广东省惠州市仲恺高新区2025-2026学年上学期九年级数学期末综合练习试卷及答案

广东省2025.2026学年上学期九年级数学

期末综合练习试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

I.观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）

A.主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

B.左视图既是中心对称图形,又是轴对称图形

C.俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

D.主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形

2.下列事件为必然事件的是（）

A.打开广播，正在播广告

B.某射击运动员射击一次，命中10环

C.在地球上，太阳从东边升起

D.任意买一张电影票，座位号是偶数

3.已知点A（-2M）,B（1⑼,C（3,c）在反比例函数&（&>0）的图像上，下列结论正确的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

4.一元二次方程V—2x=0的解是（）

A.西=3,-Vj=1B.4=2,=0C.x】=3,x,=—2D.N=—2,x?=—1

5.如图，在等腰VA8C中，ZA=120°,将VA8C绕点。逆时针旋转口（0。<。<90。）得到△CDE,当点4

的对应点。落在3c上时，连接配，则/BED的度数是（）

E

—1—

A.30°B.45°C.55°D.75°

6.如图，PA.P8是。。的切线，切点分别为点A、8,点。为上一点，ZP=66°,则NC等于（)

A.66°B.63°C.57。D.60°

7.“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的

形式表现出来.如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形

区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的

总面积为（）

A.1.8B.3.6C,6.8D.7.2

8.已知圆锥的底面半径为女m,母线长为5cm,则圆锥的侧面枳是

A.15乃cm?B.15cm2C.20^-cnrD.20cm?

9.若关于x的一元二次方程依-2）V+2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是（）

A.k>\B.%>1且AH2C.k<\D.hl且丘2

10.如图，E,/是正方形A3CO的边BC上两个动点，BE=CF.连接AE,80交于点G,连接CG,DF

交于点M.若正方形的边长为2.则线段的最小值是（）

A.1B.5/2—1C.>/3—1D.\/5—1

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是

—2—

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,2),6(6,1),以原点。为位似中心，相似比为3,把△048

放大，则点A的对应点A的坐标是

13.将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次

方程：—(不必化简).

14.如图，在扇形AO4中，点G。在上，将CO沿弦折叠后恰好与OA,04相切于点£,F.已

知NAOB=120。，。4=6,则项的度数为：折痕CZ)的长为

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>与x与相交于点A,B,点8的坐标为(3.0),若点

Q2,3)在抛物线上，则AA的长为

—3—

三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）

16.如图，已知点E,尸在线段8。上，AE//FC,AE=2FC,BE=2DF,求证：AB=2CD.

17”唱响红色主旋律，不忘初心担使命.”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神

风貌.南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动.九年级学生准备选择A.《龙的传人》、B.《祖国有我》、

C.《东方红》、D.《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等.

⑴选中《龙的传人》是_________事件，选中《唱支山歌给党听》是___________事件（填“不可能”、“必

然”或“随机”

（2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果.并求“选中《祖国有我》和《东方纤》”的

概率.

18.VA4c在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（-2,3）,8（-3』）,C（-1,2）.

（1）画出VA4c绕点。逆时针旋转90。后得到的圈G；

（2）画出VA8C关于原点。的对称图形△AzgG;

（3）若连接GG，则线段GC?的长度为.

四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）

19,某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠.现

超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量）’（千克）与每千克降价%（元），（。＜工＜20）之间满足一次函

数关系，其图象如图所示.

-4-

(1)求y与x之间的函数关系式.

(2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

(3)设销售这种菠萝蜜总共获利卬(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元?

20.如图，一次函数丁="+〃的图像与反比例函数y=±的图像交于点A(4,m),8(-6,-2).

X

(1)求人的值和一次函数的表达式；

(2)直接写出关于x的不等式or+/，＞人的解集.

X

21.已知BC是0。的直径，点。是BC延长线上一点，AB=AD,AE是。O的弦，ZAEC=30°.

(1)求证：直线A。是。。的切线；

(2)若垂足为M,的半径为10,求AE的长.

五、解答题(三)(共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)

22.如图1,在正方形AAC。中，E是A。的中点，尸是区4延长线上的一点，AF=^AB.

(1)求证

(2)阅读下列材料:

—5—

如旻2,把△ABC沿直线0C平行移动线段〃。的长度，可以变到△石8的位置;

BCD

图2

如国3,以8。为轴把aABC翻折180,可以变到-MC的位置;

如四4,以点A为中心把△A8C旋转180,可以变到“ED的位置.

图4

像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不

改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.

回答下列问题：

①在图I中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法使△ABE变到AAD户的位置，

答：.

②指出图1中，线段随与。尸之间的关系.

答：.

