第十章 概率（单元测试 基础夯实）-人教A版高一数学必修第二册

第十章概率（基础夯实）

——高一数学人教A版Q019）必修第二册单元测试

【满分：150分】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

I35

L已知随机事件A,8满足P（A）=z，P（8）=7，P（AU8）==,则P（A:8）=（）

346

A.—B.-C.—D.-

168164

2.其小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件

是（）

A.至少有1名女生与全是女生

B.至少有1名女生与全是男生

C.恰有1名女生与恰有2名女生

D.至少有1名女生与至多有1名男生

3.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和

一名女生的概率是（）

A.二B.—C.—D.一

3234

4.已知事件A和事件8满足/T8=0,则下列说法正确的是（）

A.事件A和事件B独立B.事件4和事件B互斥

C.事件A和事件B对立D.事件A和事件B互斥

5.下列命题：①对立事件一定互斥事件；②若A,B为两个随机事件，则

P（AUB）=P（A）+P（B）；③若事件4,B,C彼此互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1；④若事

件A,8满足尸（A）+P（好=1,则A与区是对立事件.

其中正确命题的个数是（）

A.lB.2C.3D.4

6.2024年进入8月后，成都市持续高温，气象局一般会提前发布高温红色预警信号（高温红色

预警标准为24小时内最高气温将升至40。。以上），在8月22日后的3天中，每一天最高气温

在40。。以上的概率为1.用计算机生成了10组随机数，结果如下：

298244618624061547257098474561

若用0,1,2,3表示非高温红色预警，用4,5,6,7,8,9表示高温红色预警，则8月22

日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的概率为（）

3739

A.-B.—C.—D.一

510105

7.七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、

一决正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方

形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（）

8.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图

排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为

阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3

个数之和是5的倍数的概率是（）

0-0—0-0-0—0-0

c5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件4="点数为了，其中i=l,2,3,4,则以下说法正确

的是（）

A.若随机事件用="点数不大于3”，则A与用互斥

B.若随机事件&二“点数为偶数”，则42口生

C.若随机事件打="点数不大于2"，则人与易对立

D.若随机事件叁="点数为奇数”，则4.4与之相互独立

10.已知事件A,B,且P（A）=0.7,尸（8）=0.2,则下列说法正确的是（）

A.若80则P（AB）=0.7

B.若A与8互斥，则P（AL.B）=0.9

C.若A与B相互独立，则P（AB）=0.06

D.若A与B相互独立，则夕（Aj3）=0.9

11.同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4,记录骰子朝下

的面上的点数，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”,事件3表示“红色骰子的点数是偶数”，

事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件。表示“至少一枚骰子的点数是偶数则下列说法中

正确的是（）

1,、1,、1,3

A.P（A）=gB.P（B）=-C.P（C）=-D.P（D）=-

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自

研制成功的概率为2，7,而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成

54

功的概率为.

32

13.已知A,B是相互独立事件，但不是互斥事件，若P（A）=而，P（B）=w，则事件AJ8的概

率为.

14.投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成

绩统计，将数据按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成5组,制成如图所示

的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求内

（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；

⑶用分层抽样的方法在［60,70）,［70,80）这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问

卷调查，求所选的两人恰好都在［70,80）的概率.

16.（15分）我省从2024年开始,高考不分文理科，实行“3+1+2”模式,其中“3”指的是语文、

数学，外语这3门必选科目，指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择I门，“2”

指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门.已知其高校临床

医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门.

（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的

概率；

（2）假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有

一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率.

17.（15分）某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选了一个答

案，且每道题他猜对的概率均为，.

（1）求该同学三道题都猜对的概率；

（2）求该同学至少猜对一道题的概率.

18.（17分）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.

31

已知甲家庭回答正确这道题的概率是I，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是不，乙、丙两

个家庭都回答正确的概率是!,若各家庭回答是否正确互不影响.

（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

19.（17分）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，

内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位梁上面一粒

珠子（简称上珠）代表5,梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同组一

粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的

个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件"表示的三位数能被5整除”，

B="表示的三位数能被3整除”.

档7»上珠

梁一

下珠

框」mnmrirnl

（1）求事件A,B的概率.

（2）求事件AB、AfB的概率.

答案以及解析

1.答案：D

解析：依题意，尸（408）=。（4）+尸（8）—尸（AU8）=!+2—?=!.故选：D

3464

2.答案：C

解析：“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女，至少有

1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；

至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误；

恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；

至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误，故选：C.

3.答案：A

解析：记2名男生为a,b,2名女生为1,2,任意选出两人的样本空间C={她矶。2创为2,12},

共6个样本点，恰好一男一女生的事件4={〃1,。2,〃1力2）,共4个样本点，所以选出的两人恰

42

好是一名男生和一名女生的概率是P（A）=-=-.故选：A.

63

4.答案:B

解析：因为事件A和事件8满足Ar3=0,则一定可以得到事件A和事件8互斥，但不一定

对立，故B正确，C错误；

因为尸（A3）=。，当P（A）,P（3）不为0时，事件A和事件8不独立，故A错误；

抛掷一枚骰子，记出现1点为事件4,出现2点为事件'则无={2,3,4,5,6},5={1,3,4,5,6},

显然事件印和事件力不互斥，故D错误.故选：B.

5.答案：A

解析：由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；

②中，当A与8是互斥事件时，才有（B）P（AU3）=P（4）+P（3）,对于任意两个事件A,B满

足P（A^3）二尸（A）+尸（8）-P（A8）,所以是不正确的；

③也不正确P（4）+P（8）+P（C）不一定等于1,还可能小于1；

④也不正确.例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A=

{摸到红球或黄球},事件8=（摸到黄球或黑球}，显然事件A与8不互斥，但

尸（A）+P（8）=g+；=1.故选：A.

