近五年北京中考数学试题及答案2025

2025年北京中考数学试题及答案姓名_______

准考证号考场号座位号考生须知1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．3．若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（

）A．60 B．90 C．120 D．1504．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（

）A． B． C． D．5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．46．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（

）A． B． C． D．7．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（

）A． B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：．11．方程的解为．12．某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：等级低体重正常超重肥胖人数675154根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是．13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为，．14．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为°．15．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为．16．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：…A4060B30557590100105C204060708090…D14386286110134…（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为万元．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20．如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求和的长．21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．22．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．23．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：b．丙运动员10次测试成绩：12.4

12.4

12.5

12.7

12.8

12.8

12.8

12.8

12.9

12.9c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：甲乙丙丁平均数12.512.5p12.5中位数m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056(1)表中m的值为_______；(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．24．如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．(1)求证：；(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．25．工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：x0123456789时y的值07810121620232526时y的值0263743m4850515253时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．(1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．①若，，求的长；②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．27．在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．(1)如图1，，点与点重合，求证：；(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）(1)如图，的半径为．①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为；②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______；(2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围．1．D【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，故选：D．2．D【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，，且，再逐项分析即可．【详解】解：由数轴得，，且∴，，故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，故选：D．3．C【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可．【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是，∴每个内角的度数为：，故选：C．4．A【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球，∴摸出的球是白球的概率是．故选：A．5．C【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故选C．6．C【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可．【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即：．故选：C7．B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，连接，由作图可得，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，故选：B．8．B【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，∴∴，即与的面积一定相等；故①正确，由①可得当与的面积相等时，如图，连接，∴∴在直线上，则重合，∴与的面积不可能相等，故②不正确，∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,如图当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误综上，①④正确、②③错误.故选：B．9．【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，解得：，故答案为：．10．【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取7，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：，故答案为：．11．【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，∴是原方程的解，故答案为：．12．【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键．【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人，故答案为：．13．（答案不唯一）1（答案不唯一）【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键．根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答．【详解】解：当，时，，但是．故答案为：，1（答案不唯一）．14．43【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，设与交于点K，∵，∴，在中，，，∴，∵，∴，故答案为：．15．##0.375【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解．【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，∵,∴，∵，垂足为F，，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．16．【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键．（1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案；（2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案．【详解】解：（1）当时，经销商的利润为，比时增加（万元），经销商的利润为，比时增加（万元），经销商的利润为，比时增加（万元），经销商的利润为，比时增加（万元），∵，∴应向经销商分配2台设备．