高考数学二轮复习：函数的概念与性质（原卷版）

第五讲函数的概念与性质

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1高.考对函数的考查，重点是函数的单2023•新高考I卷,4

调性、奇偶性、对称性、周期性，需要幕、指、对函数的图像与性质2023•新高考I卷，10

关注周期性、对称性、奇偶性结合在一2023•新高考n卷,4

起，与函数图像、函数零点和不等式相2022•新高考I卷，12

结合进行考查。2023•新高考】卷,II

抽象函数的性质

2.高考对函数的考查重点关注以基本初2024.新高考I卷，8

等函数组成的复合函数以及抽象函数2022•新高考H卷,8

为载体，对函数内容和性质进行考查，函数与不等式结合2024•新高考H卷,8

考查函数的定义域、值域，函数的表示2024.新高考I卷，6

方法及性质（单调性、奇偶性、本称性、分段函数、三次函数的图像与性质2024•新高考I卷,10

周期性）、图像等。2024♦新高考H卷，11

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。

H卷考查/三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。总体来说函数主要以课程学习情

景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困

难题，而且常考常新。困数考查应关注：（I）指数函数、对数函数、基函数及一次函数、二次图数的图像

和性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的

木质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知

识点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。

（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用，

注重:数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。

三：试题精讲

一、单选题

一厂————ax'<0

1.（2024新高考I卷・6）已知函数为/（幻=1,,二八，在R上单调递增，则〃取值的范围是（）

ex+ln（x+l）,x>0

A.（-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+<»）

2.（2024新高考I卷・8）已知函数为f（x）的定义域为R,+且当xv3时/（%）=%,

则下列结论中一定正确的是（）

A.”10)>100B./(20)>1000

C./(10)<l000D./(20)<10000

3.(2024新高考II卷.8)设函数/(x)=3+a)m(x+6),若则一十从的最小值为()

A.-B.-C.~D.1

842

二、多选题

1.(2024新高考I卷40)设函数/(X)=(X-1)2(X-4),则()

A.x=3是/(幻的极小值点B.当0<x<l时，/(外〈/任)

C.当1cx<2时，-4</(2x-l)<0D.当一1<X<0时，/(2-x)>/(x)

2.(2024新高考II卷)设函教/(幻=2/一3。/+1,则()

A.当时，/*)有三个零点

B.当。<0时，4=0是〃幻的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在小使得点(I"⑴)为曲线产/⑴的对称中心

高考真题练

一、单选题

1.(2023新高考I卷-4)设函数/(同=2«-“)在区间(0,1)上单调递减，则〃的取值范围是()

A.(f-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

2.(2022新高考11卷-8)己知函数依)的定义域为1<,且/。+)，)+/。一)，)=/*)/()，),/(1)=1,则£/(6=

*=!

()

A.-3B.-2C.0D.1

2T-1

3.(2023新高考II卷4)若〃*=(x+4)ln点1为偶函数，则。=().

A.-1B.0C.；D.1

二、多选题

1.(2022新高考I卷・12)已知函数"V)及其导函数/'(.I)的定义域均为R,记g")=/'(x),若

g(2+x)均为偶函数，则()

B.《一升。

A./(0)=0C./(-1)=/(4)D.―⑵

2.(2023新高考I卷-10)噪声污染问题越来越受到重视.川声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20xlg3,其中常数为(/%＞())是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压级：

与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车60-90

混合动力汽车5060

电动汽车

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为月,小，则().

A.A*?B./A>10/73

C.〃3=100%D.P|W100〃2

3.(2023新高考I卷已知函数/断)的定义域为R,/3)=y2〃x)+x2/(y),则().

A./(O)=OB./(1)=0

C./(%)是偶函数D.1=0为/(x)的极小值点

知识点总结

一、函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

(D分式的分母不为零：

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：

(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

(4)零次辕或负指数次'幕的底数不为零；

(5)三角函数中的正切y=lanx的定义域是｛乂xeR,且+»；

(6)已知/("的定义域求解/［g(x)］的定义域，或已知/［式切的定义域求/(1)的定义域，遵循两

点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则『3括号内式子的范围相同；

(7)而于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制：从而得到实际问题函数的定义域.

二、基本初等函数的值域

(I)y=Ax+b(AW0)的值域是R.