23.已知抛物线丁=尔+公=4与x轴交于A(-4,0),8(1,0)两点，与)，轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点。是线段OC上的一动点，连接AD,BD,将△/W。沿直线AD翻折，得到V4TO,当点U

恰好落在抛物线的对称轴上时，求点。的坐标；

(3)如图2,动点尸在直线AC下方的抛物线上，过点。作直线4C的垂线，分别交直线4C,线段3C于点

E,F,过点尸作尸G_Lx轴，垂足为G,求尸G+a尸尸的最大值.

6

1.c

【分析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即

可求出答案.

【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形,

故不符合题意；

B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；

C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，乂是轴对称图形，故符合题意；

D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌

握轴对称和中心对称的定义.如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够

互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形：中心对称是指杷一个图形绕着某一点旋转180。，

如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.

2.C

【分析】本题主要考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、

随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，

一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事

件.

【详解】解：A.打开广播，正在播广告，无法确定是否为广告，属于随机事件，故该选项

不符合题意；

B.某射击运动员射击一次，可能不中10环，属于随机事件，故该选项不符合题意；

C.在地球上，由于地球自转方向固定，太阳总是从东边升起，这是一个确定的自然规律，

是必然事件，故该选项符合题意：

D.座位号是奇数或偶数的可能性均存在，属于随机事件，故该选项不符合题意；故D不符

合题意.

故选：C.

3.B

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答此

题的关键.

【详解】解：•・•反比例函数y=&(Q0)的图象分布在第一、三象限，

x

・••在每一象限内y随x的增大而减小，

・・•点A(-2M),3(1,6),C(3,c)在反比例函数y=1的图象上,且一2<0<1<3,

.I

工a<0，0<c<b,

:,avcvb

故选：B.

4.B

【分析】本题考查了解•元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【详解】解：f-2工=0,

x(x-2)=0,

工x=0或工一2=0,

..玉=2,%=0,

故选：B.

5.B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内

角和定理求出ZABC=ZACB=30。,然后根据旋转的性质得出以7=EC,

ZDCE=ZACB=30°,/DEC=NABC=30。，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定

理求出N8EC=NEBC=75。，最后根据角的和差关系求解即可.

【详解】解：在等腰VABC中,ZA=120°,

ZA/3C=ZACB=30°,

VVABC绕点C逆时针旋转a[00<a<90°)得到△CO石，点A的对应点D落在BC上，

:,BC=EC,NDCE=ZACB=300,ZDEC=ZABC=30°,

/./BEC=/EBC=750,

・•・/BED=NBEC-ZDEC=45°,

故选：B.

6.C

【分析】本题主要考查了力线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先由切线的性质得

到NO8P=NQ4尸=90。，再由四边形内角和为360度求出NAO8=114。，则由圆周角定理即

—2—

可得至I]/C=gZAO8=57。.

【详解】解：:必、P4是0。的切线，

/.NOBP=NOAP=90。,

VZP=66°,

・•・ZAOB=360°-4OBP-ZOAP-ZP=1I4°,

/.NC=，408=57。，

2

故选：C.

7.D

【分析】本题考杳的知识点是用频率估计概率、几何概率，解题关键是理解频率与概率的关

系，明确黑色部分面积与正方形面积之比等于概率.先计算正方形面积，再由黑色部分面积

与正方形面积之比等于概率即可求解.

【详解】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为045,

•••该二维码是边长为4的正方形，

••・估计黑色部分的总面积为4x4x0.45=7.2,

故选：D.

8.A

【分析】本题考杳了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锦的侧面积的计算方法，特别是圆锥

的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2,把相应数值

代入即可求解.

【详解】解:圆锥的侧面积=2h3x5+2=15Wcm2).

故选：A

9.B

【分析】根据关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-l=0有两个不相等的实数根，可得出判别

式大于0,再求得k的取值范围.

【详解】•・•关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-l=0有两个不相等的实数根，

.••△=4+4(k-2)>0,

解得k>l,

Vk-2^0,

—3—

・・・k的取值范围k>l且k±2,

故选B.

【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△>00方程有两个不相等的实数根：

（2）△=0=方程有两个相等的实数根；

（3）△<0=方程没有实数根.

10.D

【分析】证明“跖丝WCASAS）由全等三角形的性质得出=产，证明

△A8G且△CBG（SAS）,由全等三角形的性质得出/BAG=/BCG,取CO的中点。，连接。8、

OF,则OM=CO=；CO=1,由勾股定理求出08的长，当0、M、8三点共线时，的

长度最小，则可求出答案.

