2026中考第一轮复习数学第17课时：图形的相似（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第17课时图形的相似一、核心知识一、核心知识（一）比例的基本性质若四条线段a、b、c、d满足ab=cd（b、d≠0），则称这四条线段基本性质：ab=cd​⇔合比性质ab=cd⇒等比性质：若ab=cd=…mn​（b+d+…+n≠0），则比例中项：若ab=bc（b、c≠0），则b2=ac，b叫做a、c的（二）平行线分线段成比例定理基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；若l1∥l2∥l3，截直线m于A、B、C，截直线n于D、E三角形推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例；逆定理：若一条直线截三角形的两边（或延长线）所得对应线段成比例，则这条直线平行于三角形第三边。（三）图形的相似与相似图形的性质相似图形：形状相同，大小不一定相同的图形称为相似图形，是相似多边形的基础；相似多边形定义：两个边数相同的多边形，若对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形为相似多边形，若四边形ABCD与四边形EFGH相似,记作四边形ABCD∽四边形EFGGH（对应顶点必须按顺序书写）；相似比：相似多边形对应边的比称为相似比，若相似比为k，则k>0，相似比为1时，两个多边形全等（全等是相似的特殊情况）相似图形的性质：对应角相等，对应边成比例；相似比：相似图形对应边的比，叫做相似比。线段性质：对应高、中线、角平分线的比等于相似比；周长性质：周长比等于相似比；面积性质：面积比等于相似比的平方（反向求解时，相似比为面积比的算术平方根）。（四）黄金分割（相似关联考点）定义：把线段AB分成AC、BC（AC>BC），使AC2=AB∙BC，则称点C为AB的黄金分割点，此分割方式为黄金分割；黄金比：ACAB=BCAC=5-12≈0.618二、核心能力黄金三角形：顶角36°、底角72°的等腰三角形（底与腰的比为黄金比），或顶角108°、底角36°的等腰三角形（腰与底的比为黄金比），可分割出相似的小黄金三角形。二、核心能力（一）比例性质的应用解题思路基本性质用于比例式与等积式互化；合比性质凑线段和/差；等比性质设“k”法求解多比例问题（切记检验分母和不为0）；4.比例中项直接套用b2=ac（线段长度为正）。（二）平行线分线段成比例解题思路找准截线（平行线）和被截线；按“上下对应、全段对应”找比例线段；3.结合比例性质变形求解，可利用逆定理证明线线平行。（三）黄金分割的计算解题思路牢记黄金比5-12直接套用AC=5-12AB若已知较短线段，设未知数结合AC2=AB∙BC列方程。真题典例（2023・四川达州中考）：乐器上的弦AB=80cm，支撑点C是靠近B的黄金分割点，D是靠近A的黄金分割点，求CD的长。解答：∵C、D为黄金分割点，∴AC=BD=80×25​−1​=40(5​−1)，∴CD=AC+BD−AB=80(5​−1)−80=805​−160（cm）。三、易错警示三、易错警示三、中考易错点警示（2023-2025真题高频丢分点）比例性质使用误区：错误:等比性质忽略分母和不为0的条件；合比性质变形时漏加/减分母。提醒:遇多比例问题，优先用“设k法”，避免直接用等比性质出错。平行线分线段找错对应边：错误:未按“上下对应、全段对应”找线段​。提醒:在图中标注已知线段，按“截线分被截线，分段对应成比例”梳理。相似多边形形对应边找错：错误:未按对应顶点书写顺序找对应边​。提醒:根据相等角的对边确定对应边，标注对应顶点符号。面积比与相似比混淆：错误:认为相似多边形的面积比等于相似比。提醒:牢记周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反向求解时面积比开方得相似比。黄金分割比例记混：错误:把黄金比记为5-提醒:黄金比是较长线段：整条线段，且一条线段有两个黄金分割点（线段两侧）。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·甘肃模拟）已知ab=23，则A.52 B.53 C.32 D.2【答案】B【解析】利用比例的性质即可得到答案．【解答】解：∵ab=23，