6.答案：B

解析：由题意可知，表示8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的随机数有：

298,244,618,624,257,098,561共7个，「•8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色

7

预警信号的概率为自，故选：B.

7.答案：A

解析：设小正方形边长为1,可得黑色平行四边形底为直,高为受；黑色等腰直角三角形

2

的直角边为2,斜边为20,即大正方形边长为2友,故种子落入黑色平行四边形区域的概率

及X克

为72=1.故选：A

（2>/2）28

8.答案：A

解析：如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10

若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，基本事件总数为〃=C；+C；C；=60,

取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包括（2,1,7）,（2,3,5）,（4,1,5）,（4,7,9）,（6,1.3）,（6,5,9）,

（8,3,9）,（8,5,7）,（10,1,9）,（10,3,7）,（1,5,9）,（3,5,7）共有12个,取出的3个数之和是5

的倍数的概率是。=昙=!.故选：A.

605

9.答案：BD

解析：&="点数为1,2,3”，4="点数为1”，则41片，则A与片不互斥，A错误；B2=

”点数为2,4,6”,4="点数为2”,则为qg,B正确;员="点数为1,2”，4="点数为

3",AU3="点数为123”,不是全集，故C错误；纥="点数为1,3,5”,41）4='，点数为3,

4"，则P［（4」儿）名］=；=尸（41）儿）/（用故D正确.故选BD.

10.答案：BC

解析：对于A,若8三儿则P伊）=0.2,故A错误；

对B,若A与B互斥，则P（AU3）=P（A）+P（3）=0.9,故B正确;

对于C,若A与B相互独立，则可与B相互独立，所以

P（AB）=P（A）P（^）=[l-P（A）]P（B）=0.3x0.2=0.06,故C正确；

对于D,若A与3相互独立，则尸（AL3）=P（A）+P（5）-P（AB）=0.7+0.2-0.7x0.2=0.76,

故D错误故选：BC.

11.答案：BCD

解析：设红骰子朝下的面上的点数为〃2,蓝骰子朝下的面上的点数为〃，样本点为（〃?,〃），则

样本空间为。=｛（九〃）帆戏｛1,2,3,4｝｝,则〃（。）=16,事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，

A=｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝,所以夕（田=2=；,故A错误；

事件8表示“红色骰子的点数是偶数"，8=｛（2』）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（41）,（4,2）,（4,3）,（4,4）｝

Q1

所以P（3）==7,故B正确；

71T62

事件C表示“两枚骰子的点数相同"，C=｛（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）｝,

41

所以尸（。六二二:，故C正确；

164

事件。表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，

D=｛（2J）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（1,2）,（3,2）,（1,4）,（3,4））,

173

所以。（。）=布=],故D正确.故选：BCD

2

12.答案：]或（）.4

解析：由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、

乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：

P=1-1-T1--=1-"=三故答案为：4

I5八4J535

29

13.答案：=T或0.58

解析:由事件A,B相互独立，「（A）］,P（B）=|,得尸（AB）=尸（A）P（B）4,

ivyJ

3262929

所以事件AU8的概率为P（AU8）=尸⑷+P⑶-=R+彳-而二不.故答案为：—

14.答案：!

6

解析：一枚骰子的点数有6种情况，则两枚骰子点数所对应总情况为36种.又注意到点数之和

为7的情况有：1,6；6,1；2,5；5,2；3,4；4,3共6种，则掷得的点数之和为7的概

率是三二：.故答案为：

3666

15.答案:（1）0.03；

⑵84；

解析：⑴根据频率分布直方图可知（0.005+0.01+0.015+x+0.04）xl0=l=>x=0.03；

（2）平均成绩为X=（55x0.005+65x0.01+75x0.015+85x0.03+95x0.04）x10=84：

（3）由题意得，［60,70）,［70,80）两组人数比例为2:3,所以［60,70）组应抽取2人，记为A,B,

［70,80）,组应抽取3人，记为甲，乙，丙，对应的样本空间为：

C=｛（A3）,（A,甲）,（A乙）,（A丙）,（氏甲）,（及乙）,（8,丙）,（甲，乙）,（甲，丙）,（乙，丙儿

共10个样本点.设事件”=“两人来于［60,70）”,

则M=｛（甲，乙）,（甲，丙）,（乙，丙）｝,共有3个样本点.所以P（M.

〃（C）10

16.答案：（1）—

72

解析：（1）用mb分别表示“选择物理”“选择历史”，c,d,e,/分别表示“选择化学”“选

择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间

C=｛acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bef,bde,bdf,bef｝,则〃（C）=12

设M表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选

科要求”,则M=,S小",则〃(M)=5,则

(2)设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为N-

N”由题意知事件M，M相互独立，由⑴知尸(NJ=P(M)*

记N="甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”，

则N=NMU"N2，易知事件NM，KM两两互斥，

根据互斥事件概率加法公式得2')二P(乂而+川而2)=?(1-总+(1-部得亮.

17.答案:(1)

64

37

(2)—

64

解析：记事件4：该同学第，题猜对了，其中，=123,则P(4)=P(A2)=P(4)=；.

(1)三道题都猜对可以表示为444,又因为A，A,4相互独立,

所以「(A4A)=P(4)P⑷P(A)=3衿带.

(2)“至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”，后者可以表示为A44,

所以尸(内4)=尸(无)尸伍)27

64

因此所求概率为1-p(4无司=1-芸=£.

\'76464

32

18.答案：(1)弓，—；

o3

91

⑵工

32

3-1

解析：(1)设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件4、B、C,根据题意，则有P(A)=；，则P(4)=1,

44

——1—1213

又P(AC)=百，所以尸(C)、，即P(C)=z，又P(BC)=：,所以P(B)=G.

12334X

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分