题特征

1.范围：2.对称性：关1.分层设题，梯度清晰选择/填空题：前半部分考查基础性质

于轴对称3.顶点：原点；（离心率、渐近线），难度低；后半部分考查定义应用或小综

圆维曲线基本焦点，准线4.离心合（如椭圆与圆的交汇），难度中等。

性质率：5.定义性质：抛物线2.侧重代数运算，强调逻辑严谨性

（3年3考）上点到焦点距离=到准线核心方法是“设线一联立~判别式一韦达定理一代换化简”，

距离对计算能力要求高.需避免计算失误°

含参问题需分类讨论，如直线斜率存在与否、参数取值范围对

交点个数的影响。

3.注重定义与几何性质的灵活应用

部分题目用定义解题更简便（如抛物线的焦半径、椭圆的焦点

三角形），可简化运算步骤，避免复杂联立.

圆锥曲线综合1.直线与圆锥曲线的位置1.梯度分明，层层递进

问题关系解答题分2-3问，第一问多为求曲线方程或直线方程，考查基

（3年3考）2.定点、定值问题础性质，属于送分题；第二、三问考查定点定值、最值范围，

3.最值与范围问题需综合运用韦达定理、代数变形，区分度强。

4.向量与圆锥曲线的交汇2.重运算，轻技巧，强调通性通法

5.轨迹方程求解命题不依赖特殊技巧，核心方法是“设线一联立一判别式一韦

达定理一代换化简”，对计算的准确性和耐心要求高，避免因

计算失误丢分。

3.注重几何性质与代数方法的结合

部分题目用几何定义(如抛物线的焦半径、椭圆的焦点三角形

性质)可简化运算，减少联立方程的复杂度，体现“几何优先”

的解题思路。

4.考法稳定，创新点集中在条件呈现

天津高考圆锥曲线综合题命题套路固定，创新多体现在条件的

包装(如结合新定义、几何图形)，但解题的核心逻辑不变，

仍以韦达定理为核心工具。

【圆锥曲线基本性质常用结论】

在椭圆的定义中条件2a＞内区|＞0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.

否则：①当2〃=|月段时，其凯迹为线段《八；②当2。＜忻吊时，其轨迹不存在.

利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：

(1)抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求PF1|.|PF2|的最值;

(2)利用定义|PFl|十|PF2|=2a转化或变形，借助三角形性质求最值

1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤

(1)定位：确定焦点在那个坐标轴上；

(2)定量：依据条件及〃2=82+02确定用上。的值；

(3)写出标准方程；

V2V2

2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为=十t=1(加＞0,〃＞0,〃?工〃)；

mn

3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为力V+4y2=](力＞0,6＞0,且4工8),将点的坐标代入，解方程

组求得系数。

一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立IAFJ+IAF2I,IAF/+IAF2I2,IAF1IIAF2I之间

的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题(/片力鸟=。)

性质1:|AF1|十|AF2l=2a,|BFj+|BF2l=2a.(两个定义)

拓展:AAFF2的周长为|AF]|+|AF]|+|F[F2l=2a+2c

AABF]的周长为|AF]|+|AF2l+|BFj+|BF2l=4a

2222

性质2：4C=|F1F2|=|AF1|+|AF2|-2|AF1||AF2|COS0(余弦定理)

1、求椭圆离心率的3种方法

(1)直接求出a,c来求解c.通过已知条件列方程组，解出a,c的值.

(2)构造a,c的齐次式，解出副由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率。的

一元二次方程求解.

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

2、求椭圆离心率范围的2种方法

(1)几何法：利用椭圆的几何性质,设P(xO,yO)为椭圆=上一点,则|xO|Sa,a-c<|PFl|<a

a2b2

+c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；

(2)直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a,b,c的不等关系

式，适用于题设条件直接有不等关系。

(1)在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数。满足约束条件：

=2a<\FiF2\(Q>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点g的一支；

若归用-|P用=2Q<|耳周(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点片的一支；

(2)若常数。满足约束条件：忸用一|尸周|=2Q=忻闾，

则动点就迹是以Fl、F2为端点的两条射线(包括端点)；

(3)若常数〃满足约束条件：忸闻一|。周卜2。>|6周，则动点就迹不存在；

(4)若常数。=0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

1、由双曲线标准方程求参数范围

(1)对于方程二十匕=1,当阳〃<0时表示双曲线；

m

当用>0,〃<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当〃?<0,鹿>0时表示焦点在歹轴上的双曲线.