∴a+bb=ab2.（24-25·河南模拟）已知2ab+c=2ba+c=2cA.1 B.±1 C.1或-2【答案】C【解析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=-c，代入【解答】解：分两种情况：

①当a+b+c≠0时，得k=2a+2b+2cb+c+a+c+a+b=1；

②当a+b+c=0时，

则a+b=-c，k=2ca+b=-2；

综上所述，k的值为13.（23-24·四川模拟）已知abc=bac=cA.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据abc=bac=cab【解答】解：∵abc=bac=cab=2，

∴a=2bc,b=2ac,c=2ab，

∴a2=2abc,4.（24-25·上海模拟）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（

）

A.B.C.D.【答案】B【解析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可．

本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键．【解答】解：∵原始矩形的长与宽的比值为32，且四个角都是直角，

A中矩形的长与宽的比值为64=32，且四个角都是直角，与原始矩形相似，

此选项不符合题意；

B中矩形的长与宽的比值为43≠32，且四个角都是直角，与原始矩形不相似，

此选项符合题意；

C中矩形的长与宽的比值为32，且四个角都是直角，与原始矩形相似，

此选项不符合题意；

D中矩形的长与宽的比值为96=5.（23-24·湖南中考）生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（

）．

A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米【答案】D【解析】根据线段比例的定义列出a，b的比例关系，再代入b的值求a即可；【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，

∴ab≈0.618，

∵b为2米，

∴a≈2×0.618=1.2366.（24-25·全国模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小明的身高约为（

）

A.155cm B.165cm C.175cm D.185cm【答案】C【解析】本题考查了黄金分割比，解题的关键是掌握线段上一点将线段分为一长一短两条线段，当短∶长=长∶全=5-12，据此可得小明肚脐至足底的长度于身高比为【解答】解：设小明身高为x，

108x=5-12，

解得：x=545+1≈175，

∴小明的身高约为175cm7.（24-25·广东模拟）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，则下列结论中正确的是（

）

①AB2=AP2+BP2；②A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】此题考查了黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC=ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，

∴AP2=BP⋅BA，BPAP=APAB8.（24-25·福建模拟）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（

）

A.2cm B.6cm C.8cm D.10cm【答案】C【解析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为xcm，根据题意得出714=4【解答】设该化石的实际长度为xcm，依题意，

714=4x，

解得：x=8

故选：C．9.（24-25·北京模拟）如图，△ABC中，若DE // BC，EF // A.ADDB=DEBC B.BF【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵DE // BC，

∴DEBC=ADAB，BD≠BC，

∴ADBD≠DEBC，选项A不正确；

∵DE // BC，EF // AB，

∴BFBC=AEAC，EF=BD，EFAD=BDAD，

∵AEAC≠BDAD10.（24-25·河南模拟）如图，边长为10的正方形ABCD，E,F,G,H分别为各边中点，连接AG,BH,CE,DF，交点分别为M,N,P,Q，那么四边形MNPQ的周长为（

）

A.15 B.20 C.45 D.【答案】D【解析】先由正方形性质及中点定义，结合平行四边形的判定得到四边形BFDH是平行四边形；四边形AECG是平行四边形；再由平行四边形性质及判定得到四边形MNPQ是平行四边形；进而由两个三角形全等的判定与性质得到△BAH≅△ADG≅△DCF≅CBE，根据平行线分线段成比例得到AM=MQ=DQ=PQ=PC=PN=BN=MN【解答】解：在正方形ABCD中，E,F,G,H分别为各边中点，

