2026年高考数学复习讲义：方程的根与函数的零点（解析版）

专题05方程的根与函数的零点

目录

01析•考情精解

02构•知能框架

03破•题型攻坚

考点方程的根与函数的零点

真题动向

知识点1函数的零点与方程的解

知识点2三种函数模型的性质

必备知识

知识点3常见的函数模型

知识点4利月导数研究函数的性质

题型1求函数的零点

题型2求函数零点或方程根的个数

题型3判断零点所在区间

命题预测题型4根据函数零点的个数求参数范围

题型5根据函数零点范围求参数范围

题型6数形结合法研究函数的零点

题型7构造函数研究函数的零点

析•考情精解

从近三年高考试题来看，本章内容为高考必考内容，多集中于考查函数的零点，函数的应用,

命题轨

常结合函数的零点利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，诸如求参数

迹透视

的范围、恒成立问题等.

复习时，重点把握零点存在性定理，导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的

极值，导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用.

考点2025年2024年2023年

考点频

第21题求函数零点春考高考16、21题

方程的根与春考高考9、19题函数的零

次总结或方程根的个数函数与方程的关系，函

点与方程根的关系，根据实

函数的零点

数与方程的综合运用

际问题选择合适的函数模型

根据零点的情况求参数的取值范围，利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、

2026命

证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等,

题预测多以解答题的形式出现，难度较大.

构•知能框架

避整3酗望点或方程根的个数

//

_题型3判断骞点所在区间

〃.别:二工帖G占2人岫出8的一国

题型4梯g函数零点的个数求参数范圉

题型5根据函数等点范围来参数范围

［题型2数形结合法研究函数的零点

题型7构造函数研究函数的零点

1/CACCLVfe4以吉西、N站7\丁+(34+l)X+C/\

1.(2023・上海惆考真题)函数〃力=——I+，——(aceR)

⑴当4=0时，是否存在实数C,使得/'(X)为奇函数；

⑵若函数/(%)过点(1,3),且函数/(X)图像与X轴负半轴有两个不同交点，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)不存在

(2)”g且4总

【分析】(1)将。=0代入得f(x)=x+l+£,先考虑其定义域，再假设/")为奇函数，得至IJ方程2+。=。无

X

解，从而得以判断；

(2)先半点(1,3)代入“幻求得。=1,从而得到/(幻=二乌士1X土1,再利用二次函数的根的分布得到关

x+a

于”的不等式组，解之可得a〉;，最后再考虑犬=一〃的情况，从而得到。的取值范围.

2

【详解】(1)当〃=0时，/(x)===x+i+£,定义域为O=(YO,0)U(。,钙)，

xx

假设y=/")为奇函数，则八一1)=一/⑴，

而f⑴=2+cJ(T)=-c,则2+c=c,此时无实数c满足条件，

所以不存在实数%使得函数/(力为奇函数；

(2))，=/")图像经过点(L3),则代入得J+©"+l)+c=3,解得。=1,

1+4

所以f(x)=+(3〃++」=VDx+1,定义域为(_oo,_«)U(-a,+oo),

x+ax+a

2

令g(x)=x+(3a+\)x+\f则g(x)的图像与x轴负半轴有两个交点,

一[-(3«+1)<0[3〃+1>0J

所以，即JiV「八，解得。

[△>01(必+1)-4>03

若工+a=0,即工=一。是方程/+(3。+1)工+1=0的解，

则代入可得/+(3a+l)x(-a)+l=0,解得。或。=一1.

由题意得awg,所以实数。的取直范围是且〃工；.

2.(2025・上海•高考真题)已知函数y=/(x)的定义域为R.对于正实数〃，定义集合M“={x|/*+〃)=/*)}.

⑴若/(x)=sinx,判断女是否是笆中的元素，请说明理由；

,、(x+2,x<0

(2)若/")=厂求。的取值范围；

7x,x>0

(3)若y=/(x)是偶函数，当时，/(x)=l-x,且对任意4W(0,2),均有此7%.写出y=/(x),

xe(l,2)解析式，并证明：对任意实数c,函数y=/(x)-c在[-3,3]上至多有9个零点.

【答案】(1)不是；

⑵M：

(3)证明见解析.