(2)对于方程日-一乙二1,当阳〃>0时表示双曲线;

mn

当加>o,〃>o时表示焦点在x轴上的双曲线；当〃7<o,〃<o时表示焦点在y轴上的双曲线.

(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再

根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围。

2、待定系数法求双曲线方程的五种类型

(1)与双曲线x2—y2=i有公共渐近线的双曲线方程可设为x2—y2=M拄o)；

a2b2a2b2

(2)若已知双曲线的一条渐近线方程为y=bx或丫=-6*,则可设双曲线方程为、2—丫2=入(科0)；

aaa2b2

(3)与双曲线'2—丫2=1共焦点的双曲线方程可设为"2-y2=1(_b2<k<a2)；

a2b2a2-kb2+k

(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x2-y2=](mn>0)或者x2+y2=](mn<0);

mnmn

(5)与椭圆x2+y2=i(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为'2_Y2=l(b2<X<a2)

a2b2a2一入X—b2

求双曲线中的焦点三角形"F]6面枳的方法

(1)①根据双曲线的定义求出||。周一「乙||二24;

②利用余弦定理表示出|尸用、|次|、归£|之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出|P/讣|P段的值;

④利用公式S=；x|尸/汁•|PF2|sinZF'PF?求得面积。

(2)利用公式S=，x|《Q|.»p|求得面积；

2

S-JL-

(3)若双曲线中焦点三角形的顶角尸耳二夕，则面积》一0,结论适用于选择或填空题。

an2

1、求双曲线的离心率或其范围的方法

⑴求a,b,c的值，由c2=a2+b2=]+b2直接求已

a2a2a2

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助b2=c2—a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等

式)求解，注意e的取值范围.

（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法.例如，令a=l,求出相应c的值，进而求出离心率，能

有效简化计算.

（4）通过特殊位置求出离心率.

2、双曲线x2—y2=[（a>0,b>0）的渐近线的斜率k与离心率e的关系：

a2b2

当k>0时，k=b=0=c2_]=e2—1;当k<0时，k=—°=—e2—1.

aaa2a

解决中点弦问题的两种方法：

1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算;

2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点

坐标和斜率的关系，具体如下：直线/（不平行于y轴）过双曲线二—与二1上两点4、B,其中48中点为

a~b-

尸（“，兄），则有左相•ep=£

a~

/K_1

222

上式减下式得'苧二2二

证明：设44,必）、8（々，V2）,则有，

a2b2

/b2

X]-x2X[+x2x]-x22x0a~

1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看

到洼线想到焦点，看到焦点想到准线”.

2、注意灵活运用抛物线上一点P（x,y）到焦点F的距离|PF|=|x|+：或|PF|=|y|+*

与抛物线有关的最值问题的转换方法

（1）将抛物线上的点到准线的距离蒋化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使同题得解.

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原

理解决.

1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值（系数p是指焦点到准线的距离），再结合焦点位置，求出抛物

线方程.标准方程有四种形式，要注意选择.

2、待定系数法

（1）根据抛物线焦点是在x轴上还足在y轴上，没出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关尸p的方

程，解出p,从而写出抛物线的标准方程；

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决.一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，

对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2=-2px(p>0)和y2=2px(p>0)两种情况求解.

另一种是设成y2=mx(m，0),若m>0,开口向右；若m<0,开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方

程有两个.同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2=my(mR0).

2

设宜线与曲线的两个交点4项，乂)、B(x2,%)，中点生标为尸(殉，乂))，代入抛物线方程，y,=2px],

y；=2px,,将两式相减，可得(必一为)(必+8)=2p(X]-/)，整理可得：kAB=———=2P=—1.

为一工2八%%

一段弦长：设48为抛物线=2px(p>0)的弦，/1($,乂)，B(x2iy2),

2

\AB\=>I\+k|x1-x2|=(k为苣线AB的斜率，且女工0).

2、焦点弦长：如图，44是抛物线V=2px(p>0)过焦点尸的一条弦，设乂)，B(x2,y2),彳3的中

点必(而,舔)，过点力，M,8分别向抛物线的准线/作垂线，垂足分别为点4，4，,

根据抛物线的定义有〃,BF=BBX,\AB\=\AF\+\BF\=\AA}\+\BBX\

故|阳=|4尸|+忸尸|=|四|+|四

又因为MM是梯形414〃的中位线，所以|/3|=|例|+|明|=2|MM|,

从而有下列结论;

(1)以力4为直径的圆必与准线/相切.

