甘肃省酒泉市2025-2026学年高二年级上册1月期末数学试题（解析版）

甘肃省酒泉市2025-2026学年高二上学期1月期末

数学试题

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：直线与圆、圆锥曲线、数列.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知数列｛凡｝的一个通项公式为为二(-1)“‘2"+"，且。3二-5,则实数〃等于()

A.1B.3C.-1D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】结合通项公式，利用四二一5列方程求解即可.

【详解】因为％=(-1)"­2"+"，％=-5,

所以—23+〃=—5,解得々=3.

故选：B.

2.过点尸(1,-2)且方向向量为7=0,2)的直线方程为()

A.x-2y-4=0B,x+2y-5=0C.2x+y-5=0D.2x-y-4=0

【答案】D

【解析】

【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，利用点斜式得到直线方程.

7

【详解】•.•所求直线的方向向量为7=(1,2),「/二1二？，

•・•所求直线过点尸(L-2),

•••所求直线的方程为了一(一2)=2"-1),整理得2x—y—4=0.

故选:D.

3.在等差数列也｝中，若%=5,%=13,则4。=（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知条件，由二%求出d,从而由％o=%+7d可求出q。.

n-m

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

则d二生*=上工2,

7-34

，％0=%+7d=5+7x2=19.

故选：C.

4.圆心为（1,一2）且与直线3x+4y-5=U相切的圆的方程为（）

A.(1)2+()，+2)2=4B.(戈+1)?+()，-2)2=4

C.(x-l)2+(y+2)2=9D.(x+l)2+(y-2)2=9

【答案】A

【解析】

【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案.

【详解】设圆的方程为（x—l『+（y+2）2=，（r>0）,

|3xl+4x(-2)-5|

因为直线3x+4），-5二0与圆相切，所以圆心到直线的距离为d

~-=r即厂=2，

所以（x_l）2+（y+2/=4.

故选：A

5.抛物线x二丁的准线方程是（）

1

A.y=——B.y=-

41

I

C.x=—D.x=-

24

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线方程求出准线即可.

【详解】抛物线）户=2/沈的准线方程是1=-导

抛物线y2=x,则〃=g,所以准线方程x=

故选：D.

6.已知等比数列｛qj满足4+生+4=2,公比4=2,则4+的+〃9=（）

A.32B.64C.128D.256

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的性质计算可得.

【详解】因为q+%+%=2,公比4=2,

555

所以％+%+%=q/-voycf+a4q=（q+为+«4）^=2x2=64.

故选:B

7.关于曲线上—十上一=1,下列叙述不正确的是（）

5-mtn-1

A.当〃z<l时，曲线表示的图形是双曲线B.当lvm<5时，曲线表示的图形是椭圆

C.当〃z>5时，曲线表示的图形是双曲线D.无论〃?取何值，曲线表示的图形都不是抛物线

【答案】B

【解析】

【分析】由椭圆、双曲线标准方程的定义建立不等式组，判断ABC选项，由抛物线标准方程判断D选项.

5-m>0

【详解】当曲线为椭圆时，卜?-1>0,解得1<用<3或3<5,

5一工〃？一1

当〃2=3时.，曲线是圆，B选项错误；

当曲线为双曲线时，（5-6则团<1或m>5,A、C选项正确：

[5-加工0

•・•,八，・••无论，〃取何值，曲线表示的图形都不是抛物线，D选项正确.

故选:B.

8.班级物理社团同学在做光学实验时，发现了•个有趣的现象：从椭圆的•个焦点发出的光线经椭圆形的

反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决、.面问题：已知椭圆C的方程为

获十纭-1,其左、右焦点分别是，，F”直线/与椭圆C切于点R且|P用=6,过点〃且与直线/垂

忻。|

直的直线/〃与椭圆长轴交于点Q,则（）

IM

【答案】C

【解析】

【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.

【详解】由椭圆定义可得|尸阊=加一|尸制=10-6=4,

由光学性质可知，P。为/人夕人的角平分线，

所以幽=幽=9=3

所以怩Q|即42.

