2026年高考数学复习讲义：立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略（原卷版）

专题12立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略

目录

01折•考情精解

02构•知能框架

03破•题型攻坚

考点立体几何的外接球.内切球及棱切球

真题动向

知识点01外接球模型一：墙角模型

知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型

知识点03外接球模型三：直枝柱的外接球、圆柱的外接球模型

必备知识

知识点04外接球模型四：垂面模型

知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型

知识点06内切球思路

题型01长方体外接球

题型02正四面体外接球

题型03对棱相等的三棱锥外接球

题型04直棱柱外接球

题型05直棱推外接球

题型06正梭椎与侧梭相等模型

命题预测

题型07垂面模型

题型08二面角模型

题型09坐标法解决外接球问题

题型10多面体外接球

题型11锥体内切球

题型12枝切球

-±

析•考情精解

近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问

命题轨题在小题中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺

迹透视利解答。从全国高考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现

在大题中。此部分是考试的重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。

预计在2026年高考中，与球相关的组合体问题多以小题形式呈现，同时也有可能融入解答

2026命题中，作为相对独立的部分。具体来说：

题预测（1）这类问题可能会以选择题或填空题的形式出现，旨在考查学生的综合推理能力。

（2）锥体内切球与棱切球问题将成为考查的热点。

构•知能框架

•题型攻坚

考点立体几何的外接球、内切球及棱切球

1.12022•新高考全国n卷T7）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3,3和4x/3,其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.1007cB.12871C.1447tD.1927c

2.12025新高考II卷T14）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

3.（2023•全国乙卷T16）已知点S,A,8,C均在半径为2的球面上，V/WC是边长为3的等边三角形，SAJ•平

面A3C,则SA_.

4.12023•全国甲卷・高考真题）在正方体人BCD-4勺GR中，£厂分别为AB,GR的中点，以£尸为直径

的球的球面与该正方体的核共有个公共点.

命0❾❸

知识点01外接球模型一：墙角模型

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂宜于底面且底面是直角三角形模型，用构造法（构造长方体）解决.外接球的

直径等于长方体的体对角线长（在长方体的同一顶点的三条棱氏分别为。，b,C,外接球的半径为R则2R

I『+力2-4-「2

=、〃2+力2+c,2.）,秒杀公式：R?=---.可求出球的半径从而解决问题.有以下四种类型:

类型III

知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型

四面体ABCQ中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通

过构造长方体来解决这类问题.

222

b+c=m,22

如图，设长方体的长、宽、高分别为则/+/=〃2,三式相力口可得/+〃+/=,"+"+'，而显

，一，2

然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为A,则/十〃+C2-4A2,所以向二厂十;十，

知识点03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型

直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法（多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分

别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即

可解决问题.有时也作出两条垂线，交点即为球心.）解决.以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知

球心O的位置是4/WC的外心0|与4A|81G的外心。2连线的中点，算出小圆Oi的半径4Oi=r,OO\=

2

_

9\R2=r2+—

4

知识点04外接球模型四：垂面模型

1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心。的位置是

△CB。的外心。।与△的外心。2连线的中点，算出小圆0\的半径40尸r,OO\=-,：.R-=2—.

2r+4

2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面A8CL平面BCD,

如类型I,△ABC与△3C。都是直角三角形，类型H,是等边三角形，△4C。是直角三角形，类型

IILAABC与ABC。都是等边三角形，解决方法是分别过AABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂

线，交点。即为球心.类型IV,△A8C与△BCO都一般三角形，解决方法是过aBCO的外心。|作该三角

形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题.设三棱锥A-BCD的高为九外接球的半径为R,球心为

及2=3+〃]2,

O.△4。。的外心为。|,0|到的距离为力。与。1的距离为阴，则｛)0,?解得R可用

[R2=d2+(h-m)2,

秒杀公式：/?2=〃2+外一夕其中小-2为两个面的外接圆的半径，/为两个面的交线的长)

类型I

知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型

1、正棱锥外接球半径：R=「止

2、侧棱相等模型：

如图，。的射影是AABC的外心

=三棱锥P-/WC的三条侧棱相等

=三棱锥P-/WC的底面AABC在圆锥的底上，顶点尸点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心o的位置，取MAC的外心a,则只aq三点共线；

第二步：先算出小圆01的半径A«=一，再算出棱锥的高PO1=b(也是圆锥的高)；

户4-h2

第三步：勾股定理：OA2=O,A2+Op-=>R-=(h-R)2+r,解出R=^——.

