2026年高考数学复习：数列（6大考点+查补知识点+25种题型突破）原卷版

查漏补缺01数列

（6大考点+查补知识点+25种题型突破）

内容导航

，漏洞扫描通法锤炼歹能力强化

考点查缺

漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础

题型突破

考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁

融会贯通

实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合

数列的概念1:数列中项的求解

考点1:数列的基本概念卜一

数列的华调性2:数列的电调性及以值

J数列的周期性3:数列的周期性

等港数列的概念

等用数列的通项公式1：号总数列基本状的计算

-等足数列的前n项用2:等差数列的判断与证明

考点2：等差数列

-等汇.收列的刘定3：等总数列的ft质应用

等差数列的性质4:等小数列的被值问题

等差数列的最值同腮

等比数列的概会

等比数列的通项公式

1:等比数列的基本笊计算

考点3：等比数歹厂等比数列的而MiU

2:等比数列的刘定。证明

等比数列的判定

3:等比数列的性质应用

等比数列的性质

等比数列的最值

归纳法

累加法

累乘法

考点4：数列通项公式

构造法

-Sn）瓯的关系

J奇偶分项引

错位相减法

L裂项相泊法

一分组求和法

%乜5:数列的前n项和1

并项求和法

绝对值求和

奇偶分项求和

「数列与不等式结合

着点6:数列和其他知识的结合U-数列与概率统计的结合

数列与函数的结合

考点01数列的基本概念

考点至缺用"篇

知识点一：数列的概念

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一

个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号％表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用的表

示第〃个位置上的数叫做这个数列的第〃项，用勺表示.其中第1项也叫做首项.

知识点二：数列的通项公式

如果数列的第〃项/与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

知识点三：数列的分类

分类标准名称含义举例

按项的有穷数列项数有限的数列1,2,3,-,n

个数无穷数列项数无限的数列1,0,1,0,1,0,…

从第2项起，每一项都大于它的前一

递增数列3,4,5,6,•••,n+2

项的数列

从第2项起，每一项都小于它的前一

按项的递减数列-1.-2,-3.-n

项的数列

变化趋势

常数列各项相等的数列0,0,0,0,•••

从第2项起，有些项大于它的前一

摆动数列1,-2,3,-4,…

项，有些项小于它的前一项的数列

知识点四：数列的性质

1.单调性

如果对所有的〃eN-都有氏+1〉%，那么称数列W为递增数列；如果对所有的〃6AT,都有

<%，那么称数列｛〃”｝为递减数列•

2.周期性

如果对所有的〃wNZ都有%+a=%（%为正整数），那么称｛4｝是以攵为周期的周期数列.

3.有界性

如果对所有的〃£2•，都有4归那么称｛4｝为有界数列，否则称｛/｝为无界数列.

r.殿型突破,

题型一：数列中项的求解

根据数列的变化规律或递推关系，即可确定数列中的项.

丁7岸26诵三匚：而亩二万旃.前藏旗£谢瓦加后区工二汇而—j「血石忌茄曜薮歹水口

的项的是（）

A.2B.4C.8D.80

2.（25-26高三上•广东佛山•月考）在图中，第1个图案包含3粒点子.对任意正整数〃，第（〃+1）个图

案由第〃个图案加上2〃粒点子组成.求第7个图案的点子数目.（）

A.17B.23C.33D.45

3.（2025高三•全国•专题练习）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.如图中的

数1,5,12,22,…称为五边形数，则第8个五边形数是.

题型二：数列的单调性及最值

方3

解决数列的单调性问题的方法：

用作差比较法，根据的符号判断数列｛七｝是递增数列、递减数列还是常数列.

工…，丽云-春二E寿真役级月考5”下而而不双珂用「屁息无劳教殉文忌逸而双冽而息…，……）

,111八.4.2万.34

A.I,-,-,-,---B.sin—,sin—,sin--,•••

234777

。-D.1,上,百，…,

乙•O

2.（2025秋•香坊区校级月考）数列｛%｝的通项公式为a“=〃（〃+l）,但｝满足:“=%•（《）"，则数列出｝

的最大项是第（）项.