【详解】解：如图，在止方形A8C。中，AB=AD=CB,ZEBA=ZFCD,ZABG=/CBG,

在△钻石和△DCF中,

AB=CD

<NEBA=NFCD,

BE=CF

.-.△/^E^ADCF(SAS),

ZfiAE=ZCDF,

在△ABG和中，

AB=BC

<NABG=乙CBG,

BG=BG

.NA3G%C8G(SAS),

/BAG=/BCG,

4

4CDF=4BCG,

/DCM+/BCG=/FCD=90°,

.\ZC£)F+Zr>C^=90o,

/.ZDA/C=1800-90o=90°,

取CO的中点。，连接08、OM,

则OM=CO」CO=1,

2

在Rt^BOC中，OB=ylCB2+OC2=V22+12=45»

根据三角形的三边关系，OM+BM>OB,

.•・当。、M、6三点共线时，8W的长度最小，

.•.BM的最小值=03-0尸=石-1.

故诜：D.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定

与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

II.8

【分析】根据多边形的内角和定理,多边形的内角和等于(〃・2)・180。,外角和等于360。,

然后列方程求解即可.

【详解】解：设边数为〃，由题意得，

180(/1-2)=360x3,

解得n=8.

所以这个多边形的边数是8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关

键.

12.(9,6)或(-9,-6)

【分析】本题考查的是平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律.掌

握以原点。为位似中心时，若相似比为3则原图形上点(x,)，)的对应点坐标为(此妙)或

(-丘，-")这一规律，计算对应点的坐标，是解题的关键.

5—

根据A(3,2),以原点。为位似中心，根据位似变换的性质，通过将点A的坐标乘以相以比

得到对应点A的坐标.

【详解】解：•・•以原点0为位似中心，相似比为3,把△O4A放大，点A的坐标为(3,2),

・••点A的对应点A的坐标为(3x3,2x3)或(3x(-3),2x(-3)),

即W的坐标为(9⑹或(-9,-6),

故答案为：(96)或(一9,一6).

20-2x

13.•.¥•!5=360

2

【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方

程.

【详解】由包装盒容积为360cn?可得，型三在315=360,

2

故答案为：里卢・x・15=360.

【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程

是解题关键.

14.60°##6()度4x/6

【分析】根据对称性作O关于C。的对称点贝I」点D.E、F、8都在以M为圆心，半径

为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可.

【详解】作。关于CO的对称点M,则ON;MN

连接M。、ME、MF、MO,MO交CD于N

•・•将co沿弦折叠

・•・点。、E、尸、8都在以M为圆心，半径为6的圆上

6-

•••将C。沿弦c/)折叠后恰好与04,OA相切于点£F.

：.ME±OA,MFtOB

：・/MEO=/MFV=90。

*/ZAOZ?=12()0

,四边形ME。尸中ZEMF=360°-ZAOB-ZMEO-Z.MFO=60°

即斯的度数为60。：

•；NMEO=/MFO=90。,ME=MF

：.AMEO-MFO(HL)

・•・NEMO=/FMO=-ZFME=30°

2

・•・OM=———=——=4G

cosZ.EMOcos30°

:.MN=)上

*：MO±DC

：.DN=dDM'-MN，=府_(2舟=2>/6=1CD

・••CD=4巫

故答案为：60。；46

【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质

作出辅助线是解题的关键.

15.4

【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函

数的解析式是解题的关键.先利用待定系数法求得抛物线)，=-/+2<+3,再令)=0,得

0=_X2+21+3,解得x=-l或工=3,从而即可得解.

【详解】解：把点8(3,0),点C(2,3)代入抛物线y=#+加+3得,

[0=9。+3方+3

[3=4«+2/?+3，

解得匕…

b=2

，抛物线y=-/+2x+3,

—7—

令y=0，得0=-Y+2A+3,

解得x=-l或工=3,

A(-LO),

,A5=3-(-l)=4；

故答案为：4.

16.见解析

【分析】根据A£〃/C,ZAEB+ZAE尸=180。,NC7T>+/瓦C=180。，可证得幺即=«爪>,

进而可证得AABEsACDF.

【详解】VAE//FC,

，ZAEF=ZEFC.

又NA£B+NA£/=180°,ZCTO+ZEFC=180°,

ZAEB=ZCFD.

VAE=2FC,BE=2DF,

.AEBE.

•.==2.

FCDF

・•・AABECOACDF.

.ABAEBEc

••----=-----=-----=2•

CDFCDF

AAB=2CD.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行线的性质，牢记相似三角形的判定定

理及性质是解题的关键.

17.⑴随机，不可能

尾

【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念求解即可；

（2）画树状图，这次选拦所有等可能的结果共有12种，其中“选中《祖国有我》和《东方

红》”的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】（1）选中《龙的传人》是随机事件，选中《唱支山歌给党听》是不可能事件；

故答案为：随机，不可能

（2）根据题意画树状图如下：

—8—

开始

ABCD

小/N小

BCDACDABDABC

从树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中选中《祖

国有我》和《东方红》的结果：即BC、CB,有2种，

P(选中《祖国有我》和《东方红》)=R=；.