2h

知识点06内切球思路：

1、等积法思路

以三棱锥P-A8C为例，求其内切球的半径.

方法：等体积法，三棱锥P-46C体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和:

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r,球心为0,建立等式：VpAHC=Vo-ABC~^~Vo-PAH~^~VOMC+Vo-PbC^yp-ABC=^

SA/,8c"H-QSAPAB-r-^-^S^MU「+±SAPBU「=T(SAABC+SA月U?+SA由C+SAPB&r；

第三步：解出，=^——叱苦_——二笠.

3。A8C十〉0附8十〉。闲C十〉。PHC3表

2、球内接圆锥

如图1,设圆锥的高为力，底面圆半径为「，球的半径为R.通常在△OC8中，由勾股定理建立方程来计算

R.如图2,当“C>C6时，球心在圆锥内部；如图3,当尸CYC8时，球心在圆锥外部.和本专题前面的

内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是•样的，故无需提前判断.

；,2.„2

由图2、图3可知，0C=h—R或R—h,故(/?—/?尸+/=N,所以/?==：_.

2/2

3、球内接圆柱

如图,圆柱的底面圆半径为八高为人其外接球的半径为R,三者之间满足g)+/=N.

4、球内接圆台

(厂22_/2\2

店=d+n,其中小分别为圆台的上底面、下底面、高.

-2h

5、棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三舛形

题型01长方体外接球

I.一个长方体的长、宽、高分别为5,4,3,则它的外接球的表面积是（）

A.257rB.50nC.IOOTTD.200兀

2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是275,则这个球的体积是（）

A.18KB.367rC.48兀D.72几

3.在长方体ABCO-AMG。中，A8=6,BC=2上,8耳=4,则长方体外接球的表面积为

25664

A.笈B.TVC.64”D.32/r

33

题型02正四面体外接球

4.一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长

的最大值为.

5.己知正四面体4-BCO的棱长为3,点E在棱AO上，且。£=1,若点AAC石都在球。的球面上，则球0

的表面积为（）

3

A.一兀B.2兀C.9兀D.127r

2

6.小张同学将一块棱长为&的正方体形状橡皮泥重新捏成•个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四

面体外接球的体枳为（）

A.G兀B.2瓜RC.3瓜11D.9限式

7.一个四面体的所有校长都为6,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.3冗B.4瓦C.元D.6

题型03对棱相等的三棱锥勺耀球

8.四面体4—8C£＞中，AB=CD=5,8C=AC=4O=8O=6,则此四面体外接球的表面积为.

9.如图，在三棱锥P—ABC中，PA=BC=6PB=AC=2,PC=AB=&则三棱锥尸一ABC外接球的

A.&兀B.C.庭TVD.6兀

10.在三棱锥中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=拒，则三棱锥E4BC的外接球的表面积为

A.26乃B.12万C.84D.244

题型04直棱柱外接球

11.已知直三棱柱4月。-4月6,AI3J.BC,AB=6,BC=8,4A=8,设该直三棱柱的外接球的表面积为s,

该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为$2,则率=（）

13八27「35、41

A.—B.—C.—D.—

2244

12.己知直三棱柱ABC-的底面是边长分别为5,12,13的直角三角形，若该三棱柱有内切球，则其

外接球的表面积为（）

A.173乃B.177万C.185万D.188乃

13.已知直三棱柱人AC-A/G的体积为24,ZACT=90°，M=4,若直三棱柱人4。-A卅G的所有顶点都在

球。的球面上，则球。表面枳的最小值为.

题型05直棱锥外接球

14.已知三棱锥P-4BCAC=®BC=1,4cJ_8C且尸A=2P8,PBJ.平面48C,其外接球体积为（）

A.四324

B.4乃D.