A.6B.7C.8I）.9

3.（2025秋•杭州校级月考）已知数列｛凡｝的首项为q=2,对于任意的〃cN.都有q+2-4=1，则”｛七｝

为单调递增的数列”是“4<4</<4”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2025秋•靖远县校级月考）已知数列｛《｝的通项公式为。“=〃2_10〃+10,下列说法正确的是（）

A.数列｛《,｝从第3项起各项的数值逐渐增大

B.当〃=5时，凡取得最大值

C.-14是数列｛%｝中的项

D.数列｛凡｝的图象与/（x）=f-10x+10（xwR）的图象相同

5.（2025•上海杨浦•一模）数列4：a”外…，Koo满足:eN（l<Z<100）,且1=q<%<q0G=2025,

记集合切（4）=｛（々也，…，400）|4=l，Goo=2025,。=夕」+或夕=«.=，9，.若数列力满足：对任意

他也，…也Q）£M（/）,均有“<瓦<…<6用,则称数列4是“好的”.“好的”数列/的个数为____,

6.（2025•吉林・三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大

开幕，场馆上方悬挂的12（）万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中.理论上，一片雪花的周

长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”.它可以这样画：如图，画一个边长

为1的正三角形6,第一步，把每一边三等分：第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作

正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线重复上述两步，形成雪花曲线…,巴，记雪花曲

线月的周长为4,则数列（扪明多的最大项为（）

题型三：数列的周期性

包方成

解决数列周期性问题的方法：

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

1.（扁£着脑谷帚鹿庙展施2府512（嬴尊屋高三工垩曲箱三1营*薮圣飞施:记薪项,,412：

则〃26

2.（25-26高三上•天津•月考）已知数列｛%｝满足《=2,凡+产1一十（〃£^）,则生0”=.

3.（河南省湘豫名校联考2025-2Q26学年高三上学期1月阶段性质量监测数学试题）已知数列㈤｝满足

生+。3=4,且4+。0+1+q+2=9（〃61<）,则“2026=.

4.（2025•上海嘉定•二模）设数列｛%｝满足q,=sin传卜（f'cos传）记其前〃项和为%前〃项积

为％.则下列结论正确的是（

A.数列⑸｝和数列亿｝均不是周期数列

B.数列｛'｝是周期数列，数列｛。｝不是周期数列

C.数列｛5｝不是周期数列，数列｛。｝是周期数列

D.数列｛£｝和数列｛7；｝均为周期数列

5.（2025•北京顺义♦一模）已知函数/（工）=<数列｛《,｝满足4=〃?（〃»0）,

给出下列四个结论：

①若。3=3,则"［有3个不同的可能取值；

②若阳=及一1，则%+3=%（〃eN'）；

③对于任意，〃>2,存在正整数7，使得〃5=%（〃CN”）；

④对于任意大于2的正整数7,存在〃?>1,使得。3=a”（〃eN）；

其中所有正确结论的序号是.

考点02等差数列

IS考支委缺错

知识点一：等差数列的有关概念

1.等差数列的定义

i般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为（常数）（〃22,

€N*）.

2.等差中项

由三个数&A,8组成等差数列，则才叫做。与b的等差中项，且有24="+〃.

知识点二：等差数列的有关公式

1.通项公式：an=a]

2.前〃项和公式：§,二响+〃（"1"或5=〃（％+>）.

“12"2

知识点三：等差数列的常用性质

1.通项公式的推广：4.=%+（〃一加）"（〃,〃7£N*）.

2.若｛〃“｝为等差数列，且a+/="+则4+勺=〃加+〃”.

3.若｛4｝是等差数列，公差为d,则，，，^，心.”，…（心^^^^^是公差为〃/的等差数列.

4.数列S”,S2bsm,S3”,一S?”,…也是等差数列•

5.邑〃」=伽一1）凡.

6.等差数列｛〃“｝的前〃项和为S.,｛今•为等差数列.

【常用结论】

1.已知数列｛〃”｝的通项公式是%=p〃+q（其中P,夕为常数），则数列｛qji定是等差数列，且公差为〃.

2.在等差数列应｝中，q>（）,d<0,则S”存在最大值；若《CO,d>0,则S”存在最小值.

3.等差数列｛%｝的单调性：当4>0时，｛%｝是递增数列：当4<0时，｛%｝是递减数列；当d=0时，

｛4｝是常数列.

4.数列｛%｝是等差数列QS“=M/+3〃（4B为常数）.这里公差d=24.

题型一：等差数列的基本量计算

（1）等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量，知道其中三个就能求出另外两个（简

称“知三求二"）.