∴DH=BF，DH∥BF；CG=AE，CG∥AE；

∴四边形BFDH是平行四边形；四边形AECG是平行四边形；

∴DF∥BH,AG∥EC，

∴四边形MNPQ是平行四边形；

∴MN=PQ,MQ=NP，

在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90∘，

∵E,F,G,H分别为各边中点，

∴CF=BE=AH=DG，

∴△BAH≅△ADG≅△DCF≅CBE，则BM=AQ=DP=CN，

∵AG∥EC，E是AB中点，

∴由平行线分线段成比例可得BNMN=BEAE=1，则MN=BN=12BM；

同理可得，PN=PC=12CN；PQ=DQ=12DP；MQ=GQ=12MG；

∴11.（24-25·广东模拟）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为2cm的正方形文创纪念徽章ABCD．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章AB'C'D'．若以顶点A为位似中心进行位似变换，对应边的比AB:AB'=3:5A.203cm2 B.89【答案】D【解析】本题考查了相似图形的性质，根据相似比得到面积之比是解题的关键．【解答】解：∵以顶点A为位似中心进行位似变换，

∴正方形ABCD与正方形AB'C'D'相似，

∵AB:AB'=3:5，

∴正方形ABCD与正方形AB'C'D'的面积比为9:25，12.（24-25·广东模拟）如图，老师利用复印机将一张长为20cm，宽为8cm的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为10cm，则缩小后的矩形面积为（

）

A.100cm2 B.80cm2【答案】D【解析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解．【解答】解：设缩小后的宽是xcm，

∵缩小前后的两个矩形相似，

∴20:10=8:x，

∴x=4，

∴放大后的宽是4cm，

放大后的矩形的面积=10×4=40cm2．

故选：D13.（24-25·河北模拟）如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有RyR1=R2Rx，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1=2Ω，A.增大12Ω B.增大8Ω C.减小3Ω【答案】A【解析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据RyR1=R2Rx，R1=2Ω，R2=8Ω，Rx【解答】解：∵RyR1=R2Rx，R1=2Ω，R2=8Ω，Rx=4Ω，

∴Ry2Ω=8Ω4Ω，

∴Ry=4Ω，

∵将Ry减小3Ω，

∴调整后的Ry=1Ω，

∵

14.（24-25·河南模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OB的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．若AB=2，则CF的长度为（

）

A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，理解平行线分线段成比例是解答关键．

根据平行四边形的性质得到AB // CD，OB=OD，AB=CD=2，利用中点的性质易得【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2

∴AB // CD，OB=OD，AB=CD=2．

∵E为OB的中点，

∴BE=OE，

∴BE=12BO，

∴BE=13DE．

∵AB // CD，

∴BEED=ABDF，15.（24-25·安徽中考）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点A作AF⊥AC，交CE的延长线于点F，在AO上截取AG=AF，连接DG并延长，分别交CE，AB于点M，N．下列结论：①AG=DP；②CE⊥DN；③DG=2EF；④S△ADG=3A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④【答案】C【解析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，利用正方形的性质证明△AEF≅△DEPASA，推出AF=DP，结合AF=AG，即可判断①正确；再证明△AGD≅△DPCSAS，推出∠ADG=∠DCP，进而求出∠DME=90∘，即可得到CE⊥【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴BD⊥AC，

∵AF⊥AC，

∴AF // BD，

∴∠FAE=∠PDE．

又∵E是边AD的中点，即AE=DE，∠FEA=∠PED，

∴△AEF≅△DEPASA，

∴AF=DP，

∵AF=AG，

∴AG=DP，①正确；

∵∠DAG=∠BDC=45∘，AG=DP，AD=CD，

∴△AGD≅△DPCSAS，

∴∠ADG=∠DCP，

又∵∠DCE+∠DEC=90∘，

∴∠ADG+∠DEC=90∘，

∴∠DME=（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·四川中考）若ab=3，则a+bb的值为_______【答案】4【解析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可．【解答】解：∵ab=3，