33

15.己知三棱锥P-A8C中，尸AJL平面ABC,ZA4c=60。，24=4C=2,则此三楂锥外接球的表面积为（）

A147t28兀

B.C.107TD.5兀

・—

16.已知三棱锥P-A8c中,△A43是边长为2的等边三角形，PC=2,AC=娓,BC=4i，则三棱锥P-A8C

的外接球表面积为（）

c3228

A.6nB.10兀C.—兀D.一兀

55

题型06正棱锥与侧棱相等模型

17.已知正四棱锥P-AACO的各条棱长均为2,则其外接球的表面积为

A.4nB.6兀C.8兀D.1671

18.已知正三棱锥A-8CO的底面△8CO的边长为6,直线A8与底面8C。所成角的余弦值为左，则正三

棱锥人-ACQ外接球的体积为（）

A.81隔B.27小C.18扃D.9mli

19.正三棱锥P-ABC的底面边长为3,侧棱长为2,则它的外接球的体积为.

20.已知三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=26AB=ZG8。=26，AC=6,三棱锥尸―A8C外接球的

表面积与三棱锥P-A3C的侧面积之比为（）

A.4（73-1）7TB.4小C.4（及-1）兀D.4©t

题型07垂面模型

21.如图,在VA8C中,ZACB=120°,AC=BC=2,D为AB中点,沿8将“18翻折至△ACD的位置,

使得平面ACD_L平面BCD,则二棱锥K-B3外接球的表面积为

22.在三棱锥产一A3C中，ABXSC,O为VAGC的外心，尸O_L平面ABC,若A4=4C=〃O=4,则三棱

锥P-ABC的外接球的表面积为•）

52

A.12兀B.一兀C.247rD.36兀

3

23.己知四边形48CD中，AC=2,ZABC=60°,ZADC=120°.现将△48沿边AC翻折，使点。翻折

到P点，若平面PAC_L平面B4C,则三棱锥A8c外接球的表面积是（）

8冗20兀32n20y/l5n

A.B.

T27

题型08二面角模型

24.长方形/WC。中，AB=4,BC=3,将△47力沿人。折起，使二面角。-4C-A大小为。，则四面体O-/WC

的外接球的表面积为

25.在三棱锥中，己知VA4C是边长为2的正三角形，且24=心.若△P4B和VA4c的面积之积为

石，且二面角P-A3-C的余弦值为£,则该三棱锥外接球的表面积为.

5

26.已知三棱锥O—A4C中，A8=4,4C=3,8C=5,三角形O5C为正三角形，若二面角。—AC-A为120。，

则该三棱锥的外接球的体积为.

27.在四面体S-4BC中，AB工BC、AB=BC=&SA=SC=2,二面角5-AC-B的余弦值是-立，则该

3

四面体的外接球的表面积是.

题型09坐标法解决外接球问题

28.已知四面体ABC。的顶点坐标为A（1,O,O）,"（0,1,0）,C（0,0,V2）,£＞（0,0,0）,则该四面体外接球的表

面积为（）

A.nB.4itC.87rD.16兀

29.已知四面体A8CQ的四个顶点的坐标分别为A（0,2,0）,B（4,0,0）,C（3,l,0）,。（0,0,-2）,则该四面体

外接球的表面积为（）

A.1087tB.1127：C.128兀D.1367r

30.已知四面体A8CO的顶点坐标为A（l,0,0）、8（020）、C（0,0,3）、£＞（0,0,0）,则该四面体外接球的表

面积为（）

A.7KB.C.14兀D.567r

3

____2

31.在底面边长为2的正三棱柱ABC-A4G中，D,七分别是和Cq的中点，若cos（而，荏〉=；,则该

4

三棱柱外接球的表面积为（）

题型10多面体外接球

32.四面体ABCO中，AOJ_平面ABC,AB=\,AC=2,40=3,ZBAC=90°.若A,B,C,。四点都在

同一个球面上，则该球面面积等于.

33.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一

条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈.如图为一个阳马

与一个鳖脯的组合体，已知24_1平面48CE,四边形/WCO为正方形，AD=2底ED=l,若鳖腌P-ADE

的体积为2,则阳马外接球的表面积为（）

A.144兀B.36