2026年高考数学二轮复习突破：立体几何与空间向量之空间几何体

专题突破

专题立体几何与空间向量

第1讲空间几何体A对应学生用书P58

【考情分析】表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考

查，难度中等或偏上.空间位置关系一般考查命题的真假判断，空间线线、线面、面

面平行和垂直关系交汇的命题，常以选择题、填空题或解答题的第（1）问的形式考查,

属于中档题.

真题

1.（2024・新高考I卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为

V3,则圆锥的体积为（）

A.2%兀B.3V3TC

C.6返兀D.9旧兀

解析：选B.设圆柱和圆锥的底面半径均为心因为它们的高均为百，且侧面积相等，

所以2兀rX百=兀rJ+丁2,得户=9,所以圆锥的体积V=\r1XV3=3V3n.

2.（2025・天津卷）已知〃2,〃为两条直线，a,夕为两个平面，则下列结论中正确的是

（）

A.若〃z〃a,〃Ua,则加〃“

B.若"2J_a,"2_1_夕，则aJ_£

C.若"?〃a,则

D.若"?Ua,a_L夕，则机_L£

解析：选C.对于A,若加〃a,〃Ua,则〃?，〃可平行或异面，故A错误；

对于B,若m_La,m_L夕，则a〃4，故B错误；

对于C,若相〃a,则平面a内存在直线/,使得相〃/,又机J_6故/J_夕，所以

a1/?,故C正确；

对于D,mUa,a_L夕，则〃2与夕可平行或相交或n/U夕，故D错误.

3.（多选）（2025♦新高考I卷）在正三棱柱ABC-4BG中，。为的中点，则（）

A.ADlAiC

B.5iG_L平面AAi。

C.AD//A\B\

D.CG〃平面

解析：选BD.对于A,由三棱柱的性质可知，平面ABC,PI'］AAi±ADf假设

AD1A1C,又A41nAe=4,A4）,4。（=平面A4QC,所以4Q_L平面AACC,矛

盾，所以AO与AiC不垂直，A错误；

对于B,因为三棱柱ABC-ALBIG是正三棱柱，所以AAJ_平面ABC,则AAiLBC,因

为。为8c的中点，AC=AB,所以AQ_L8C,又4OGA4=A,AD,AAC平面

AAiD,所以BC_L平面AAiO,又BC〃BiCi,所以BiG_L平面A4Q,B正确;

对于C,AB//A\B\,AD与AB相交，所以AD与48异面，C错误；

对于D,CCi//AAlfCGU平面AAQ,44小千面44。，所以CG〃千面AAQ,D

正确.

4.（2024•新高考甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为八，下底面半径均为小圆台

的母线长分别为2（。一八），3（r2-n）,则圆台甲与乙的体积之比为.

解析：两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与

j4（交一心）2-（一丁］）2_8_述

半径的关系可得甲与乙的体积之比为

」9«2一才-《2十19屉4

答案：手

4

典例\方法导析］

考点1表面积与体积

|1.旋转体的侧面积和表面积

［（1）5画柱例=2兀"，S囤姓表=2兀r（r+/）（r为底面半径，1为母线长）.

（2）S圆惟信=兀乩S（o我="（r+/）（一为底面半径，/为母线长）.

；（3）S球衣=4兀R2（R为球的半径）.

；2.空间几何体的体积公式

I（1）V柱=S〃（S为底面面积，力为高）.

|（2）V住=*〃（S为底面面积，力为高）.

1（3）乙=E（S上+Js上S下+S下）/z（S上,S下分别为上、下底面面积，力为高）.

|（4）V妓=M/?3（R为球的半径）.

13

典例Cl（1）（2025•广东深圳二模）已知正四棱锥的底面边长为6,且其侧面积是底面积的2

倍，则此正四棱锥的体积为（）

A.36百B.36V6

C.1O8V3D.108V6

解析：选A.如图，在正四棱锥P-ABCQ中，尸。为四棱锥的高，尸E为侧面的高,

因为正四棱锥的底面边长为6,且其侧面积是底面积的2倍,

22

所以S邻=4X1X6尸石=25底=72,解得PE=6,PO=JPE~OE=3y/3f

所以VP.ABCD=-S<-PO=-X36X373=36A/3.