∴a+b

17.（24-25·全国模拟）已知a3=b2≠0，且a+3b=5，则a【答案】53【解析】本题考查比例的性质，设a3=b2=m，则a=3m，b=2m【解答】解：∵a3=b2≠0，

设a3=b2=m，则a=3m，b=2m，

∵a+3b=5，

∴3m+318.（25-26·云南模拟）在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面360∘分成1:0.618的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是_______137.5∘__________．（结果保留一位小数）

【答案】137.5∘【解析】本题考查了比例的性质．根据邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面360∘分成1:0.618【解答】解：根据题意，相邻两片叶子之间的夹角是：360∘×0.6181+0.618≈137.519.（24-25·全国模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，AD:DF=3:4，BE=28，那么CE的长为___16_________．【答案】16【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系即可求得答案．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴AD:DF=BC:CE=3:4，

又∵BE=8，BC=BE-CE，

∴20.（24-25·甘肃中考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3:1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为______195________cm．

【答案】195【解析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为3:1，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3:1，

∴大风筝和小风筝相似，相似比为3:1，

∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长=3:1，

∴大风筝两条对角线的长分别为30cm×3=90cm和35cm×3=105cm，

∴大风筝两条对角线长的和为195cm，

21.（23-24·江苏模拟）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为(805-160)

cm．（结果保留根号）

【答案】(805【解析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB=80cm，

∴AC=5-12AB=5-12×80=(405-40)cm，

∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB=80cm，

∴DB=5-122.（23-24·上海模拟）《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧．如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的25倍，设AB→=a→，AD→=b→，那么AF→=______2【答案】25【解析】连接BD，AF，根据题意DB→=AB→-AD→【解答】解：如图，连接BD，AF，

依题意，小正方形的对角线FH与BD重合，

∵AB→=a→，AD→=b→，

∴DB→=AB→-AD→=a→-b→

∵23.（24-25·四川模拟）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为5-12）．如图，点E、F、G、H为矩形ABCD取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形ABCD取景框的画面约为120cm2，则矩形EFGH的面积为______6.69或1080-480【答案】6.69或1080-【解析】本题主要考查了黄金分割点，矩形的性质等知识，设AB=a，AD=b，则S矩形ABCD=ab，，由题意可知ab=120cm2，根据黄金分割点的定义可得出EM=FN=【解答】解：设AB=a，AD=b，

则S矩形ABCD=ab，

∵S矩形ABCD=120cm2，

∴ab=120cm2，如图，

由题意可知，四边形ABMN和四边形APQD都是矩形，

∴MN=AB=a，PQ=AD=b，

∵点E、点F都是MN的黄金分割点，

∴EM=FN=5-12MN=5-12a，24.（25-25·成都模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=1，CB=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2相似于矩形【答案】2×【解析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得AC，再利用相似多边形的性质可发现规律Sn=2【解答】∵四边形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∴AC=AB2+CB2=12+22=5，

∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，

∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为5:2，

∴矩形A25.（24-25·湖南模拟）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；

②∠ACD=∠BAE；

③AF:BE=2:3；

④S四边形AFOE:S△COD【答案】①②④．【解析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可.【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB // CD，AB=CD，

∵EC垂直平分AB，

∴OA=OB=12AB=12DC，CD⊥CE，

∵OA // DC，

∴EAED=EOEC=OACD=12，

∴AE=AD，OE=OC，

∵OA=OB，OE=OC，

∴四边形ACBE是平行四边形，

∵AB⊥EC，

∴四边形ACBE是菱形，故①正确，

∵∠DCE=90∘，DA=AE，

∴AC=AD=AE，

∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，

∵OA 解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·安徽模拟）已知线段a、b、c满足a3=b2=c6，且a+2b+c=26【答案】a=6，b=4，c=12【解析】本题考查了比例的性质，设a3=b2=c6=k(k≠0)，则【解答】解：设a3=b2=c6=k(k≠0)，则a=3k，b=2k，c=6k．