/\

(2)\AB\=2X。吟(焦点弦长与中点关系)

(3)\AB\=x.+x2+p,

(4)若直线43的倾斜角为。,则|/冏=召一.

sin-a

(5)A,8两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即必为二一〃二

i12

⑹两卡网为定值万

【圆锥曲线综合问题常用结论】

1、解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等)的大小或某些代

数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，

求定值问题常见的解题方法有两种：

法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；

法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤

第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：y=履+6或工=""+〃、点的坐标:

第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行

正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距庚;等）用引入的变量表示山来：

第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，

那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x,y的方

程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或

曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或

曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：

1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横

纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。

圆锥曲线最值问题的解题步骤：

I、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；

2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于X（或的一元二次方程：

3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；

4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。

圆锥曲线几何证明问题的解题策略：

1、圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某

直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等

与不等）；

（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质

应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明。

常频考点Ilk叶弦相障

考点一圆锥曲线基本性质

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.求曲线方程

（1）待定系数法（已知曲线类型）

步骤：①设标准方程（椭圆分焦点在x/y轴，双曲线同理，抛物线分开口方向）：②列a,b,p的关系式；

③解方程求参数；④写方程。

技巧：椭圆/双曲线若焦点位置不确定，可设统一方程：椭圆mx2+ny2=l（m>0,n>0,）；双曲线

（2）定义法（已知动点满足的几何条件）

步骤：①分析动点到两定点/定点与定直线的距离关系：②匹配椭圆、双曲线、抛物线的定义：③求a,c,p；

④写方程。

技巧：双曲线需注意“差的绝对值”，抛物线需找准定点（焦点）和定直线（准线）。

2.离心率计算

步骤：①找a,b,c的关系式（利用几何性质，如三角形边角、渐近线斜率等）；②消去b（椭圆用b=a2-c2,

双曲线用b2=c2-a2）；③转化为关于e的方程；④解方程求e（注意e的范围）。

技巧：①椭圆双曲线可结合渐近线斜率快速计算；②遇到焦点三角形，优先用余弦定理+定义列方程。

3.渐近线相关问题

国命题点01双曲线基本性质

【典例01】（2025•天津武清•模拟预测）双曲线0力>0）的右焦点为尸（4,0）,设力、8为双

£a~事b-9

曲线上关于原点对称的两点，力产的中点为例，的中点、为N,若原点。在以线段MN为直径的圆上，直

线,48的斜率为‘且，则双曲线的离心率为（）

7

4

A.20B.2C.—D.

33

【答案】B

【分析】设题孙〃）（〃>0,〃>0）,仇-〃?,-〃），运用中点坐标公式表示点M,N,由OMJ.ON,以及斜率公式

解方程组可得〃?，〃，将点力的坐标代入双曲线的方程，结合。也c的关系，求得。力，即可得离心率.

【详解】由题意,c2=a2+d2=16>设力（相,〃）（，〃>>0）,8（-阳,-〃），

4+mn।、，4-wn

则必N

22)2~2

因为原点。在以线段"N为直径的圆上，可得OM1ON,

biI77T7CA；4—nt4+in〃〃八uu，y

所以。A/ON=---------—1—=0,即〃厂+/广=16①,

2222

又直线48的斜率区，可得己=地②，

7m7

联立①②可得=3,即《6,3）,

79

又点彳在双曲线上，可得二-=1,

a

r-C4

又a'+b'=16，解得。=2/=2万，所以e=—=7=2.

a2

故选:B.

22

【典例02】（2025•天津北辰•三模）己知双曲线=力>0）的右焦点、左顶点分别为尸，力，过

点尸且倾斜角为150的直线交。的两条渐近线分别于点M,N.若△力MN为等边三角形，则双曲线C的离心

率为（）

A.2B.—C.GD.2百

3

【答案】A

【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算,

即可求出离心率.