（2）确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项4和公差d.

17茄25・萩旭ji后落j宅如彘至薮司『而箭;依新药豆二行;直《；与4丁诵二7•….…）

A.24B.20C.16D.12

2.（2025•新高考II）记S,为等差数列｛%｝的前〃项和，若乞=6,55=-5,则$6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

3.（2025・海南•模拟预测）某公司制订了一个为期一年的增产计划，每月产量都比上个月多咕箱，已知第

3个月的产量为46箱，前7个月的总产量为378箱，则第1个月的产量为（）

A.36箱B.34箱C.32箱D.30箱

4.[2023年全国甲卷]记S”为等差数列"｝的前〃项和.若%+4=1°，46=45,则S$=（）

A.25B.22C.20D.15

5.（2025高三•全国•专题练习）某学校学术报告厅的座位共有15排，其中前六排满足从第二排起每排比前

一排多2个座位；第七排至最后一排满足每排比前一排少1个座位（第七排比第六排少1个座位），已知第

一排有16个座位，则最后一排的座位数为（）

A.16B.17C.18D.19

6.（2025・四川绵阳•模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第

一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛

铺满一共需要的花盆数是（）

A.380B.390C.400D.600

7.（25-26高三上•云南楚雄•月考）某幼儿园老师为了奖励月考成绩前4名的小朋友，购买了64块巧克力分

给这4名小朋友，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和是最小•份的12倍，则分到最多小朋友得

到的巧克力为（）

A.22块B.24块C.28块D.36块

题型二：等差数列的判断与证明

@茏a

判断数列｛%｝是等差数列的常用方法：

（1）定义法.

（2）等差中项法.

（3）通项公式法.

（4）前〃项和公式法.

1.（2025•河南•二模，多选）已知数列｛4｝的通项公式为。”=，/一8〃，则（）

A.%+%=%+%

B.｛〃“｝中的最小项为-16

C.从第三项起，｛为｝的每一项都大于它的前一项

D.数列｛a.一凡｝为等差数列

2.（2025秋•泸县校级月考）已知数列｛七｝满足《=2,设甲：Vp.qeV,%,”=<+4,乙：｛七｝为等

差数列.则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2025秋•东海县月考）在数列｛叫中，"｛%｝为等差数列”是“2%=%_2+%+2（〃23,〃£心”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024秋•丽水期末）记S”为数列｛%｝的前〃项和，7；为数列｛SJ的前〃项和，旦数列｛'｝是一个首项不

等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（）

A.｛4｝和｛:｝均是等差数列B.｛〃“｝是等差数列，｛£｝不是等差数列

C.｛4｝不是等差数列，［乙］是等差数列D.｛““｝和均不是等差数列

nn

5.（2025秋•海州区校级期中）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,，H=%+5,a2fl=2a„+l.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求证：数列为等差数列.

6.（2025•台州模拟）已知数列｛々J满足4=2,%讨=冬〜匚

a”

（1）求证：数列，」一I是等差数列；

1%-lJ

（2）求数列｛*｝的通项公式.

题型三：等差数列的性质应用

方牧

1.等差数列项的性质的关注点

（1）在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质.

（2）项的性质常与等差数列的前〃项和公式s.=华山相结合.

2.等差数列前〃项和的常用的性质是：

在等差数列｛叫中，数列之,邑「5小九-S”…也是等差数列，且有邑”=〃（4+生”）=…+%）；

SZM=（2〃T）4.

1.（2025•辽宁•二模）己知等差数列（4j满足%+%+4=3,%+。5+。7=9,则q+仆=（）

3

A.1B.-C.4D.8

2

2.（2025•广东仲元中学月考）已知数列,｛"｝均为等差数列，目前〃项和分别为S,和7；,若工=迎?，

Tn〃+1

则鲁=（）

2929八2814

A.—Bn.—C.—DrA.—

51055

3.（2025•梅州市梅江区模拟）己均等差数列｛/｝的前〃项和为S〃，且，一年=4,则％-4=（）

A.2B.3C.4D.6

,..,S„2na、+a

4.（2025秋•鲤城区校级期中）已知等差数列｛为｝,他｝的前〃项和分别为S.，7；,若言=不二，则点才K二

1I1"i"r

（）

20n5-10c9

A.—B.-C.—D.—

3181314

5.12025秋•广州校级月考）已知一个等差数列的项数为奇数，其中S奇=290,S偶=261,则项数为一.