【分析】⑴直接代入计算/(鼻)和/(?+乃)即可；

(2)法一：转化为在实数.%使得，(.%+〃)=/(%),分析得』+2=历工，再计算得。=(%+3]+]，最

后根据X。的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线)，=，与该函数有两个交点，招。用，表示，

最后利用二次函数函数性质即可得到答案；

(3)利用函数奇偶性和集合新定义即可求出xw(l,2)时解析式，再分析出/(-3)任(0,1),最后对C的范围进

行分类讨论即可.

【详解】⑴(I)小卜呜=冬/[»[=—呜=-4，则?不是M,中的元素.

(2)法一：因为叫产0,则存在实数将使得/(/+〃)=/(%),且〃>0,

当了<0时，/(x)=x+2,其在(田，。)上严格单调递增，

当,0时，/(x)=4,其在。+00)上也严格单调递增，

则/<。4与+*则为+2=Jxo+a,

令工+2=0,解得工=_2,贝卜2MXo〈O,

则〃=(>//+々,一/=(3+2『-/=(飞+3)+和：,4).

法二：作出该函数图象，则由题意知直线丁=，与该函数有两个交点，

由图知0q<2,假设交点分别为A(九r),8(M，

联立方程组.a=|AB|=in-n=t2-(t-2)=(t_■-1+—e—,4^1

n+2=t2)4[_4>

(3)(3)对任意而e(L2),Xo-2w(T,O),因为其是偶函数,

贝1上“天)-2)=/(2-M)，而2-%-($-2)=4-2/£(0,2),

所以玉)_2€知4_2与£用2，

所以〃/)=/(%-2)=〃2-3),因为/41,2),则2-玉«0,1),

所以f(%)=/(2-玉)=1-(2-*=玉-1,所以/(x)=x—l,xe(l,2),

所以当se(O,l)时，l—sw(O,l),l+se(l,2),则f(l—s)=l—(l—s)=s,

/(I+5)=(1+5)-1=5,WlJ/(1-5)=/(1+5),

而l+s-(l-s)=2s,(3-s)-(l-s)=2,

则l-seM2sqM2，则/(l-5)=/(3-5),

所以当xw(2,3)时，〃x)=/(x-2)=l-(x-2)=3-x,而/(x)为偶函数，画出函数图象如下:

其中/(-3)=/(3),/(-2)=/(2),/(0)，但其对应的J值均未知.

首先说明/(一3)二〃史(0,1),

若f(-3)=〃e(0,l),则一3+〃«-3,-2),易知此时/(x)=x+3/e(—3,-2),

则f(-3+〃)=〃，所以3)eM,a，%,而x«T0)时，f(x)=x+l,

所以/(-3)=/(—1)=0,与/(—3)=〃矛盾，所以/(—3)史(0,1),即/(—3)=/(3)任(0,1),

令y=/(x)—c=。，则y=/(x)=c,

当c=0时，即使让/(一3)=/⑶=/(-2)=/(2)=/(0)=0,此时最多7个零点，

当cNl时,^/(-2)=/(2)=/(0)=/(-3)=/(3)=c,此时有5个零点,

故此时最多5个零点；

当cvO时，若〃-2)=〃2)=〃0)=〃-3)=〃3)=~此时有5个零点,

故此时最多5个零点;

当0<c<l时，若/(-2)=/(2)="0)=c,此时有3个零点,

若f(-3)=c€(O,l),则-3+ce(—3,-2),易知此时〃x)=x+3,

则f(-3+c)=c,所以/(一3)€/二区,而xe[-1,0)时,/(x)=x+l,

所以f(-3)=f(-1)=0,与f(-3)=c矛盾,所以/(一3)史(0,1),

则最多在(-3,-2),(-2,7),(T,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点，

以及在工=-2,0,2处成为零点，故不超过9个零点.

综上，零点不超过9个.

知识点1函数的零点与方程的解

1.函数零点的概念

对于一般函数y=/(x),我们把使犬工)=0的实数X叫做函数)，=/U)的零点.

2.函数零点与方程实数解的关系

方程7U)=0有实数解台函数)，=4》)有零点今函数y=/(x)的图象与x轴有公共点.

3.函数零点存在定理

如果函数)，=_/㈤在区间［小切上的图象是一条连续不断的曲线，且有加加力＜0,那么，函数在区间3,

份内至少有一个零点，即存在c£(a,b),使得/(c)=0,这个。也就是方程儿0=0的解.