(2)户/+/+c("O)的值域是：当。＞0时,值域为｛)，|”处金);当。＜0时,值域为｛也整色二三｝.

（3）y=—（k^O）的值域是｛y\yH（）｝•

X

（4）（a>0且a/1）的值域是（0,+co）.

（5）y=log“x（a>0且aW1）的值域是R.

三、函数的单调性

（I）单调函数的定义

一般地，设函数/（x）的定义域为A,区间£>q人：

如果对于。内的任意两个自变最的值多，.当与时，都有/（内）〈/（王），那么就说f（X）在区间。上是

增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值多，七，当王<吃时，都有/（须）</（七），那么就说人幻在区间。上

是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量多，x?且用<芍；

③都有/（X,）<f｛x2）或/（X,）>/（x2）;

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

（2）复合函数的单调性

复:合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）

函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

四、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（-X）=/（%）,那

偶函数关于y轴对称

么函数/*）就叫做偶函数

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（-x）=-f（x）,

奇函数关于原点对称

那么函数/（幻就叫做奇函数

判断了（-的与的关系时，也可以使用如下结论：如果/（-x）—/（x）=0或上*=1（/*）/0），则函数/⑴

f（x）

为偶函数;如果/（一八-）+/（幻=。或"：2=一1（/。）=0），则函数f（x）为奇函数.

/（A）

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个--“也

在定义域内（即定义域关于原点对祢）.

五、函数的对称性

（1）若函数y-/（"+幻为偶函数，则函数,，=/⑺关于..“对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=，(x)关于点(a,0)对称.

⑶若/(x)=/(2a—x),则函数/(*)关于x=〃对称.

(4)若/(X)+/(2〃7)=2/7,则函数/(x)关于点(a,b)对称.

六、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数兀使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+T)=/a),那

么就称函数)•=/")为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的最小正周期.

七、常见的幕函数图像及性质

1_

y=x

函数y=x2

*水丰6

图象

定义域RRR{x|x>0}{x|xwO}

值域R3”。}R{y\y>0]3k0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(-(33,0)上单调递在(TO,0)和

在R上单在R上单调递在［0,+8)上单调

单调性减,在(0,y)上单(0,+oo)上单调递

调递增增递增

调递增减

公共点（1，1）

八、指数及指数运算

1、指数

(1)根式的定义：

一般地，如果x"=a，那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,“eV),记为。，〃称为根指数，"称为

根底数.

(2)根式的性质:

当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

(3)由数的概念：指数是暴运算中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数论右上角，¥

运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幕的分类

〃个

①正整数指数累,=.“。=二〃（心*）：②零指数幕。°=1伍工0）；

③负整数指数累优"〃eN*）；④0的正分数指数累等于0,0的负分数指数哥没有意义.

⑸有理数指数幕的性质

①〃“m,neQ).②=""〃(〃>0,加，

@(ab),n=ambm(a>0,〃>0,〃，eQ)；④叱=/(0>()，加，〃©Q).

2、指数函数

)，=4r

0<6/<1a>\

图

♦

象1")

半

17

性①定义域R,值域（0,+00）

质②〃。=1,即时x=0,y=l,图象都经过（0，1）点

③优二=〃，即工=1时，丁等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤、V0时.ax>]：X>0时，0</<1XV0时，0(a，V1：X>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

九、对数及对数运算

1、对数式的运算

⑴对数的定义：一般地，如果a'=Ma>0且〃01）,那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,读

作以。为底N的对数，其中“叫做对数的底数，N叫做真数.

⑵常见对数：

①一般对数：以〃（〃>。且〃工1）为底，记为log：,读作以。为底N的对数；

②常用对数：以10为底，记为IgN；

③自然对数：以e为底，记为加内；

（3）对数的性质和运算法则：

①log：=0；log：=1：其中〃>0且aol：

②/陵=N（其中〃>0且。工1，N>0）；

③对数换底公式：1。8“。=粤2；

log,。

④bg“(MN)=log4M+logrtN；

M

⑤l°g〃77=l°g“"T°g”N;

N

⑥logbn=—logb(m,neR)；

ni(,

⑦，0s用Ilog,"=。；

⑧bg)=J—;

log/

2、对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数1y=1。孔工(。＞0月.a")叫做对数函数.