（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元，当分配给多家销售时：当分配四家时，最大利润为（万元），当分配给三家时，最大利润为（万元），当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元），综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元．故答案为：，17．【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可．【详解】解：．18．【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为．19．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值．【详解】解：原式，∵，∴，∴原式．20．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．（1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形；（2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长．【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点，∴是的中位线，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是矩形；（2）解：∵，∴；∵，∴，在中，，，∴，∴；∵点D为的中点，∴；如图所示，过点A作于H，在中，，∴，在中，由勾股定理得．21．(1)(2)【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案．【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，∴，解得；（2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，∴，且，∴，当，时，和恒成立，故符合题意；当时，则且，当时，则，解不等式得，解不等式，∴；当时，则，解不等式得，解不等式得，此时不符合题意；综上所述，．22．【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可．【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，由，可得：，解得：；所以这只风筝的骨架的总高．答：这只风筝的骨架的总高．23．(1)(2)(3)乙、丁、甲、丙【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）根据中位数定义即可求解；（2）根据方差计算公式求解，再比较即可；（3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可．【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：，∴中位数，故答案为：；（2）解：乙的10次测试成绩平均数为：，∴方差为：∴，故答案为：；（3）解：丙的平均数，∴丙的平均数最大，则实力最弱，∵方差，∴乙实力最强，∵丁的测试成绩中位数为，∴第次成绩和为，∴前5次测试成绩小于平均数，∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，∴丁比甲强，∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，故答案为：乙、丁、甲、丙．24．(1)见解析；(2)长为44．【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明；（2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长．【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点，平分，，又，，．（2）延长交于点F，连接，则，，分别切于A点，B点，C为的中点，，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．25．(1)6(2)；画图见解析(3)①7；②1【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值；（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，：时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35故答案为：6（2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个∴相差（个），把5分成两个接近的数，，∴第4日增加3个，第5日增加2个，∴，画出时的曲线：（3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与，：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，∴；：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，∴，∵，故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；故答案为：7；②当模拟练习日时，4日内的试制时间日，4日的合格产品分别是7，8，10，12，∴合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，3日的合格产品分别是12，19，26，∴合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，2日的合格产品分别是20，30，∴合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，1日的合格产品是26；∵，∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．故答案为：1．【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．26．(1)0，(2)①4；②且【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；（2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可．【详解】（1）解：将点代入，抛物线，可得，∴该抛物线解析式为，将点代入，抛物线，可得，解得；（2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，，当时，可有点，如下图，∵轴，∴，将代入，可得，即，将代入，可得，即，∴；②当点P从点O运动到点的过程中，∵轴，，∴，将代入，可得，即，将代入，可得，即，∴，令，即，解得或，若，可有，即点在轴右侧，如下图，当时，可有，其图像开口向下，对称轴为，若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，则，解得，当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意；若，可有，即点在轴左侧，如下图，当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大，则，解得，∴．综上所述，a的取值范围为且．27．(1)见解析(2)【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；（1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证；（2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证．【详解】（1）证明：∵，∴∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合∴，，∴，∴∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴；（2），证明：如图，在上取一点，使得∵∴∴，∴∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴∴∴∴∴，又∵∴∵，∴∴∴∴∵，∴∴28．(1)①，；②(2)或或【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键；（1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解．②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解；（3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解．【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大；如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于，∵，的半径为，∴，且是的切线，∴，∴∴，即与的关联角度为故答案为：，．②根据定义可得为外一点，∵，的半径为，∴，当时，如图，取点，则，∴，∴的最小值为，故答案为：．（2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，∵，∴当时，由，如图，∴四边形是矩形，由∵∴四边形是正方形，∴当时，∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则，∴上距离最近的点在的圆环内，①和的圆相切，如图，∴解得：②和半径为的圆相切时，如图，∴（不包含临界值）∴③当在半径为的圆，如图解得：（不包含临界值）∴时，都在内部，此时④当在半径为的圆，如图设的半径为，则，∵，解得：，∴时，此时，综上所述，或或．