33

（2）（2025•天津南开一模）如图，在平行六面体AHCDABGOi中，P是线段4。上的一

点，且AP=|PQ,则三棱锥8-ACP的体积与平行六面体的体积之比

为（）

A.2：5

C.1：3D.1：6

解析：选D.由题设及平行六面体的结构特征易知4O〃8C,4DC面48C,B】Cu

面ABC,

所以AiD//而ABiC,则AiD上任意一点到面人BC的距离为定值，

又P，D^A\D,则，CP=%-48透==UBI-ACD，

由BMC。的底面面积是平行六面体而GQi底面面积S的一半，且高力相

等，

所以修•＞抑=3%804遥遇］01.

［规律方法］空间几何体的表面积与体积的求法

(1)公式法：适合规则的几何体.

(2)割补法：适合不规则的几何体.把不规则的几何体分割成或补形成规则的几何体,

不熟悉的几何体补成熟悉的几何体.

(3)等体积法：选择合适的底面来求体积.

对点练1.(1)(2025.福建南平三模)已知平行六面体43CD-A1田GOi的体积为4,若将其

截去三棱锥G-B山。，则剩余几何体的体积为()

解析：选C.设点Oi到平面BCG囱的距离为力，四边形5CGB的面积为S,

显然有4=5/?,所以忆马胆=力1田1的=三&//=£=1,

因此剩余部分几何体的体积为4--=-.

33

(2)已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等.

若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为()

解析：选B.设圆锥的底面面积为S,圆台另一个底面的面积为S',高为h.

则圆台的体积为v=-/?(s+s'+Vsr),圆锥的体积为V=-Shf

33

由题意可知叱归竺=2源=7,

as

即S，+府=65,变形可得6义三一他一1=0，

解得：?=：（负值舍去），则白=：・

\lS2S4

考点2空间点、线、面的位置关系

平行关系及垂直关系的转化

典例，（1）（多选）（2025•广东深圳二模）已知加，鹿是两条不同的直线，a,/?,y是三个不

同的平面，下列四个命题是真命题的是（）

A.若a_Ly,4则a〃4

B.若m_La,〃〃a,则相_L〃

C.若/n±a,4，则机_L〃

D.若〃?〃a,m〃B，aC°=n,则

解析：选BCD.对于A,若a_Ly,6-L%则a〃4或a与夕相交，故A错误;

对于B,由，7〃a,m_La,可知〃zJ_〃，故B正确；

对于C,因为m_La,则小，〃的方向向量力，〃分别为a,夕的法向量，因为

a邛,所以/n_L〃，所以机JL〃，故C正确；

对于D,由〃2〃a,B，aC0=〃,所以/〃所以相〃〃，故D正确.

（2）（多选）（2025•福建厦门三模）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD.

ABCD',下面部分可视为正四棱锥P-ABCQ,。为正方形ABCO的中心，两部分的高

都是该正方形边长的一半，则（）

A.A'0.LAB

B.4O〃平面APD

C.平面4Vp_L平面BOP

D.CC与4尸为相交直线

解析：选BCD.对于A,设正方形A5co边长为2,由正四棱锥性质可得PO_L平面

ABCD,故P0=A4'=l,因为AZJL平面A5CQ,故40在底面的射影为A。，又A。

不与A3垂直，故A'O不与48垂直，故A不正确；

对于B,由题尸0〃A4且PO=AA',故四边形PO4A是平行四边形，所以A'O〃AP,

A'0不在平面APD内，APU平面AQD,所以A'O〃平面AP。，故B正确；

对于C,因为尸O〃CC'〃A4,平面CC'A'A,故POU平面CCAA,平面A4户即

为平面CCAZ,因为平面A5CQ,BQU平面A5c。，所以A'AJLBQ,又因为

BD1AC,A,AHAC=A,所以3。_1_平面CC44又3OU平面3。尸，所以平面

8OPJ_平面CCA'A,即平面A4'PJ_平面8OP,故C正确；

对于D,由C可知CC与A'P都在平面CC'4'A中且不平行，故CC与4'夕为相交直

线，故D正确.