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列关于直线的说法正确的是（）

A,直线2工一3>+6=0的斜率为|B.直线x=5的倾斜角为90,

C.过点（1,2）且与工轴垂直的直线方程为工=1D.直线y=3x+1与>=3彳-2平行

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过

（“〃）与尤轴垂直的直线方程为对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行.

?23

【详解】对于选项A：2x-3y+6=0=>y=-x+2,斜率为二，并非不，故A错误；

对于选项B：直线x=5是垂直于x轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为90。，故B正确；

对干选项C：过点（1,2）且与4轴垂直的直线方程为x=l,故C正确；

对于选项D：直线y=3x+1与y=3x-2的斜率均为3,且纵载距（I和一2）不相等，故它们平行，故

D正确.

故选：BCD.

10.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且4>0,S6=S”，则下列说法正确的有（）

A.%=°B.Sg’Sg均是S〃的最大值C.SI7<0D.公差d<0

【答案】ABD

【解析】

【分析】A：根据56=5”，结合等差数列与下标和有关的性质卬可判断；BD：判断等差数列公差的正负,

从而判断该数列的增减性，结合q>0，的=0,即可求其前〃项和的最值；C：结合等差数列前〃项和公

式及等差数列与卜标和有关的性质即可判断.

【详解】选项A：由§6=5”，得$1-56=%+仆+%+40+4]=0,・・.54）=0na）=0,故A正

确：

选项D：由6=q+8"=0,且q>0,得]=-幺<0,故D正确；

8

选项B：由4>0、d<0,知等差数列是递减数列：

•・・偈=。，故前8项（4到〃3）均为正数，第9项为（），第10项及以后为负数；

§8是前8项正数的和，S9=S8+«9=S8,因此S8，Sg是S“的最大值，故B正确；

选项C：将」7（"；的）=17%=0,故C错误；

故选：ABD.

11.己知双曲线C:\一三=1（。>04>0）的离心率为正，左、右焦点分别为耳，鸟，点「在双曲线C

ab“

匕且/玛=60"，则下列说法正确的是（）

A.|P制疗用=4〃B.点尸到X轴的距离为手〃

C.△片尸鸟的面积为亚2D.|PG「+|P*=12〃2

【答案】ACD

【解析】

【分析】离心率得到「二及〃，结合^二后+6得到〃=〃，由余弦定理得到

忻周2=|尸用2+归图2_2|尸用.|尸用C0SN6尸乙，由双曲线的定义得到||PRHP周|=2〃，将其平方得

到归用2—21MHp图+|列珠=4/,通过计算得到|以讣归段和归用?+|尸用2的值；利用三角形的

面积得到&乎咚=；|巴讣|尸园sin/月列"和时明=；闺日・|词，代入数值计算得到上》|，即求得

乙乙

点P到X轴的距离.

22

【详解】•.•双曲线。：二一与二i（a>o/>o）的离心率为0,「.£=J5,

a~b-a

/L\2

:.c=yf2a»*/c2=a2+b2:.（\/2a\=a2+b2,:.a2=b2，：.a=b,

・・・N"P5=60',.•.忻用2=|产制2+|尸图2_2|产用.归用cosN^PE,

...402=/周2+归国2-2归"卜归国8560。，

.•.叱二四上炉寸卡用归用「阀.+归以二心+归用疗用，

,.•点P在双曲线C上，.•.归用一归矶=%，.•・归用2一2|尸用疗引+|尸国2=4总

・・・|P用2+归用2=4。2+|产用.归周，

.•.4?+|尸国.归周一2归用.|尸闾=46,.1历卜归周二402―4/,.,.|所卜|尸闾=4）2,

\2

.♦.IP用2+1尸修2=4/+附卜附।=公2+痴=4X（后,+4/=12〃，

故选项AD正确；

设P（Xp,yJ・：S.F\P&=g|PEHP用sinNEP6=gx4〃sin60°=G〃，

5"=：|耳玛|，|讣二・；|6尸2|・|力|=技2,.小2匚|力|=麻2,

.•.点尸到X轴距离为在。，故选项B错误，选项C正确;

2

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.等差数列｛4｝的前〃项和为$”3=3%+2,写出一个满足条件的｛凡｝的通项公式.