知识点2三种函数模型的性质

函数

y=a\a>\)y=\ogax(a>\)y=.d(">0)

在（0,+8）

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随工的增大逐渐表现为随〃值的变化而各有

图象的变化

为与V轴平行与谢平行不同

知识点3常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J(x)=ax^-b(a,b为常数，〃工0)

二次函数模型/(x)=ax14-bx+(?(«»b,c为常数,a#0)

危）=§+"女，b为常数,W0）

反比例函数模型

指数函数模型J(x)=bax-\-c(a,b,c为常数，〃>0且a#l,6#0)

对数函数模型J(x)=〃ogax+c(a,b,c为常数,〃>()且a#l,b#0)

幕函数模型J(x)=aVx+/?(«,b,a为常数，aKU,aWU)

知识点4利用导数研究函数的性质

条件恒有结论

---->

导函数的单ru)>o/（£）在区间（明〃）上单调递增

8S调性与导Y）函数y，a）在区

r（x）＜o/（*）在区间（明与上单调递减

与间3,6）上可导

函ra)=o/⑴在区间（a,b）上是常数函数

数-O-

的

利用导数第1步:确定定数的定义域;

单

判断函数第2步:求出导数/U）的零点;

A.

调单调性的第3步：用/'⑺的零点将/®的定义域划分为若干个区间,列表给出/'G）在各区间

［性,

步骤上的正负,由此得出函数）W（外在定义域内的单调性

函数）在点片。处的函数值/（。）比它在点工=。附近其他点处的函数值都小,

/'（«）=（）;而且在点久=“附近的左侧/'⑺幺）,右侧/'（外2。.则〃叫做函数）华工）的

极小值极小值点,/（"）叫做函数1/G）的极小值

.......0，

-।函数E/IT）在点x=/＞处的函数值/（〃）比它在点x=/i附近其他点处的函数值都大.

初/'（/，）=（）;而且在点算=/，附近的左侧/'（工以）,右侧/'⑴工。,则〃叫做函数的

三（―...-i＞极大值极大值点,/⑹叫做函数"/（#）的极大值

与值e---------------------------

一极值点，

函极值'、’极小值点、极大值点统称为极值点.极小值和极大值统称为极值

数--------0---------------------------------------------------------

的r如果在区间&与上函数）刁"）的图象是一条隹线晒的曲线，那么它必有最大

极条件值和最小值

（€）-----------------------------------------------------------

®隘求函数第1步:求函数月⑺在区间（a,6内的幽；

最（1*[J"值的第2步:将函数]刁㈤的各极值与端点处的函数值/（"）,/（/））比较,其中最大的一

值」步骤个是最大值.最小的一个是最小福一

Ie

题型1求函数的零点

1.(25-26高一上•全国•课前预习)函数〃x)=lnW-l的零点为()

A.eB.-eC.(50)或(-€,0)D.e和-e

【答案】D

【分析】直接解方程即得函数的零点.

【详解】令/("=历区一1=0,即lnW=l,解得x=±e,

所以函数/(x)的零点为e和-e.故选：D

2.(2025高二下•湖南郴州•学业考试)函数/(x)=ln(x+c)-1的零点是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】令/*)=0,结合对数解方程即可得结果.

【详解】令/(x)=ln(x+e)-l=。，即ln(x+e)=l,可得x+e=e,即x=0,

所以函数J'(x)=ln(x+e)-1的零点是0.故选：A.

3.(24・25高一下•贵州黔东南•期中)已知/是函数/(x)=h♦x+2的零点，则/。-2一/+3=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据指对数转化计算求解.

【详解】由题意可得/(不)=1叫-/+2=0,即限0=面-2,

则铲"=%,故/。“一天+3=/一/+3二3.故选：D.

4.(24-25高一上•全国•课后作业)函数〃力二厩2凶-1的零点为()

A.2B.-2

C.(2,0)或(一2,0)D.2和一2

【答案】D

【分析】根据零点定义结合对数运算计算即可.

【详解】令/")=()，则log2kl=1，解得X=2或*=一2.故选：D.

题型2求函数零点或方程根的个数

5.（25-26高一上•云南昭通・期中）函数〃x）=2hir-l的零点个数为（）

A.0B.I

C.2D.3

【答案】B

【分析】直接解方程/（力=。即可得答案.