［规律方法］判断空间线、面位置关系的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断；

(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断；

⑶必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关

系，并结合有关定理进行判断.

对点练2.(1)(多选)(2025•山东潍坊二模)在正方体ABCQ-A而GOi中，E,F分别为线

段4A,A8的中点，贝ij()

A.EF与BC异面

B.EF〃平面CDDC

C.EFA.AC

D.EFCi

解析：选AC.以点。为坐标原点，DA,DC,ODi所在直线分别为x,y,z轴建立如

下图所示的空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、

0(0,0,0)、£(1,0,2)、F(2,1,0)、Ci(0,2,2),

对于A选项，EF,3c既不乎行，也不相交，故石尸与异面，A对；

对于B选项，EF=(1,1,-2),易知平面CQQiG的一个法向量为加=(1,0,0),

则而m=lW0,故石尸与平面CQOiG不平行，B错；

对于C选项，元=(-2,2,0),所以前•元=—2+2=(),故石尸J_AC,C对；

对于D选项，06=(2,2,0),所以丽•丽=2+2=4,所以EF,BD不垂直,故BD

与平面E/G不垂直，D错.

(2)(多选X2025•浙江温州二模)在四棱锥P-ABCD中，E,b分别是AP,BC上的点，若

EP

=普，则下列条件可以确定所〃平面PCD的是()

FC

A.AD//BCB.AB//CD

C.BC//平面PADD.CD//平面PAB

解析：选BD.如图，过E点作EG//PD交AD于点G,连接GF,即有EG〃平面

由于△AEGS^APD,所以一=—=—,

GDEPFC

若A5〃CZ),则GF//CD,又GRt平面PCD,C0U平面PCD,

所以Gb〃平面PCD,由EGGGb=G,EG,GFU平面EGF,

得平面EG尸〃平面PCD,又EFU平面EGF,所以石尸〃平面PCD,故B正确；

若C7)〃平面PA5,又因为平面A8COG平面所以C。〃/IB,由B可知D

正确；

假设E尸〃平面PCO,设平面EQGCQ="，则EF〃PH,

若8C〃平面尸AD,平面A6C。门平面PAO=AO,所以6C〃AO,

反之若BC〃/1。，当且仅当BC〃平面PAQ,即A,C同时正确或错误;

BC//AD,可能CO,也可能A8与CD相交.

若A3与CQ相交，由黑=皆知延长FG必与AB,CQ交于同一点。,

由几何关系知£尸与尸”不平行，故A、C错误.

考点3空间几何体的侧面展开图

空间几何体的侧面展开图

⑴圆柱的侧面展开图是矩形.

(2)圆锥的侧面展开图是扇形.

(3)圆台的侧面展开图是扇环.

典例(2025•浙江温州三模)已知圆台上下底面半径分别为1,2,母线长为2,则圆台

的体积等于;A为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点A出发，绕着圆台

的侧面爬行一周又回到点A,则爬行的最短距离为

解析：设圆台高为〃，已知r=l,R=2,母线长/=2,则"=J/2—(R—

2

223—(2—1)=V3,

所以圆台体积为V=-X-\/3X(7iX兀X2?)=公兀

33

圆台侧面展开图是一个扇环，设其所在扇形所对圆心南为仇半径为R',则2兀/?=/?’

且2"=夕(/?'-2)=的?'-2。=2兀/?一2仇

解得。=①二二=兀，如图，OE=R—l=2—l=2,

2IT

过A作AB与小半圆切于点B,连接。3并延长至B',

过。作CD与小半圆切于点C,且两切线交于点尸，连接OC并延长至C',

则CD-LOC,

由题意知爬行过程中必然经过线段88'中某一点和CC中某一点,

所以A3,CQ是爬行的最短距离时的部分路径.