【详解】

设过点F且倾斜角为150,的直线为y=-^（x-c），

cacbcbe

与双曲线的渐近线y=，x联立可得:*]+a++b,丫

a1+73-a+超b，

aa

,cac_bc_-be

同理与双曲线的渐近线y=-2工联立可得I*、—百々—

3b，a]_5y2a-,

aa

'ac+acbe-be'

-------7=—+........——

「一版a+品a-品

由为等边三角形，则MN的中点G坐标为"+闻

J'2'

由题意可得：kAG=tan60=>j3,

be-be

4+GJ4-扬桃be

即---------2---------------=60-a+同a#，=£,

ac+acac+ac+2a

a+6ba-+（Ja+£ba-£b

2

0

ac(a-也1))+ac(a+@))+2ag+品-育)

-2>j3b2c

=G=>

a2c+《4/一3什='曰='-

-(e~-l)e-(e-l)e,

=>-————-——r=1=>-...-=1=>-e'+e?=4-3e,

(e+l)(-3e+4)4-3e

=>e2-4e+4=0(e-2)2=0,

所以解得e=2,

故选:A.

命题点02抛物线基本性质

【典例01］（2025・天津•二模）已知抛物线j，2=2px（〃＞（））的焦点户是双曲线二一），2=1（。＞0）的一

cr

个顶点，两条曲线的一个交点为人过力作抛物线准线的垂线，垂足为8,若△五45是正三角形，则〃的值

为（）

A,巫B「x/6D•平

3-I3

【答案】A

【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数〃表示出各点坐标，代入求得参数的值.

【详解】

如图所示，设双曲线线的另•个顶点为C,

依题意〃=§,可知忖。=〃，可知忸|防|=2夕,

不妨设4在第一象限，则力万p）在双曲线上，

2P2,

所以力—3p2=l,解得〃=竿，

y

故选：A.

【典例02】(2025・天津•二模)已知抛物线产=2〃工(〃>0)的焦点为E准线/交x轴于点。，过。的直线

与抛物线交于X,8两点，且8在线段力。上，点P为力在/上的射影.若尸，8,尸共线，则\媪PB的\值为()

A.1B.2C.3D.73

【答案】B

【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点44的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点尸的坐

标，再利用抛物线定义求出比值.

【详解】抛物线V=2px的焦点呜,0),准线/:x=-gr>(-1,o),

由对称性，不妨令点力在第一象限，设4(2诉,2"),8(2p扇2P0&*>0)，

则诙=(2pf；+*2"),丽=(2p《+§2pG),由8在线段4)上，

乙乙

得2M(2p/：+9=2M(2p片+§,整理得化二；,而尸(一§,2必),

则而=(-p,2pG，丽=(2"/,2")，由尸，B,歹共线，

得2p/](2pg-4)=一〃？%，整理得2管一%=-2，解得Z[='/2=3，

222'6

于是上W皿于以所以符降第*2.

届高考预测题

1.已知抛物线。：/=20，(〃>0)的焦点为尸((H),倾斜角为45的直线/过点F.若/与。相交于48两点,

则以为直径的圆被X轴截得的弦长为.

【答案】2币

【分析】首先求出抛物线方程及直线/的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到乃+必=6,再

由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长.

【详解】因为抛物线C：.，=2力(p>0)的焦点为爪01)，

所以5二1，解得〃=2,则抛物线C:/=4y,

y=x+1

直线/的方程为尸X+I，由24，

则，一6)，+1=0,显然△>(),

所以也+力=6,故M8|=H+J，B+P=6+2=8，

所以以44为直径的圆的圆心的纵坐标为3,半径为4,

故以18为直径的圆被x轴截得的弦长为2师6=26.

故答案为：2行

2.过点(0,-2)且斜率为1的直线/与抛物线C：歹2=2/*(〃>0)交于48两点，已知直线/经过抛物线C的

焦点，则以线段为直径的圆的标准方程为.

【答案】(x-6)2+(y-4)2=64

【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出

标注方程.

【详解】已知直线/过点(0,-2)且斜率为1,因此其方程为y=x-2.

抛物线的方程为y2=2px(P>0),其焦点坐标为传,0).

由于直线/经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到0=5-2,

解得P=4,因此抛物线的方程为/=8.r,焦点为(2,0).

将直线方程J，=x-2代入抛物线方程/=8%得到：(X-2)2=8X,

展开并整理得：X2-12X+4=0,

解得x=6土46，对应的y值为y=4±4五，

因此交点彳和8的坐标分别为(6+4几4+4^)和(6-4区4-4码.