2024年北京中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上.选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）A． B． C． D．6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（

）A． B． C． D．7．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（

）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．10．分解因式：.11．方程的解为.12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是.13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.03

49.98

50.00

49.99

50.0249.99

50.01

49.97

50.00

50.02当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是.14．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则15．如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为．16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：18．解不等式组：19．已知，求代数式的值.20．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的长.21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.22．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.(1)求，的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由名数师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息..教师评委打分：

.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：.评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委学生评委根据以上信息，回答下列问题：①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.24．如图，是的直径，点，在上，平分.(1)求证：；(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.25．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．(1)如图，点，．①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．1．B【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．2．B【详解】解：∵，∴，∵，，∴，故选：B．3．C【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．故选：C．4．C【详解】∵方程，，∴，∴，解得．故选C．5．D【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，两次都取到白色小球的概率为．故选：D．6．D【详解】，故选D．7．A【详解】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，故选A.8．B【详解】向两方分别延长，连接，根据菱形，，则，，∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形，∴点一定在对角线上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可证，∵，∴，∴，∴，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，∴④正确；根据题意，得，∵，，∴，∴该八边形各内角不相等；∴②错误，根据，∴，∴，故，∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误∴③错误，故选B．9．【详解】解：根据题意得，解得：．故答案为：10．【详解】．故答案为：．11．【详解】解：，解得：，经检验：是原方程的解，所以，原方程的解为，故答案为：．12．0【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴有，∴，故答案为：0．13．160【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个，∴这200个工件中一等品的个数为个，故答案为：160．14．55【详解】解：∵直径平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案为：55．15．【详解】解：根据正方形的性质，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面积为；故答案为：．16．60【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，故答案为：60；②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；②按照顺序，则候场时间为：分钟；③按照顺序，则候场时间为：分钟；④按照顺序，则候场时间为：分钟；⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，故答案为：．17．【详解】解：原式．18．【详解】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式组的解集为．19．3【详解】解：原式，∵，∴，∴原式．20．(1)见详解(2)【详解】（1）证明：∵是的中点，，∴，∵，∴四边形为平行四边形；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中点，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴在中，由勾股定理得．21．符合，理由见详解【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类类物质排放量为，由题意得：，解得：，∵，∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量是符合“标准”．22．(1)(2)【详解】（1）解：由题意得将代入得：，解得：，将，，代入函数中，得：，解得：，∴；（2）解：∵，∴两个一次函数的解析式分别为，当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，即当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方，则画出图象为：由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，∴当直线与直线平行时，，∴当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方时，，∴m的取值范围为．23．(1)①，；②(2)甲，【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，所以，共有45名学生评委给每位选手打分，所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，故答案为：，；②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，，故答案为：；（2），，，，丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，依题意，当，则解得：当时，此时∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，当时，此时∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲故答案为：甲，．24．(1)见解析(2)【详解】（1）根据题意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，不妨设，则，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中点M，连接，则∵，∴，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，解得，故半径的长为.25．(1)1.0(2)见详解(3)1.2，8.5【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，解得：，∴，∴当时，，∴；（2）解：如图所示，即为所画图像，（3）解：①当时，，由图象可知高度差，故答案为：1.2；②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为，故答案为：．26．(1)；(2)或．【详解】（1）解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：分两种情况：当时，如图，此时，∴，又∵，∴；当时，如图，此时，解得，又∵，∴；综上，当或，都有．27．(1)见详解(2)，理由见详解【详解】（1）证明：连接，

由题意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点是的中点；（2）解：，在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中点，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．28．(1)①，45；②(2)或【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，∴点C应在的圆内或圆上，∵点，，∴，而，∴,由对称得：，∴为等腰直角三角形，∴,设半径为，则,故在外，不符合题意；，故在上，符合题意；，故在外，不符合题意，∴点是弦的“可及点”，可知三点共线，∵，∴，故答案为：，45；②取中点为H，连接，∵则，∴，∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），∴当点轴时，点D横坐标最大，∵，，∴，∴，∵点，，∴，∴此时，∴点的横坐标的最大值为，故答案为：；（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，∴点C应在的圆内或圆上，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），∴，∴，由对称得点在的垂直平分线上，∵的外接圆为，∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，∴，∴，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，连接，∵，∴当最大,时，此时为等边三角形，由上述过程知∴，∴当，的最大值为2，设，则，解得：，而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，当，当时，，解得，∴与x轴交于点，∴，而∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴t的取值范围是或．

2023年北京中考数学真题及答案考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．如图，，，则的大小为（

）

A． B． C． D．4．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C． D．96．十二边形的外角和为（

）A． B． C． D．7．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（

）A． B． C． D．8．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．10．分解因式：=__________________.11．方程的解为______．12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______．13．某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．14．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

15．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．

16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序ABCDEFG所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：．18．解不答式组：．19．已知，求代数式的值．20．如图，在中，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；(2)，，，求的长．21．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）

22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．23．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mn(1)写出表中m，n的值；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．24．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．25．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．(1)若对于，有，求的值；(2)若对于，，都有，求的取值范围．27．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．(1)如图，点，，①在点，，中，弦的“关联点”是______．②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；(2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．参考答案1．B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：，故选：B．2．A【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A．3．C【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵，，∴，∵，∴．故选：C．4．B【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：得，则，∴，∴，故选：B．5．C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴．解得：．故选：C．6．C【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴十二边形的外角和是360°．故选：C．7．A【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】