【详解】令〃x）=21nx1=0,可得lnx=；。解得、=正，所以函数/（"）只有一个零点，故选：B.

x-10,x20,

6.（2025•广西河池•三模）函数={1八的零点个数为（）

x——,x<0

X

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据分段函数的性质直接计算零点即可.

【详解】令x—10=0=x=1020,符合题意；

令“一~-=0=>x=lugx=-l,x=l>0,不符合题意，x=-l<0,符合题意.

X

所以函数“X）的零点个数为2.故选：B

7.（2025高二下•湖南•学业考试〕函数〃x）=sin1-已）在区间（0,3兀）上的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】令x-g=E,解得x=E+92eZ）,当A=0J2,3,-1时，分别计算出对应的工值，找出符合

XG（O,37T）的X值即可得解.

【详解】令x—m=E（ZeZ）,解得x=A7r+m（&cZ）.

66

当上=0时，x=0xn+y=-^e（O,37l）,符合条件：

66

当k=1时，x=lx7r+J=?w（O,37i）,符合条件；

66

当2=2时，1=2乂兀+?=粤€（0,3兀），符合条件；

6o

当〃=3时，X=3X7I+B=F>3H,不符合条件；

66

当上=一1时，X=-lX7T+y=-^<0,不符合条件.

66

综上,在区间（0,3加）上,x有工,?,—三个解，

606

即函数的零点个数为3.故选：D

8.（25-26高一上•全国.课后作业）已知函数f（x）=lgx-sinx,则/（x）在（0,+co）上的零点有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

【答案】B

【详解】求函数/（x）=lgx-sinx在（0,收）上的零点个数，即求函数y=lgx的图象与函数），=sinx的图象在

（0,网）上的交点的个数.如图所示，显然函数）'=但x的图象与函数），=sinr的图象在（0,+“）上的交点的个

数为3.

9.（25-26高一上•全国•课前预习）函数/"）=6向+工+1的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由），=。川和y=x+l都在R上连续且单调递增，得/（X）在R上连续且单调递增，所以函数

〃力=尸+X+1最多有1个零点.再根据4-2乂0,/（一40、可知函数/（X）有且只有一个零点.

【详解】解：由y=*和y=x+i都在上连续且单调递增，得f（6=©.+x+l/ER上连续且单调递增,

所以函数/（“最多有1个零点.

因为2）=e3+（_2）+1=」-1<0,〃-1）=©向-1+1=1>0、所以函数/（“有且只有一个零点.

e

故选:B.

10.（25-26高一上•全国・单元测试）已知函数/（x）=hr-1,则方程/（"=』-2/的根的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】C

【分析】转化问题为函数y=inx和函数丁=。-1）2的图象在（0,y）上的交点问题，进而结合图象求解即可.

【详解】原方程即为限-1=/一2%,变形得向=/一2工+1=3-1）2,

要求方程"x）=V-2X根的个数,

即求函数尸出和函数y=（x-1）2的图象在（0,+力）上的交点个数,

作出两函数的图象如图所示，

产(x-1)，

由图可知，两函数图象在(o,+“)上共有2个交点，故原方程共有2个根.

故选：c.

11.(25.26高三上•四川广元•月考)方程1呼2犬+人=2=()的实根个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】方程的实根个数等价于两个函数如必的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断.

【详解】log2x+x-2=0=>log2x=2-x,

令K=log2k)，2=2-x,方程logzx+x-2=0的实根个数等价于两个函数如厉的图象的交点个数.

画出函数图象，

如图可知两个函数的图象的交点个数为1个，

即方程1叫工+工-2=0的实根个数为1个.

故选：B.

题型3判断零点所在区间

12.(25-26高一上・贵州贵阳•月考)函数/(x)=log2*+l)-一二的零点所在的一个区间是()

x+2

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(L2)

【答案】C

【分析】确定函数八刈的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.

【详解】函数/*)=10g2*+l)——二的定义域为(—1，—),

A+2

函数y=iog,*+i),)，=——^在(-1,十⑼上都单调递增，则函数/(X)在(-1,内)上单调递增，

x+2

12

而/(0)=--<0,/(1)=->0,所以函数/(X)零点所在的一个区间是。1).

JJ

故选：C

13.(25-26高一上•山西•月考)函数f(x)=log_E-5+2.r的零点所在的区间为()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(5,6)

【答案】B

【分析】结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得.