对数函数的图象

a>\0<«<1

1T1

图象1y（KQ）

定义域：(()，+8)

值域：R

性质过定点(1，。)，即x=i时，y=。

在(。，+8)上增函数在(0,+8)上是减函数

当0<xvl时，)Y0,当XN1时，yNO当0vx<l时，>->0,当X21时，y<0

十、函数与方程

1、函数的零点

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

2、方程的根与函数零点的关系

方程f(x)=0有实数根o函数)，=f(x)的图像与工轴有公共点。函数)=/(A)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数)，=〃x)在区间［。肉上的图像是连续不断的一条曲线，并且有那么函数)，=/("

在区间(&/7)内有零点，即存在。«〃力)，使得/(c、)=0,c也就是方程/(x)=0的根.

4、二分法

对于区间肉上连续不断且/(。>/(〃)<0的函数/(x),通过不断地把函数/(力的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

"》)=0的近似解就是求函数/")零点的近似值.

5、用二分法求函数/(X)零点近似值的步骤

(1)确定区间回，验证/(〃)•/(〃)<0,给定精度£.

(2)求区间(。力)的中点看.

⑶计算/(N).若/(5)=。.则X就是函数/(x)的零点；若/⑷则令人=内(此时零点

/£(a,xj).若/他)•/0)<0,则令(此时零点及e(x"))

(4)判断是否达到精确度£,即若|a-，则函数零点的近似值为。(或〃)；否则重复第(2)—(4)

步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【函数性质常用结论】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设多，X?是/*)定义域内一个区间上的任意两个量，且

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若是增函数，则-/(x)为减函数；若/(x)是减函数，则-f(x)为增函数;

②若/(x)和g(.r)均为增(或减)函数，则在/(x)和以工)的公共定义域上/Q)+ga)为增(或减)函数；

③若〃x)>0且A刈为增函数，则函数再为增函数，为减函数；

fM

④若〃x)>0且“刈为减函数，则函数/而为减函数，上为增函数.

fM

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

⑵奇偶函数的图象特征.

函数/(灯是偶函数o函数/(人)的图象关于y轴对称；

函数/(x)是奇函数o函数，(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数丁=/(工)在1=0处有意义，则有/(0)=0;

偶函数y=/(x)必满足/(A)=f(\x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个

区间上单调性相同.

(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

ga)=，.f(X)+/(T)］，6(X)=；［/*)-/(-刈，则f(x)=g(x)+〃(x)-

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，

如f(X)+g(x)J(x)-g(x),f(x)xg㈤J(x)+g@).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶土偶=偶；奇士偶二非奇非偶；

奇w・)奇=偶;奇x(+)偶=奇；偶"+)偶二偶.

(7)复合函数)，=月月(“)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数小)=皿1)6h0)或函数ru)=^(—).

a-\'a+1

②函数/(x)=±(a'-«-').

③函数/(x)=loga"=log“(1+卫-)或函数/(x)=log“'二％=log”(1--—)

x-mx-mx+mx+m

④函数/'(©=logj7x2+l+x)或函数f(x)=④“(&+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数“用二加+3-仄^^^或函数,㈤二加一横上⑺好我).

a-\"a+1

偶函数：①函数/(x)=±S+「).

②函数/(的=1呜(六+1)-肾.

③函数/(|x|)类型的•切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系CxeR)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

2T

/3)/(A)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)47

f(a+x)=f(a-x)

2(Z?-a)

f(bIx)=f(bx)

f(a+x)=f(a-x)

2a

/3)为偶函数

f(a+x)=-f(a-x)

V2(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

V2a

/(x)为奇函数

f(a+x)=f(a-x)

4(》一a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=f(a-x)

4a

/3)为奇函数

1f(a+x)=-f(a-x)

4a

/(%)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴X=“，x=H"＜A),则函数/⑴是周期函数，且7=2S—a);

(2)若函数)，=/a)的图象有两个对称中心(a,c),S,c)(avb)，则函数y=，(x)是周期函数，且7=2(〃一々)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=〃和一个对称中心也0)3＜力)，则函数y=/(x)是周期函数，且

T=4(b-a).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=“对称，Mf{a+x)=f{a-x).

(2)若函数y=/(x)关于点(a,b)对称，则f(a+x)+f{a-x)=2b.

(3)函数y=f(a+x)^y=/(a-x)关于y轴对称，函数y=/(a+x)与)，=-/(a-x)关于原点对称.