126

【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念.树状图法可以不

重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件：解题时要注意此题是

放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

18.(1)见解析；

(2)见解析；

⑶

【分析】本题考杳了旋转作图，中心对称，勾股定理，正确掌握相关性质是解题的关键.

(1)根据旋转的性质分另J找出点A，4,G，再依次连接，即可作答.

(2)根据中心对称的性质分别找出点&，员,。?，再依次连接，即可作答.

(3)运用勾股定理列式计算，即可作答.

【详解】(1)解：如图，即为所求.

(2)解：如图，△48，G即为所求.

—9—

（3）解：如图，连接GC2,线段GG=VIG=而.

故答案为：Vio.

J隼

-5

-----------5卜………………

19.（1）y=20x4-60（0<x<20）

⑵12元

（3）当俏售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元

【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理

解题意求出y与x之间的函数关系式为是解题的关键.

（1）根据待定系数法即可求出函数关系式.

（2）根据总利润=每千克的利润x销量，列一元二次方程，解方程即可；

（3）设获得总利润为卬元，再建立二次函数，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：设y与》之间的函数关系式为），="+〃（女工0）,

2m00

由题意可知,将（2,100）和（5,160）代入尸"+6中得，,

5女+力=160

氏二20

解得:

h=60

—10

・•.），与”之间的函数关系式为y=20x+60（0<x<20）

故答案为：y=20x+60（0<x<20）；

（2）根据题意得（60-x-40）x（20x+60）=24（X）

整理得：x2-17x+60=0.

解得：5=5,X2=\2

又•.•要让顾客获得更大实惠，

/.x=12.

答：这种干果每千克应降价12元.

（3）销售这种菠萝蜜总夫获利卬=（607-40）x（20x+60）

=-20.r+340x+1200

=-20（x-8.5）：+2645,

V-20<0,0<x<20,

，当x=8.5时,每天获利最大,最大利润为2645元,

此时销售单价为60-8.5=51.5元

即：当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元.

20.⑴&=12,y=

（2）-6<x<0或x>4

【分析】（1）先把8点坐标代入），二与求出加得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解

x

析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）利用函数图象，写出反比例函数在一次函数下方所对应的自变量的范围即可.

【详解】⑴解：把3（k2）代入），=号得-2=5

解得&=12，

12

・•・反比例函数解析式为），=一，

x

把A（4,/〃）代入.y=?得小=与=3,

解得〃?=3,

•••A（4,3）,

—11—

把A(4,3),8(-6,-2)代入)，=办+。得〃1_2，

解得2,

b=\

・••一次函数解析式为)，=}+1；

(2)解：由依+6>4可知，反比例函数在一次函数下方，

X

・,•不等式公+〃>七的解集-6<x<0或x>4.

x

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式,

数形结合是解题的关键.

21.(1)见解析

(2)105/3

【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关犍：

(1)连接Q4,根据圆周角定理得到N8=NAEC=30。，进而得到NAO£>=2NA3C=60。，

等边对等角得到NO=30。，进而求出/。4。=90。，即可得证；

(2)垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可.

【详解】(I)证明：连接0A,

;AC=AC'

・•・ZB=ZAEC=30°,ZAOC=2/8=60°,

,/AB=AI),

AZD=ZB=30°,

JZOAD=180°-ZD-ZAOD=9()°,

，OA_LAO,

又「OA是。。的半径，

，直线AO是的切线；

—12—

(2)WC是0O的直径，AE1BC,

：-AE=2AM,ZAMO=90。，

由(1)可知ZAOC=60°,

/.N(MA/=30°,

•••。。的半径为10,

/.614=10,

：.OM=-OA=5,

2

,AM=VOA2-OM2=5>/3，

工AE=2AM=1（）>/3.

22.（1）详见解析：（2）①AABE1经过旋转可变到AA。尸的位置：②8EJ.O尸，BE=DF.

【分析】（1）根据SAS很容易讦得两三角形全等：

（2）①根据翻转的定义结合图形即可得出答案；②由（1）中的结论可得出BE与。尸之间

的关系.

【详解】（1）由正方形4BCO得：AD=AB,ZDAF=ZBAE=90<>.

又・・・AF=4A8,且£为A。的中点，・・・AF=AE.

AD=AB

在和△A£>“中，:<NBAE=NDAF,・・.△八8石红△ADf（SAS）;

AE=AF

（2）①由图形可得：△A8E经过旋转可变到4人。*的位置.

②由（1）得：BE.LDF,BE=DF.

【点睛】本题考查了中心对称及三角形全等的知识，难度不大，利用全等三角形的性质与判

定结合正方形的性质来解题.

23.（1）y=x2+3x-4

(3)FG+41FP的最大值为H

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）过"作入轴的垂线，垂足为H,得至ljA8'=A8=5,AH=~,由A&=A8=5=24”,

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推出ND4B=（N8'A8=30。，解直角三角形得到的长，即可解答；

⑶求得B