【详解】因为丁=1咆/与y=2x-5都是增函数，所以人”为增函数，

又"2)=噫2-5+4=晦2-1=脸2-唾33<0,/(3)=!og33-5+6=2>0,

所以/(x)的零点所在的区间为(2.3).

故选：B.

14.(25-26高一上•辽宁葫芦岛•月考)函数/(x)=5'+x-16的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(-1,0)C.(2,3)D.(1,2)

【答案】D

【分析】首先根据指数函数和一次函数性质得到“X)为单调递博函数，再利用零点存在性定义即可判断零

点所在区间.

【详解】因为指数函数>'=5、在R上单调递增，一次函数y=x在R上单调递增，所以函数/(X)=5"+X-16

在R上单调递增.

/(0)=5°+0-16=-15<0；/(1)=5'+1-16=-10<0；/(-I)=5-*+(-l)-16=-y<0；

/(2)=524-2-16=11>0；/(3)=53+3-16=112>0；

因为函数〃x)=5*+x76在R上单调递增，K/(l)/(2)<0,

所以函数/")的零点所在区间为(1,2).

故选：D.

15.(25-26高一上•广东•月考)函数/*)=e2x+lnx的零点所在区间为()

A.(0,-y)B.(-7,-T)

ee-e-

C.(―,—)D.(―J)

eee

【答案】C

【分析】根据函数的性质判断函数/*)在(0,y)上单调递增，由零点存在性定理判断即可.

【详解】函数/(x)=e2x+lnx的定义域为(0,+8),

因为)，=e2x,y=lnx在区间(0,y)上单调递增，

所以函数f(x)在区间(0,田)上单调递增，

/1\1I

f-=e2x-+ln-=e-l>0,/(l)=e2xl+lnl=e2>0,

/ee

所以由零点存在性定理可知零点所在区间为(22).

e~e

故选：C.

16.(25-26高一上•北京•期中)已知函数)=/(力的图象是一条连续不断的曲线，且有如下定应值

X12345

y202511-58-10

则不一定包含/(工)零点的区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】A

【分析】根据零点存在性定理判断各选项即可.

【详解】因为/(2)/⑶<0,/(3)/(4)<0,/(4)/(5)<0,且函数的图象是一条连续不断的曲线,

所以函数在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均有零点.

而f(l)/(2)>0,所以函数在区间(1,2)上不一定有零点.

故选：A.

17.(25-26高二上•内蒙古呼和浩特.期中)函数/(同=工-6-1的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】先利用函数的单调性定义判断函数/。)的单调性和趋势，确定零点个数，再根据零点存在定理计

算判断选项即可.

【详解】因/（行=1一五一1的定义域为［0，+8）,任取04%<占，

由/（玉）一/（工2）=玉——1—（/一—1）

=&一9_（几一爪）=（嘉一口）（R+嘉一1）,

当04%〈工2〈；时，则0W喜〈后V；,故北一任<0,且在+任一1<0,

此时/a）-f（a>o,即/（演）>/也），即函数/（*.）在（0」）上单调递减；

4

当：<为<“2时，则喜〈嘉，故口一石<0,且在+。々一1>0，

此时八3）-/（占）<。，即〃N）V“V2），即函数/@）在!”）上单调递增.

4

J=

又f（0）=-l,/（7）=7-Z--^当XT+8时，/（A）->-KO,

4424

故函数/（x）在（0二）上无零点，在J,+8）上有•个零点.

44

又f（2）=1-V2<0J（3）=2-G>0,故函数的零点所在区间是23）.

故选：C.

题型4根据函数零点的个数求参数范围

18.（2025高一上•全国•专题练习）若函数/*）=a/+x_］在（_］,3）上恰有一个零点，则（）

21

A.—<a<2B.—<a<2

94

2I21

C.——0。<2或。=——D.——<。<0或〃=——

9494

【答案】C

【分析】讨论二次函数的零点的分布求参数的范围.

【详解】由函数/⑺=/+x-1在（-1,3）上恰有一个零点，

当〃=（）时，/（x）=x-I,令/3=0,解得x=l,符合题意，

当°>0时，由/（0）=-1,要使函数/（x）=o?+x-l在（-1,3）上恰有一个零点，

则f（T）/（3）W0,即（白一2）（9。+2）40,

2

解得一即0<。42,

当。=2时，"x）=2f+x_l在（_1,3）上只有一个零点;，符合题意；

当〃<0时，要使函数〃力=加+1-1在（T3）上恰有一个零点，

MA=0gc/（-l）-/（3）<0,即"牝=0或（〃-2乂9°+2）40,

1212

解得〃=—或—4aW2,即〃=—或—<a<0,

4949

时，=+x_］在（_］,3）上只有一个零点］,符合题意;

19

综匕实数〃的取值范围为或-

49

故选：C.