题型四：等差数列的最值问题

方a

求等差数列前〃项和S,最值的2种方法

（1）函数法：利用等差数列前〃顶和的函数表达式2=丽2+加，通过配方或借助图象求二次函数最值的方

法求解.

（2）邻项变号法：①若%>0,〃<0,则满足"：的项数〃?使得S”取得最大值S/

②若《<0,d>0,则满足F'Ec的项数〃喉得2取得最小值S”.

凡+金0

172025“拓:可萧法或访茉厂尊至薮殖工了葡心；；［二访：二；二4二蓍而，璇而，…而£：夏美讦:…〃而

值为（）

A.9或10B.8C.9D.10或11

2.（2025秋•河西区校级月考）等差数列｛《J中，4>（），“2025+%026>°，。2025・42026<0,则使前〃项和S”>（）

成立的最大自然数〃为（）

A.4052B.4051C.4050D.4049

3.（2025•广西南宁•三模）设等差数列｛%｝的前〃项和为S,，若牝=2,生+%二口一%，则S”的最

小值为（）

49

A.-14B.-------C.-12D.-10

4

4.（2025秋•静海区校级月考）设5.是等差数列｛%｝的前〃项和，若百5<0,"<-1,则下列选项错误的

是（）

A.</<（）

B.使S”>0成立的最大整数〃为15

C.当S“取得最大值时，〃=7

D.|%|中最小值为|%|

5.（多选）（2025秋•河北月考）已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S〃，且。3+《6<°，，7>0,则（）

A.｛4｝是递减数列B.|a81>|al0|

C.当〃=10时，S.取得最小值D.当〃=9时，S.取得最大值

6.（多选）（2025秋•兰州校级期中）已知数列｛%｝满足％=-8,%—a“=2n—8,则（）

A.4=T8B.数列｛%｝的最小值为-为

C.数列｛4｝为递减数列D.当4<0时，〃的最大值为8

考点03等比数列

圈考点壬海错

知识点一：等比数列有关的概念

1.定义：如果一个数列从第2项起.每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母仪[工。）表示.

2.等比中项：如果在。与方中间插入一个数G,使dG力成等比数列，那么G叫做。与人的等比中项，此时,

G2=ab.

知识点二：等比数列的通项公式及前n项和公式

1.若等比数列｛七｝的首项为4,公比是夕，则其通项公式为4=。q”,

2.等比数列通项公式的推广：a”■W.

3.等比数列的前〃项和公式：当q=l时，S.=n%；当"1时，s“=业力=5二芭.

\-q\-q

知识点三：等比数列性质

1.若加+〃=P+4,则=%%:其中m,n,p,qeN*.特别地，若m+n=2w,则aman-a；.,其中m,n,wGN*.

2,々，怎…仍是等比数列，公比为

3.若数列｛〃“｝,也｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛%也｝,｛P%•弛J和〈黄]也是等比数列.

4.等比数列｛〃”｝的前〃项和为S.,则邑£“-色同”-与“「-仍成等比数列，其公比为二.（〃为偶数且q=T

除外）

a,>0fa.<0..

5•若《।或八”则等比数列凡递增.

q>1[0<^<1

（7.>0[a<0,、

若或，则等比数列k'力递减.

【常用结论】

1.等比数列｛4｝的通项公式可以写成这里CHO,夕工0.

2.等比数列｛2｝的前〃项和S”可以写成=/（力。0,q"0）.

3.数列｛/｝是等比数列，S,是其前〃项和.

(1)若％•生…n，则却-•成等比数列.

1nlln

（2）若数列MJ的项数为2〃，则茬二心若项数为2〃+1,则安乌二4，或不上二眼

3奇3偶3布"%

9做■些＜是…

题型一：等比数列的基本量计算

等比数列基本量的运算的解题策略

（1）等比数列中有五个量《,〃必。”,邑，一般可以"知三求二、通过列方程（组）可迎刃而解.

（2）解方程组时常常利用"作商"消元法.

（3）运用等比数列的前〃项和公式时，一定要讨论公比夕=1的情形，否则会漏解或增解.

应审二富而窥痂系号山薮殖£7碗前7演花药豆;二；;「而瓦二，….…）.......