所以B,。是爬行最短路径时经过的点，则我也是爬行的最短路径的另一部分,

由上可知，05=2=104,故N405=g,AB=J42—22=2V3,

同理/。0。=土CD=2®所以N8OC=2,所以诧=4兀X1=空，

3363

所以世行的最短距离为28+2百+空=4四+空.

33

答案：事—+4V3

33

［反思感悟］空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化

成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.

对点练3.（1）（2025•陕西西安一模）正三棱锥S-A3C侧棱长为1,E,尸分别是SA,SC

上的动点，当△8E尸周长的最小值为迎时，三棱锥的侧面积为（）

3

A.-B.1

4

C.-D.2

4

解析：选A.将正三棱锥S-ABC的侧面沿侧棱S3剪开并展开在同一平面内，如图，

连接B8',当E,尸分别为仍'与S4,SC的交点时，△BEF的周长最小,

此时B8'=VL而S8=SB'=1,S#+S腔=2=8腔，则NBSB'=90°,ZASB=

30°,

所以三棱锥的侧面积为3xt4XS3sin3（）°

24

（2）Q025•广西南宁二模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，43与C。分别为该圆

柱的上、下底面的一条直径，若从点A出发绕圆柱的侧面到点C的最小距离为

则直线AB与直线CD所成的角为（）

A.-B.H

64

C.-D.-

32

解析：选C.根据题意可知圆柱的半径和高分别为r=l,h=2,由于从点A出发绕圆

柱的侧面到点C的最小距离为｛4+白，因此在圆柱中，在下底面作平行于A3的直径

MN,故展开

图中AC=j22+MC2,则故|MC|=$则前的长度为g,故CD,所成

的角为NCOM或其补角，由于NCOM='故直线A8与直线CD所成的角为

33

［课下巩固检测练（二十六）］空间几何体

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分）

一、单选题

1.（2（）25•天津和平二模）已知Q,〃是空间两条不同的直线，a,夕，丫为三个不同的平

面，则下列命题正确的为（）

A.若a〃夕，aUa,bu.,则Q〃Z?

B.若Q〃（X,a邛,则a_L4

C.若an片a,Y「邛=b,a//b,则a〃丫

D.若a邛,qUa,则a工0

解析：选B.对于A,若a〃%〃Ua,bu｝则。〃/?或o,匕异面，故A错误；

对于B,若a〃a,则存在直线cUa,使得a〃c,白于〃，/?,则c_L/?,可得a，//,故

B正确；

对于C,若aG/?=。，、C0=b,a//b,则a〃y或a,y相交，故C错误；

对于D,若a,夕，aUa,设aC/?=/,只有当a_L/时，才能得到。，夕，故D错误.

2.（2025弓可南安阳三模）已知圆锥的顶点为匕母线VA,U8所成角的余弦值为|,VA

与圆锥底面所成的角为，若圆锥的侧面积为2兀，则△VA8的面积为（）

A.-B.2

55

C.随D."

55

解析：选B.设圆锥的底面半径为外母线长为/,白与圆锥底面所成的角为匕知/

3

=2匕

又汽”=2兀，所以r=1,1=2,设VA,V3所成的角为仇由cosO=2,得sinO='，

55

所以△VAB的面积为S=Vsin0=-X22X-=-.

2255

3.（2025•山东济南一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4兀，则圆台上下

底面面积之差的绝对值为（）

A.7iB.271

C.4兀D.8兀

解析：选B.如图：

设展开图小圆半径和大圆半径分别为八R,则圆台侧面积5=式/?2—/）=4兀，即R2

上底面半径r\=­=~,下底面半径R\=­=~,

2TC22TT2

圆台上下底面面积之差的绝对值为兀段一兀4=?一手=兀（手—三）=2兀

4.如图，高为〃的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容

积一半的是（）

解析：选D.设圆锥的顶点到水面的距离为小心圆锥的底面半径为八则水面半径为

mr.

当水的体积等于容器容积的一半时，有厂）2.〃”2=呆户/2,整理得加3=|.