22

【答案】a=一一n（满足公差为一；即可）

n33

【解析】

【分析】利用等差数列的前〃项和公式与通项公式写出一个公差为-］的通项公式即可.

3

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,

,2

由S3=3%+2得：3q+3d=3q+6d+2,即d=-§.

2

由以上等式可知，写出一个公差为一-的通项公式即可.

3

22（2）2

若。i=-->则4=_3+

22

故答案为：a=一一〃（满足公差为--即可）.

n33

13.已知P,Q分别为直线3x+4y—12=0与6x+8），+1=0上任意一点，则归。|的最小值为

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据两平行直线间的距离公式即可求解.

【详解】3x+4y-12=0可化为6x+8），-24=0.两直线平行,

归。|的最小值即为两平行线间距高，为/,、二二

v6+8~，

故答案为；

2

14.已知点A(-L-l),3(7,3),C(2,-l),点P在圆f+尸=]上运动，则|刻2+归货+归q2的取值

范围是___________.

【答案】[18,22]

【解析】

【分析】设点P(cosa,sina)(0Wa<27i:),则根据两点间的距离公式可得到归+|尸8『+|PC『关于a

表达式，然后三角函数的有界性即可求解.

【详解】依题意，设尸(8sa,sina)(0Kav27t),

则回.+7卸0q2=(8sa+i『+(sina+l)2

+(cosa+l)~+(sincr-3)-+(cosa-2y+(sina+l)~

=2(cosa+l)~+2(sina+l『+(sina-37+(cosa_2y=20-2sina,

因为OKa<27i,所以一YsinaKl,所以20—2sina«18,22],即|PA「+|依『+|PC『的取值范围

是[18,22].

故答案为：[18,22].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛/｝满足q=2,且。”+[=2。”+3.

(1)证明：数列｛4+3｝是等比数列;

(2)求｛q｝的通项公式；

(3)求｛q｝的前〃项和S〃.

【答案】(1)证明见详解

⑵%=5x2”」-3

(3)=5x2"-3/7-5

【解析】

【分析】(1)根据等式构造数列｛%+3｝相邻两项，并求得其比值，即可证明;

(2)由(1)求得数列｛q+3｝的通项公式，即可求得｛%｝的通项公式；

(3)由(2)中｛q｝的通项公式，通过等比数列的前〃项和公式求得结果.

【小问1详解】

•••〃“+I=24+3,•••4用+3=2(4+3)，即二2,

・•・数列｛4+3｝是以4+3=5为首项，q=2为公比的等比数列

【小问2详解】

rfl(1)可知4+3=(4+3)/i=5x2”"，

・・・%=5x2i-3

【小问3详解】

S„=5x(2()+2l+22+.・•+2'i)—3〃

1x(1—2")

S=5x—-------^-3〃=5x2”-3〃-5・

”1-2

16.直线/与直线工—＞一1二0垂直，且经过点例(—3,1).

(1)求/方程；

(2)若圆f+)，2+2x-2y+〃7=0截直线/所得弦长为4,求实数，〃的值；

(3)若点N在圆/+,?+2_¥-2)，+1=()上运动，求线段MN中点的就迹方程.

【答案】(1)x+y+2=0

(2)-4

⑶4x2+4/+16x-8y+19=0

【解析】

【分析】(1)利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程；

(2)求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案；

(3)设出动点坐标，找出两动点间的关系，把N的坐标代入可求轨迹方程.

【小问1详解】

因为直线/与直线X-y-1=0垂直，所以直线I的斜率为-1,

又因为经过点M（—3,1）,所以方程为y-l=-（x+3）,即x+）,-2=0.