以线段AB为直径的圆的圆心为AB的中点，坐标为:

Ax=8>/2,修，=8后、

\AB\=7(8>/2)2+(8>/2)2=J28+128=^56-=16,

半径为8,因此圆的标准方程为：(工-6尸+。，-4尸=82=64,

故答案为：(x-6)2+()，-4)2=64.

3.已知双曲线£-4=1(。>0,/)>0)的左、右焦点分别为八，点(2,6)为双曲线右支上一点，以坐标

a'b'

原点。为圆心，以|。制为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P,同时点P在线段芈中垂线

上，则该双曲线的标准方程为()

A.x2--^-=lB.--/=1C.工-匕=1D.--^-=1

333993

【答案】C

【分析】根据题意可知△。匹用是等边三角形，进而可知双曲线浙近线OP的倾斜角为60、进而得到〃=。的

关系，再将点(2,6)代入双曲线方程求解即可.

【详解】如图,根据圆的性质可知尸=/。尸工.

乂点尸在线段O鸟中垂线上，则/。死户二”尸。行,则△。尸月是等边三角形,

故双曲线浙近线0P的倾斜角为60".

所以2=tan6()=6,即/=3〃2.则双曲线方程为£一£=1.

aa23/

将点(2,⑹代入双曲线方程，得?一.之，解得/=3，

则双曲线方程为亡=1,

39

故选：C.

考点二圆锥曲线综合问题

《解题指南》

解题步骤与技巧：圆锥曲线综合大题（天津高考常为解答题第19/20题）核心解法是“代数化几何问题”，

通用流程为设线一联立一判别式f韦达定理f转化求解，以下分步骤拆解并附专项技巧。

一、通用解题步骤（必背流程）

1.审题定模型，设参化简约

第一步：确定曲线类型（椭圆/双曲线/抛物线），写出已知条件（如焦点、顶点、渐近线、过定点等），若

曲线方程含参数，先根据条件求曲线方程。

第二步：设直线方程（关键避坑点）

若直线过定点P（xo,yo）：斜率存在时设y-yo=k（x-xo）；斜率不存在时单独讨论（设x=xo）。

若直线斜率存在且不为0,或与抛物线联立：优先设x=my+t（避免斜率不存在的讨论，简化计算）。

2.联立方程，判别式定范围

将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成关于x或y的一元二次方程：Ax2+Bx+C=0或Ay2+By+C=0。

计算判别式=B2-4AC,根据直线与曲线有两个交点，得判别式：>0（后续求参数范围的依据）。

3.韦达定理代换，化繁为简

设直线与曲线交点为A（x」,y」）、B（x_2y_2）,写出韦达定理结论：

xi+X2=-B/A,xiX2=C/A

核心原则：不直接解川,X2,而是将所求几何量转化为X|+X2和X|X2的代数式。

4.转化几何条件，代数求解

把题目所求（弦长、面积、定点、定值、最值等）转化为坐标表达式，代入韦达定理结论化简。

若含参数，结合\Delta>0确定参数范围：若为定值/定点问题，消去参数得到常数或定点坐标c

5.检验总结，规范书写

检验计算过程中是否忽略斜率不存在的情况，是否满足判别式>0的限制。

整理步骤，写出最终结论。

二、专项题型解题技巧

1.弦长与面积问题

2.中点弦问题（点差法优先）

3.定点定值问题（消参核心）

4.最值与范围问题（转化函数）

三、避坑关键技巧

1.斜率不存在必讨论：设y=kx+b时，务必单独验证斜率不存在的情况（直线垂直x轴），避免漏解。

2.判别式不能忘：联立后得到的参数范围（\Delta>0）是最终参数范围的前提，尤其最值问题需结合此条

件。

3.优先用定义简化：涉及焦半径、焦点弦时，用椭圆/双曲线/抛物线的定义转化，如抛物线焦半径r=xo+P/2,

避免复杂联立。

4.计算分步写，少跳步：联立后的一元二次方程系数、韦达定理结论单独写，代数变形时分步化简，减少

计算错误。

区命题点01轨迹方程

【典例01】（2025•天津静海三模）已知椭圆/=的离心率为争且经过点卜

直线/与X轴交于点与椭圆C交于44两点.

（1）求椭圆。的方程：

⑵若点E坐标为（2,0）,线段48的垂直平分线分别交直线x=-J和/于点RM,若|力必|=26|48|,求直

Z

线/的斜率.

【答案】（1）工+广=1

62

⑵±1或土通.