因为0.53=0.125,0.63=0.216,0.73=0.343,0.83=0.512,则D选项更接近

5.在正四棱柱A3CD-48G。中，58=4,A4i=5,E,F,G分别为侧棱

CCi,DDi上一点，则4E+E尸+/G+G4的最小值为（）

A.V281B.V283

C.V285D.14

解析：选A.如图所示:

图1图2

将正四棱柱A8CD-A向GA（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）,

当A,E,F,G,4五点共线时，AE+E/+RJ+G4取得最小值，且最小值为

J（4X4）2+52=V281.

6.如图，点N为正方形ABC。的中心，△EC。为正三角形，平面EC。，平面

ABCD,M是线段EB的中点，则（）

A.DMWEM且直线。M,EN是异面直线

B.DM=EN,且直线DM,EN是异面直线

C.DM/EN,且直线DW,EN是相交直线

D.DM=EN,且直线QM,EN是相交直线

解析：选D.连接3。,

因为点N为正方彩ABCQ的中心，所以N是BQ的中点,

所以。M,ENU平面BDE,所以。M与百V相交;

因为四边形ABC。是正方形，所以BCJ_CD,

又因为平面ECO_L平面ABC。，平面ECOA平面43co=CD,

所以BCJ_平面ECQ,因为EC,CDU平面EC。，所以8C_LEC,BC±CD,

又因为△石CD是等边三角形，所以石C=CO,

所以公ECB会LDCB,所以EB=DB,又因为M是BE的中点，

所以EN=DM.

7.（2025•广东江门一模）已知边长为1的正方形A8CD绕边C。所在直线为轴旋转一周

形成的面围成一个圆柱，点M和N分别是圆柱上底面和下底面的动点，点P是线段

MN的中点，则三棱锥A-PBC体积的最大值为（）

A.-B.i

86

C.-D.-

42

解析：选B.由题意知，AB=CD=BC=1,三角形ABC的面积为S=[X1X1=3

22

设点到平面ABC的高为/?,又V.ABc=-hS=-h

PVA-PBC=P3X6f

要使三棱锥A-P8C体积的最大，则需力最大，根据图形可得，

力最大为1,（匕.P8C）max=》=[•

8.（2025・福建厦门三模）在正方体43。。-48。|。中，M为AB的中点，/为平面4MG

与平面A3c。的交线，则（）

A.l//AC\B.ZlACi

C.l//BD\D.ILBD\

解析：选D.设N为BC的中点，连接MMNC、,

为AB的中点，N为BC的中点、,：.MN//AC,

又・.,4G〃AC,:・A\C\〃MN,・\4,M,N,G四点共面，

・・・平面4MG与平面A3CQ的交线为MN,则/即为MN所在直线，

IMN与AG是异面直线，即/与AG是异面直线，故A错误；

・.・MN〃AC,而在直角△ACC中，ZACCi=90°,则4G与4c不垂直，

故MN与AG不垂直，即/与AG不垂直，故B错误；

平面ABC。，ACU平面ABC。，ABBilAC,

又ASBD,BD「1BBT=B,BD,5囱匚平面

二•AC，平面BDDiBi,又MN//AC,/.MN，平面BDDiBi,即口平面BDDB,

•・・8Q]U平面8OQ18,A/lBDi,故C错误，D正确.

二、多选题

9.已知a,4是两个不重合的平面，加，〃是两条不同的直线，则下列命题中正确的是

（）

A.若m±a,ml.p,则a〃6

B.若a_L夕，nl/3,则〃?_L〃

C.若m//n,m//a,则n//a

D.若机〃a,m〃B，aCB=n,则〃?〃〃

解析：选ABD.对于A,根据线面垂直的性质可得若m，“，则a〃夕，故A正

确；

对于B,易知若a_L夕，〃z_La可得"〃夕或〃2<-夕，又〃_1_夕可知m_1_〃，故B正确；

对于C,若"2〃〃，〃z〃a,则〃〃a或〃Ua,故C错误；

对于D,如果直线机平行于平面a和夕，且a和4的交线为〃，那么直线〃2必须平行

于n；

假设〃2不平行于〃，它必将与其中一个平面相交，这与加平行于两个平面的条件相互

矛盾,

所以若"2〃a,m〃B，aC夕=〃，则机〃〃，故D正确.