小问2详解】

圆x2+y2+2x-2y+m=0化为标准型为（x+l『+（y一1『=2—m,

Ix（-l）+lxl+2

圆心到直线/的距离为d1=72,

~VPTF~

因为圆截直线/所得弦长为4,所以2、（&）2=2一加，解得阳二T.

【小问3详解】

人）一3

x二三%=3+2x

设线段MN中点的坐标为（x,y）,N（%%）,则｛/，即

%=2»，一1

P-2

因点N在圆炉+丁+2工-2＞，+1=0上运动，所以君+公+2%-2%+1=0,

所以（3+2工）2+（2），-1）2+2（342/）—2（2），-1）+1=0,

即4/+4_/+16工一8），+19=0,所以线段MN中点的轨迹方程为4.，+4），2+16工-8），+19=0.

17.已知椭圆C：鼻+六=1（。＞〃〉0）的离心率为且过点P（2,0）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）对不同的实数相，讨论直线/：），=工+机与椭圆。的公共点的个数；

（3）若直线/：y=x+〃?与椭圆C相交于4,8两点，线段的垂直平分线与x轴交于点MQ,O）,求，

关于，”的表达式.

【答案】（1）三+二二1

43

（2）当-近＜〃?〈J7时直线/与椭圆C有两个交点；

当m=t#i时直线/与椭圆C有一个交点；

当加＜-J7或机〉J7时直线I与椭圆c没有交点.

tn

（3）t=一一

【解析】

【分析】（I）根据题意得。=2,c=l,〃=3,即可求解.

（2）直线方程与椭圆方程联立，A>0时两个交点；△=（）时一个交点；A<0时无交点.

（3）求出线段43的中点，点斜式求出直线方程，令y=。，即可求解.

【小问1详解】

1Q

根据题意得ci=2,e=—=—,c=1>b2=cr—c2=3，

2a

所以椭圆C的标准方程为：—+^-=1.

43

【小问2详解】

y=x+m

将直线/与椭圆C联立得|/2,消去），得7f+8如+4/—12=0，

—+—=1

143

A=（8"。2-28（4/H2-12）=48（7-//r）

当A>o时，即-J7<m<J7时直线/与椭圆c有两个交点；

当A=0时，即〃7=士不时直线！与椭圆C有一个交点；

当A<0时，即m<-J7或m>77时直线/与椭圆C没有交点.

【小问3详解】

6"!"e

设,4（内,）［）,3（工2，%）‘由（2）知％+与=--—»）［=%+团,％=工2+〃2,y+%=亍，线段A3

的中点为（审，中］即，智雪|

122；177）

2f/I、

线段A3的垂直平分线方程为：y--=-x+号,令y=0得xm

,

/\'77

ni

所以r二―一.

7

18.已知等比数列｛〃“｝的公比4>1,若生+生+4=14,且“2，%+1"14分别是等差数列仇｝的第1，

3,5项.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

【答案】（I）勺=2"7,2=?〃+?

****cc

⑵7受

【解析】

【分析】（1）根据等差、等比数列的知识求得首项和公差、公比，从而求得凡

（2）利用错位相减求和法求得S,.

【小问1详解】

2?

a}q+a}q~+。闻=14qg+qq2+qg:=14

由寇意得，2（aq2+l）=4q+qg3,a、q-2点+q/=2,

q>i4>1

"2q2-5q+2=。,解得"2«=:舍去）

a[q-la^q'+aAq\-2q+q~2

则2q+4q+8q=14q=14,解得q=l,所以q=2"一

则,=C4=2,仇=4+1=4+1=5,么=%=8,

5—23

设等差数列｛〃｝的公差为d,则d=3=1

331

所以勿=2+（〃-1）><5=3〃+3

【小问2详解】

31

,—n+-

_〃_22_3〃+1

2〃T

473/2+1

所以5“=_.

222~r~

73/2+1

232向

43333/?+l

两式相减得二S”—I---1----1---1--------

2222232"2n+,

3f,