名校模拟练

一、单选题

1.(2024.黑龙江齐齐哈尔•三模)若/(x)=上竺Isinx为偶函数，则。=()

1+e*

A.1B.0C.-ID.2

2.(2024・湖南邵阳•三模)是“函数=(。＞0且。工1)在R上单调递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024.湖南长沙.三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯・

里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为9-I乳，其中M表示某地地震的里氏震级，A

表示该地地震台测振仪记录的地宸波的最大振幅，4表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，

某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震

的里氏震级约为（）（参考数括：馆2ao.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

4.（2024.河北・二模）已知函数7=/（x—1）为奇函数，则函数y=〃x）+l的图象（）

A.关于点（U）对称B.关于点（1,-1）对称

C.关于点对称D.关于点对称

x2-2ax,x＞l

5.（2024.陕西渭南•二模）已知函数/0）=〃是R上的增函数，则实数。的取值范围是（）

—X—l,x＜1

12

44

A.（0,-）B.（0,-]C.（0,1）D.（0,1]

53

6.（2024.湖北.二模）已知函数〃刈=1限（/-2）在[1,位）上单调递增，则4的取值范围是（）

A.（k-Kc）B.[in2,+oo）C.（2,+8）D.[2,+oo）

X

7.（2024.宁夏银川.三模）己知函数/（力=/]2■，则下列说法不正确的是（）

A.函数〃"单调递增B.函数/（X）值域为（0,2）

C.函数“X）的图象关于（0,1）对称D.函数/（力的图象关于（□）对称

8.（2023•辽宁葫芦岛•二模）已知函数/（x）=F—x+1,则（）

A./（x）有一个极值点

B./（X）有两个零点

C.点（0,1）是曲线y=f（力的对称中心

D.直线），=2x是曲线y=/（万的切线

9.（2024•宁夏银川三模）已知函数/3=1-7公+141-”有3个零点为，x『王（'＜毛＜与），有以下

四种说法：

①为＞0

②刍＜4

③存在实数。，使得巧，*2，工3成等差数列

④存在实数。，使得与，勺，与成等比数列

则其中正确的说法有()种.

A.IB.2C.3D.4

(4-1了一%41

10.(2024.河北保定•三模)已知/*)=(,(。>1)的值域为。，Dc[-,+o>),则〃的取值范

X+—l,x>1

X

围是()

A.匕,2]B.彳,彳)C.匚⑵D.[-,2]

24324

11.(2024.河南•三模)设函数/㈤的定义域为R.y=/(x-l)+l为奇函数，)，=/(x-2)为偶函数，若

”2()24)=1,则/(—2)=()

A.1B.-1C.0D.-3

12.(2024・四川・三模)己知定义在R上的函数“X)在区间[T0]上单调递增，且满足/(4r)=/(x),

/(2-x)=-/W»则()

io(1\

A.2小)=°B./(0.9)+/(1.2)>0C./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</In-

hlI//

13.(2024.四川.三模)定义在R上的函数y=/(力与)，=廉司的图象关于直线x=l对称，且函数

y=g(2x-l)+l为奇函数，则函数y=/(x)图象的对称中心是()

A.1,—1)B.(—1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

二、多选题

14.(2024•全国•模拟预测)已知函数/*)=/+++加+。下列结论中正确的是()

A.若广伍)=0,则/是〃力的极值点

B.3X0GR,使得/(%)=0

C.若小是的极小值点，则/“)在区间(-8,小)上单调递减

D.函数y=/(x)的图象是中心对称图形

15.(2024・湖南长沙•模拟预测)尿，亦称超重氢，足氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子

组成，并带有放射性，会发生/衰变，其半衰期是12.43年.样本中瓶的质量N随时间，(单位:年)的衰变规律

满足N=N0-2-品，其中乂表示岚原有的质量，则()(参考数据:lg2Ho.301)

N

A.r=12.431og2—

B.经过24.86年后，样本中的瓶元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的施元素变为原来的!

D.若x年后，样本中瓶元素的含量为0.4N。，则x>16

16.(2024.福建厦门.模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,〃/力=要+型，且〃1)=1,则()

ee

A.*0)=0B./(-l)=e2

C.e'/a)为奇函数D.7(x)在(0,+8)上具有单调性

17.(2024♦江西南昌•三模