A*B.63C.费D.31

2.（2025秋咱贡月考）等比数列｛。”｝中，《+/+%=】，。”4+。5=9,则为+4+%=（）

A.27B.81C.243D.729

3.（2025秋•甘肃校级期末）已知S.是等比数列｛4｝的前〃项和，若%=2,%=84,则品）=（）

A.1022B.1023C.1024D.1025

4.（2025秋•李沧区校级期末）已知数列｛4｝为等比数列，q%的=64,^=8,则％=（）

A.1B.2C.4D.6

5.（2025秋•河北月考）在等比数列｛4｝中，若%-4=3，%+4=6，则4=（）

1227—133

A.—B.—C.—D.—

5544

题型二：等比数列的判断与证明

方汝

等比数列的三种常用判定方法

（D定义法：若也=4（9为非零常数，”N,）或区F”为非零常数且，亚2,“cN）则｛叫是等比

anan-\

数列.

（2）等比中项法：若数列｛q｝中，为=0且〃（〃wND,则｛%｝是等比数列.

（3）前"项和公式法：若数列｛。“｝的前〃项和S“=hg”-k•为常数且人0,尸0,1）,则｛勺｝是等比

数列.

3a11

1.（2025•八省联考节选）已知数列｛%｝中，q=3,.证明：数列（1-一＞为等比数列.

%+2anJ

2.（多选）（2025•太原模拟）设等比数列｛4｝的公比为，/,则下列结论正确的是（）

A.数列｛%。向｝是公比为始的等比数列B.数列｛勺+a向｝是公比为4的等比数列

C.数列｛%-%+J是公比为夕的等比数列D.数列，是公比为（的等比数列

3.（2025秋•广东月考）设甲：｛%｝是等比数列，乙：V〃eN"%讨=，则（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

4.（多选）（2025秋•六枝特区校级期中）下列说法正确的是（）

A.若数列｛&｝是等差数列，且%,+%=4，〃，s,fwM）,贝ljw+〃=s+/

B.若S”是等差数列｛q｝的前〃项和，则S.,S2„-S„,SM-S?”成等差数列

C.若S“是等比数列｛〃“｝的前〃项和，则S.,S.SR,S3”-S?”成等比数列

D.若邑是等比数列｛q｝的前〃项和，且S*阳"+8（其中力，8是非零常数，则4+8为零

5.（多选）（2025秋•江苏期中）对于数列｛%｝,｛〃,｝,以下选项正确的有（）

A.若｛/｝,也,｝均是等差数列,则｛凡+4｝也是等差数列

B.若应｝,｛2｝均是等比数列,则｛4+d｝也是等比数列

c.若｛《｝,仇｝均是等差数列,贝也是等差数列

D.若｛〃"｝,也,｝均是等比数列,则｛%•2｝也是等比数列

题型三：等比数列的性质应用

（1）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前〃项和公式的变

形.艰据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

（2）巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.

「谢若；石而关商神册F面尊记薮旗£7兵有三；筑…箕而另二万（）「直音薮场而而记腐薮演而知芫8（）：…

则公比4=_______.

2.(2025秋•甘肃校级期末)已知数列｛/｝为等比数列，其中。6,%。为方程/+4工+3=0的两根，则%=(

)

1仁二3

A.-B.-73C.yfjD.—

3.(2025•武汉模拟)记S”为等比数列｛%｝的前〃项和，若§4=5S2，S6=21,则又=()

A.-120B.-85C.85D.120

4.(2026秋•化州市月考)记，为正项等比数列｛%｝的前“项和，且率=21,则数列｛%｝的公比为一.

=3,则差=()

5.(2025高三•全国•专题练习)设等比数列｛《,｝的前〃项和为S,,

83

A.2B.-C.-D.3

37

6.(25-26高三上•重庆•月考)已知等比数列｛&｝的前〃项和为S.，若Ss=T，Eo=4,则品=.

考点04求数列的通项公式

像考L3漏

知识点：数列的通项公式

如果数列｛%｝的第〃项％与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个

数列的通项公式.

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这人数列的递推

公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项.

打败建突叁通…

题型一：归纳法

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察

法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(-1)”或者(-1)一部分.②考虑各项的变

化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方犷｝、｛2"｝与(-1)"有

关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.

(2025秋•郑城县月考)已知数列;，七,.…，则该数列的一个通项公式为()

1.

a=(-1)，，_\—!—

A。B.