19.（25-26高一上・全国・单元测试）已知函数f（x）=k）g2也担一唾2（-奴）在（。，2）内至少有一个零点，则

A

实数，的取值范围为（）

_L_1

A.—co,——B.4,~8C.4'°D.2，-8

【答案】B

【分析】根据对数函数运算化简函数，结合对数函数在（0,2）内至少有•个零点，进而真数等于0,然后利

用二次函数有根列不等式组，即可求解.

-log（-ar）=log（-誓在（0,2）内至少有一个零点,

【详解】/（1）=1用222

即-等1=1在（。,2）上有根（令/（加.卜等1卜。，则一笔”），

l-'Pax2+2ax+1=0在（0,2）上有根.令g（x）=av~+2ar+l,

则g（x）在（0,2）上的图象与x轴有交点，且需满足，+2a>0,-ox>0,

•V

-+2a^0,即一;<4<0

所以2

a<0,

又8（力=加+*+1的图象的对称轴为x=-l,且g（0）=l>0,

则g（2）=d+4。+1V。，即一.

3

所以实数。的取值范围为Li-』.

L48J

故选：B.

rgT-ar<I

20.（24-25高二下•北京延庆•期末）若函数〃x）='।有且仅有两个零点，则实数〃的取值范围为

-a-x,x>\

)

A.(—,0B.0,—jC.(—,eD.(—<0,e)

【答案】A

【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围.

【详解】由已知/("=0有两个解,

xev,x<l

即a=,有两个解,

-x,x>1

xev,x<I

设g(x)=,

-x,x>\

则直线)，=a与函数y=g("有两个公共点，

又，(加忙?丁“

可知当x«y,T)时,g<x)v0,g(x)单调递减,

当工«—1,1)时，g[r)>0,g(x)单调递增,

当xw(l,+8)时，g[x)<0,g(x)单调递减，

且当XV。时，g(%)〈o,g(0)=0,

作出函数y=g(x)图象如图所示，

所以当直线,一。与函数y=有两个公共点，则；,0),故选：A.

21.(24-25高一下•四川泸州・期末)若关于x的方程e'-ln(-x+a)=O在(0,+。)上有解，则实数。的取值范

围是()

A.(e,+8)B.(e,e)C.一双()D.Q+00

【答案】A

【分析】由题意将问题转换为a=e—+x在（。，+8）上有解,故只需求函数/（0=。/+无为>0）在（0,+助上

的值域即可.

【详解】e'-ln（-x+a）=0=e'=ln（-x+a）=eC=-x+a=>a=ec+x,

由题意关于“的方程a=e-+x在（。，内）上有解，

令f（x）=ec'+x,（x>0）,因为y=e'在（0,+巧单调递增，

所以尸e-在（0,+功单调递增，

又因为丁=不在（o,侄）单调递增，所以/ahec'+Mx〉。）在（0,y）单调递增，

而f（0）=e,当x->+8时，/⑴一—，

所以〃x）«e,4w）,故。的取值范围为（e,+8）.

故选:A.

22.（25-26高一上•全国•课后作业）设/（"=|尸1|（X+1）T.若关于x的方程/（"=&有三个不同的实数

解，则实数k可取（）

A.-1B.-C.0D.1

4

【答案】CD

—v*—X+]V<1

【详解】因为/（X）=|x-l|«+l）T=2/一：，所以蚱出函数/*）的图象如图所示.由图可知,

X-x-1,X>1,

当一1<女<3时，函数/*）的图象与直线），=A有三个交点.

4

所以当时，方程小―个不同的实数解.结合选项知C,D正确.

23.（2025・重庆・三模）已知函数f（x）=sin⑺+彳（①>0）在[0,2兀）上恰有2个零点，则/*）的最小正周

期的最小值为（）

【答案】D

【分析】由题意求出切的范围，进一步可得周期的最小值，由此即可得解.

【详解】当xwO2兀），则］《。X+］<2兀/+］,/*）有两个零点，则2兀<2几/+1«3兀，

所以。由丁=四知，最小正周期的最小值为七.