41

=06

3

4+条=1，解出。力即可求解;

【分析】（1）根据题意得

=b2+c2

（2）当，的斜率不存在时，验证是否满足题意，当，斜率存在且不为0,设直线，的方程为x-〃少+2,与椭

圆方程联立消元,由韦达定理得乂十%，必力，利用弦长公式求弦长|力邳和|PA/|,利用1PMi=2石即可

求解.

c_瓜

a3

42Ja=yfb

【详解】⑴由题意知

b2Ic2

椭圆。的方程为：T+T=I-

（2）以2,0）为椭圆的焦点，当/的斜率不存在时，显然|PM=2+g=£,|48|=翳=半，显然

|尸川工2行|力4,

二./斜率存在且不为0,设直线/的方程为x=〃?.y+2,/（X”乂）,

x=my+2

✓=>（m2+3）/+4my-2=0,

22

9人x+3y=6

2

△=16〃/+8（〃/+3）=24（〃/+］）,

b112

所以必+必=一一2-T，乂％=一-F~

m+3m+3

221

■■.\AB\=yl\+m-\yt-y2|=V1+m-=子］：；）•

y+y2"？2m2.6

K-}2-

2om2+3'…%一,/+3'“-〃/+3'

（62〃？、2

lw2+35m2+3）,:.kpv=-m,\PM\=yj\+m•

c-F（69

+nr•-：+-_=2、5一i----L解得〃?=±l

解刑，即可得直线的方程.

【详解】(1)由题意可得/=乂+。2,解得“c=i,。=曰

2

则椭圆C的标准方程为5+/=].

(2)B,。在x轴上方，直线/斜率存在且不为0,

设直线3：%=〃呼+1,联立椭圆9+2产=2,消去x得：(//r+2)r+2/^-l=0,

-2m

%+%=T-7

m+2

由韦达定理得：

-1

乂.必=-m^—+27

X=w+j\)+2="+2=-^―

m+2in+2

则AB中点〃(一"7,一,

Vw+2ni~+2)

由展上心，所以以-工代替〃?匕得N2m~m

m1+2W2，I+2W2

所以七N=

1~,n_3〃？[2'

'm2+22(〃?2-1)「〃尸+2>

化简得》=

则需过定点G，°).

当"7=1时，取“停，一J,N(K),则/“N过定点停。)；

当…1时,取M(|,J噌局，贝4过定点停0)；

综上直线MN过定点(g,0).

(3)M,N分别为。上的中点，

V一W一6一q%

JAGMN一"△GDM。由MN°5DN-2&DE

由⑵知a=\/1+加2|乂一为|=41+用2•｛（必+8）2—4必为=2fJ），

以-’代替m可得\DE\=2-0+'叫,

〃？111+2〃/

+9

-

所以S.GMN=1；~~-77-~ITT=-，

（〃广+2）（1+2〃厂）20

2m'-562+2=0，所以〃/=2或加」=!，

2

解得〃？=±V2，m=±，

2

所以直线4?的方程为：x±y/2y-\=^x±^y-\=0.

区命题点02存在性/定点/定值/定直线/最值问题

【典例01】（2025・天津宁河•模拟预测）已知椭圆「■+，=1（。＞/）＞0）过点（-夜,1）,长轴长为2石，过点

。（-1,0）且斜率为左的直线/与椭圆相交于不同的两点力、B.

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段/出中点的横坐标是-；，求直线/的斜率；

（3）在x轴上是否存在点使必砺।，是与A无关的常数？若存在，求山点”的坐标；若不存在,

3K+1

请说明理由.

【答案】⑴?+?=1

3

（2）±T

（3）存在,且点

【分析】（1）由已知条件可得出关于。、力的方程组，解出力、/的值，即可得出椭圆的方程；

（2）设点4（%,必）、8（/，%），则内+彳2=-1，利用点差法可得出"乂+%）=—，结合点（一最必;必）

在直线y=M》+i）上，可得出必十为=%，代入-片（乂+为）=-：可得出左的值：

（3）假设在x轴上存在点“（外0）满足题设条件，设点力（为,乂）、“（看,当），将直线，的方程与椭圆方程联

5

立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合M4MB+为定值。可得出

3-+1

3〃广+6〃？-1-31=0

,求出机的值，即可得出结果.

m2-t=O

2a=2石〃=5巨

【详解】（I）由题意可得2I