__/.XW+I1

C.a=(-1)X/

nD.D'x看

2.(2025春•陕西期中)已知数列1,-拉,石,-2,石，…，则该数列的第36项为()

A.-36B.36C.D.6

3.(2025秋•山西月考)数列1,-16,81,-256,…的一个通项公式可以为()

。”=(一1)""B.

c.%=”•〃D.«„=(-lf+，.(15.-14)

题型二：累加法

形如--〃”=/(〃)的数列，利用累加法：

形如%+「凡=/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造：=/(〃-2)

=/⑴

将上述叫个式子两边分别相加，可得：q=*(〃-l)+/(〃-2)+..42)+〃l)+q,(心2)

①若/(〃)是关于〃的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/'(〃)是关于〃的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(〃)是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

1.(25-26高三上•云南昆明•月考)已知在数列｛%｝中，q=L%]•当〃之2且〃wN•时，5a,r+=6a„

(1)求证：｛%+i-%｝为等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

2.（2025•济南历下区模拟）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活

问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算.假设大小为〃

的眼有见口气,大小为〃+1的眼有%+[口气，则与%+]满足的关系是4=1,第=2,《川一〃二。“一1

（〃之2,“cN*），则｛/｝的通项公式为______.

3.（25-26高三上・甘肃白银•月考）在数列W“｝中，q=3q+1=a“+lg1+：）,则%=.

4.（25・26高三上•黑龙江哈尔滨•月考）已知数列｛叫满足《=1,%-。虫=2%/”则为=（）

5.（25-26高三上•甘肃•月考）在数列｛q｝中，q=26,%=a“+2〃，则2的最小值为.

题型三：累乘法

形如乎=/'（〃）的数列，利用可二。/”.生..…巴

~（n22）即可求数列｛%｝的通项公式.

2=/(〃-】)

an-\

生=/(〃-2)

形如。向=手=/（〃）

型的递推数列（其中/（〃）是关于〃的函数）可构造：・a“-2

生=，(1)

4,

将上述叫个式子两边分别相乘，可得：/=/（〃-1）-/（〃-2）...../（2）.八1）吗,（〃之2）

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

—则至上U的最

1.（25-26高三上•安徽六安•月考）设数列｛〃“｝的前〃项和为，，4=1,且见讨

n%

小值为（）

A.473+1B.14C.9D.8

2.（2025高三上•吉林长春•专题练习）已知S”为数列｛4｝的前〃项和，囚=2,3s“=（〃+2”“，则

1111

—+—+—+—=

q%%%

1

3.（2025高三•全国•专题练习）已知q/T（〃N2）,求数列｛凡｝的通项.

2，”(〃-1)(〃+2)

4.（25-26高二上•黑龙江大庆・月考）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，q=l,对都有2S“=（〃+1）%.

（1）写出数列｛g｝的前5项；

（2）求数列｛4｝的通项公式；

5.（25-26高三上•福建漳州•月考）设S”为数列｛q｝的前“项和，已知S?=6,£=20,且数列•手｝为等差

数列.

（1）求证：数列｛%｝为等差数列，并求可.

（2）若数列的｝满足4=1,且求数列｛a｝的前〃项和4.

题型四：构造法

方3

1.形如%+i=pq,+q（其中P©均为常数且〃*0）型的递推式：

设4+i+4=p（a”+义），展开移项整理得％=P%+（p-l）4,与题设%+i=P%+q比较系数（待定系数

法）得2=-^7，（〃£。）=>%.|+-^7=〃（%+-^7）=>%+-^7=〃（4.1+'"7）,即|。”+一^7r构成以

P-lP-lP-12-1PTp-IJ

《+」】为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出二"+'一］的通项整理可得%.

〃-1P-1J

2.形如-=pa“+/（〃）（p/1）型的递推式：

（1）当/（〃）为一次函数类型（即等差数列）时：

设/+M?+8=〃LT+4（/L1）+B］,通过待定系数法确定,4、8的值，转化成以《+4+8为首项，以

,为公比的等比数列｛%+力〃+图，再利用等比数列的通项公式求出｛%+An+8］的通项整理可

"（n-m）l

得%.

（2）当/（〃）为指数函数类型（即等比数列）时：

递推公式为-=p%+/（其中P，9均为常数）或%=P%+”（其中P，q，，均为常数）时,

要先在原递推公式两边同时除以得：黑=22+工，引