63co2

故选：D.

24.（24-25高一下•云南•期中）己知函数/（x）=5coss+金（3>0）在（0m）上恰有3个零点，则出的

•7

取值范围是（）

（33473347"20262026

*•〔五石B.C.D.T,T

【答案】A

【分析】由己知可得s+枭修所+外结合零点的个数可得g<sr+产与，求解即可.

【详解】因为xe（0㈤，0>0,所以8+*忖,◎兀+，

又因为函数/（x）=5cos©r+T在（°，兀）上恰有3个零点，

兀=7加33,47

所以《-〈co兀+亍4耳，解得

所以G的取值范围是偿，善.

114I4J

故选：A.

25.（2025・四川凉山•三模）已知函数/（.r）=2sin（2x+5）在［一/向上有且仅有2个零点，则实数机的取

值范围是（）

兀3兀、卜「兀］〃「n3兀、'「兀兀］

A.—B.C.~7'~rD.—

L22J12）l_44J［42）

【答案】C

【分析】由诱导公式可得〃x）=2cos2x,得到〃A0,21目-2肛2间，分三种情况，得到不等式，求出实

数〃?的取值范围.

,（jr\

【详解】/（A）=2sin2x+-=2cos2x,

乙）

xG[一枢m],显然一切V切，故，〃>0,2xs[-2/W,2/H],

n3冗'

若解得加€

2me

若,解得0,

2we

22)

5兀3兀

-2meT,-T

，解得0，

2叫吱

兀3兀、

综上，we

故选：C

题型5根据函数零点范围求参数范围

26.（25-26高三上•海南海口・月考）已知函数/（%）=1唯（*+1）-《+/〃在区间（1同上有零点，刻机的取值范

围为（）

H_2-11_Q

A.B.

-6，-26'2)

-00,-1U

C.（f制毛；,田）D.

6

【答案】B

/(«)<0

【分析】易得函数/（力在。,3］上单调递增,由・/(3)20求

【详解】因为函数y=iog2（x+i），尸〃在区间（1,3］上单调澧增,

所以函数/（司在（L3］上单调递增,

由函数/3-1。次（声】）七十，〃在区间（1，3］上有零点,

1

m<—,

了解得工―

得/(3)>0,J

〃?+与0,6

6

因此，实轲的取值范围是得力

故选：B.

27.(25-26高一上•全国•课后作业)函数=五十犬+加在区间(2,4)上存在零点，则实数机的取值范围

是()

A.(-oo,-18)B.(4+a,a)C.(4+72,18)D.(-18,-4-72)

【答案】D

【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得.

【详解】函数/(工)=4+/+加在(2,4)上的图象连续不断，且为增函数，

若『(工)=五+/+加在区间(2,4)上存在零点，

根据零点存在定理可知，只需满足/(2卜/(4)<0,

即(〃2+4+@(〃?+18)<0,

解价一18<〃?<-4一五，

所以实数次的取值范围是(-电-4-a).

故选：D.

28.(22-23高二下•河南省直辖县级单位•月考)函数/(x)=h】x"-a在(l,e)内存在一个零点，则实数。的

取值范围是()

A.1<«<eB.1<«<l+eC.或〃>eD.或a>】+e

【答案】B

f⑴=\-a<0

【分析】根据题意，由:1.八求解.

/(e)=l+e-«>0

【详解】解：因为函数/G)=lnx+x-"在(0,+8)单.调递增，且在(l,e)内存在一个零点，

所以仁〈,八，解得

/(e)=1+e-«>0

所以实数。的取值范围是l<a<l+e,

故选：B

29.(21-22高一下•河南焦作・期末)若函数/(x)=lnx+f-。在区间(l,e)上存在零点，则实数。的取值范

围为()

A.(l,e2)B.(1,2)C.(i,e2+l)D.(2,2+2

IeJ

【答案】C

【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得f(l)v0,/(e)>0,求解可得答案.

【详解】Q/(x)=ln.r+x2-«,故/(力=,+2,00在区间(l,e)上恒成立

X

・・・/。)在(")上单调递增.又函数/⑴=lnx+Y-a在区间(10上存在零点，故/⑴v0J(e)>0,即

lnl+l-t7<0,

…解得―D

故选：C

3().(25-26高一上•重庆巴南•月考)已知函数/(x)=a/