10.（2025•山西晋城二模）己知圆锥的顶点为S,48为底面直径，△S43是面积为1的

直角三角形，则（）

A.该圆锥的母线长为四

B.该圆锥的体积为与

C.该圆锥的侧面积为兀

D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为企兀

解析：选ABD.设该圆锥的洋线长为/,如下图所示：

因为轴截面S48是面积为1的直角三角形，即NAS5为直角,

所以乎=1,解得/=VLA正确；

设该圆锥的底面圆心为O,在△S4B中，SA=SB=y/i,所以A3=2,

则圆锥的高50=1,所以该圆锥的体积V=/X12xi=）,

侧面积为兀厂/=兀义1乂或=#2兀，B正确、C错误；

设该圆锥的侧面展开图的圆心角为a,则&a=27rXl,所以（1=鱼兀，D正确.

11.（2025•安徽马鞍山二模）已知在二棱柱4"C-A]3G中，底面A"C,AC=l,

BC=1,且NACB+2NAC4：=兀，i己NAC8=a,则（）

A.存在a,使得5CJ_A归

B.三棱柱的侧面积随a的增大而减小

C.三棱柱的体积随a的增大而减小

D.三棱锥外接球表面积的最小值为3兀

解析：选BCD.对于A,若BC_L4B,因为8CLAA,则8C_LA8,矛盾，故不存在

a,使得山，故A错误；

对于B,易知4B=2sin±,A4i=tanf^）=-^,

2\2/tan-

2

记三棱柱4BC-AiBiG的侧面积为S,

则S=（2+4B）A4=2Q?+COS9，因为a£（0,n）,所以S关于a单调递减，故B

正确；

对于C,记三棱柱A3C-A山iG的体积为V,

则V=isina・」^=cos22关于a单调递减，故C正确；

2tan-2

对于D,记三棱锥Ai-AHC'外接球半径为A,△A8C的外接圆半径为厂,

因为2r=i则

.n-a

sin——

2a

C0S2

故怨）=谓+*T+芸sin2^

2

当且仅当singucos],即ct=]时，R2取最小值为:，外接球表面积的最小值为3兀，故

D正确.

三、填空题

12.在三棱锥？43C中，D,E分别是P5,8C的中点，若尸在线段AC上，且满足

A。〃平面PE凡则柒的值为

FC

解析：连接。C,交PE于点、G,连接尸G,DE,因为AO〃平面PERAQU平面

ADC,平面AOCA平面尸EF=FG,所以A。〃/G.

因为。，E分别是P8,5C的中点，所以OE为△BPC的中位线，所以

△DEGsMPG,可得保喂三,所以AFDG1

FCGC2

答案:1

2

13.（2025•黑龙江哈尔滨二模）在棱长为1的正方体48CQ-48G9中，Q为正方形

仍CC内一动点（含边界），①若。。=4则点。的轨迹长度为；②若P为

棱C。的中点，则QP+Q4的最小值为

解析：因为。CJ_平面38GC,QCU平面38GC，所以。CJ_QC,

因为£)0=孚，所以QC=J^jZ12=?,

即点。的轨迹是以C为圆心，半径为卫的四分之一圆，所以其轨迹长为工X2兀义店=

24,2

V2

丁；

如图，延长DC到点M,使得PC=CM,则点P关于平面BBiGC对称的点为点M,

连接4M与平面38GC交于点Q,此时使得QP+Q4取得最小值，且最小值为M4

=JA]I)2+DM2=[2+：=卓.

区安

答案：丁V2兀—V17

14.我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形

状抽象而来.如图所示，在五面体45CDE/中，EF//AD//BC,四边形ADE凡

ADCB,M5C为等腰梯形，且平面45