如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为.故选：A8．D【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，∵，∴，①正确，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正确，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正确，故符合要求；故选：D．9．【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：若代数式有意义，则，解得：，故答案为：．10．【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=11．【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以，得，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．12．3【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．【详解】解：∵函数的图象经过点和∴把点代入得，∴反比例函数解析式为，把点代入得：，解得：，故答案为：3．13．460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只），故答案为：460．14．【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.【详解】，

，，，，，，；故答案为：.15．【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．16．5328【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【详解】解：由题意得：（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），故答案为：53，28；17．【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解不等式①得：解不等式②得：不等式的解集为：19．2【分析】先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式，由可得，将代入原式可得，原式．20．(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形；（2）解：由（1）知四边形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．21．边的宽为，天头长为【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为，装裱后的长为，装裱后的宽为，由题意可得：解得，∴，答：边的宽为，天头长为．22．(1)，；(2)．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．【详解】（1）解：把点，代入得：，解得：，∴该函数的解析式为，由题意知点C的纵坐标为4，当时，解得：，∴；（2）解：由（1）知：当时，，因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，所以如图所示，当过点时满足题意，代入得：，解得：．

23．(1)，；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择．【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，∴中位数，∴，；（2）解：甲组身高的平均数为，甲组身高的方差为乙组身高的平均数为，乙组身高的方差为，∵∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；（3）解：168，168，172的平均数为∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170，172，且选择170，172时，平均数会增大，故答案为：170，172．24．(1)见解析，(2)【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直径，∴；（2）解：∵，，∴，则．∵，∴．∵，∴，∴是等边三角形，则．∵平分，∴．∵是直径，∴，则．∵四边形是圆内接四边形，∴，则，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直径，∴此圆半径的长为．25．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：

由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：<．26．(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：∵对于，有，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为．∴；（2）解：∵当，，∴，，∵，，∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，∴，即．27．(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中点；（2）；证明：如图2，延长到H使，连接，，∵，∴是的中位线，∴，，由旋转的性质得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，设，，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

28．(1)，；(2)或．【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”，∵点，，，，，∴直线经过点O，且与相切，∴是弦的“关联点”，又∵和横坐标相等，与都位于直线上，∴与相切，经过点O，∴是弦的“关联点”．②∵，，设，如下图所示，共有两种情况，a、若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，∴，b、若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，∴，综上，．（2）解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，如图所示，①当S位于点时，为的切线，作，∵，的半径为1，且为的切线，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴根据勾股定理得，，根据勾股定理，，同理，，∴当S位于点时，的临界值为和．②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，∵点，，∴，∴，又∵的半径为1，∴，∴三角形为等边三角形，∴在此情况下，，，∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和，∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在，综上所述，t的取值范围为或，

2022年北京中考数学试题及答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下面几何体中，是圆锥的为（）A. B. C. D.【参考答案】B2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学计数法表示应为（）A. B. C. D.【参考答案】B3.如图，利用工具测量角，则的大小为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【参考答案】A4.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【参考答案】D5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A. B. C. D.【参考答案】A6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C. D.【参考答案】C7.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A. B. C. D.【参考答案】D8.下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【参考答案】A第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．【参考答案】x≥8【详解】解：由题意得：x-8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．10.分解因式：______．【参考答案】【详解】故答案为：．11.方程的解为___________．【参考答案】x=5【详解】解：方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5,解得：x=5,经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0.故原方程的解为：x=512.在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）【参考答案】＞【详解】解：∵k>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，，∴>．故答案为：>．13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．【参考答案】120【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．故答案为：12014.如图，在中，平分若则____．【参考答案】1【详解】解：如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故答案为：1．15.如图，在矩形中，若，则的长为_______．【参考答案】1【详解】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案为：1．16.甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．【参考答案】①.ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）②.ABE或BCD【详解】解：（1）根据题意，选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择AD时，装运I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．故答案为：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）．（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）；故答案为：ABE或BCD．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题