∵a+2b+c=26，

∴3k+2×2k+6k=2627.（24-25·浙江模拟）已知线段a,b满足ba=14（1）求线段a,b的长．（2）若线段c是线段a,b的比例中项，求线段c的长．【答案】线段a的长为12，线段b的长为3线段c的长为6【解析】（1）设a=4k，b=k，代入a-2b=6计算可得（2）根据比例中项可得c2【解答】（1）解：∵ba=14，

∴设a=4k，b=k，

∵a-2b=6，

∴4k-2k=6，

∴k=3，

∴（2）解：∵线段c是线段a、b的比例中项，a=12，b=3，

∴c2=ab=36，

∵由题意知，c>0，

∴c=6，

∴线段c28.（24-25·吉林模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，AB=AC，DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF为⊙O（2）若CF=2AF，AE=2，求⊙O【答案】见解答3【解析】（1）由AB=AC，可得∠B=∠C，由OB=OD，可得∠ODB=∠B，则（2）由OD∥AC，可得BDCD=BOAO=1，如图，连接BE，由AB为直径，可得∠AEB=90∘，即BE⊥AC，则DF∥BE，CFEF=CDBD=1，即CF=EF【解答】（1）解：证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，（2）解：∵OD∥AC，

∴BDCD=BOAO=1，

如图，连接BE，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90∘，即BE⊥AC，

∴DF∥BE，

∴CFEF=CDBD=1，即CF=EF，

设AF=a，则CF=2a，AB=AC=3a29.（24-25·河北中考）如图，在Rt△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB上，将△BDE沿DE翻折至△FDE，使点F落在AC上，延长EF与BC的延长线交于点G（1）求证：DE//AC；（2）若BC=10，EFFG=5【答案】见解答513【解析】（1）利用翻折的性质，等边对等角以及三角形外角的性质可得出∠EDF=（2）利用平行线分线段成比例可求出CG，利用勾股定理可求出FG，利用正切的定义可求出BE，利用平行线分线段成比例可求出AB，最后利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵△BDE沿DE翻折至△FDE，点D是BC的中点，∴∠BDE=∠EDF，BD=DF=DC，

∴∠DFC=∠DCF，

又（2）解：∵DE//AC，∴EFFG=DCCG=58，

∵BC=10，

∴BD=DF=DC=5，CG=8，

∵∠DFG=∠DFE=∠B=90∘，

∴FG=132-52=12，

∴BE=BG30.（24-25·达州模拟）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，以AB为直径的⊙O交于AC点D，过圆心O作AC的平行经OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点（1）求证：DF是⊙O（2）若BF=4,DF=6，求DE．【答案】见详解．53【解析】（1）连接OD,BD，利用平行线分线段成比例定理得到BE=CE，进而证明∠ODE=（2）连接OD,BD，利用平行线分线段成比例定理得到BE=CE，从而得DE=BE=CE，设DE=BE=CE=x，利用勾股定理进行求解即可得．【解答】（1）解：证明：连接OD,BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠BDC=90∘，

∵OE // AC，OA=OB，

∴BECE=OBOA=1，

∴BE=CE，

∴DE=BE=CE，

∴∠DBE=∠BDE（2）连接OD,BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠BDC=90∘，

∵OE // AC，OA=OB，

∴BECE=OBOA=1，

∴BE=CE，

∴DE=BE=CE，

设DE=BE=CE=x，则EF=DF-ED=6-x31.（24-25·河北模拟）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是5-12，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点（1）若k=3，OB=m+2，AB=m，试求m的值；（2）在(1)的条件下，在x轴上取一点P，使ABOP的值为“黄金比”，求点P【答案】m=1-5+1【解析】（1）根据题意可得A(m+2,m)，再把A(m+2,m)代入反比例函数解析式中计算求解即可；（2）由(1)可得AB=1，根据题意可得ABOP=5【解答】（1）解：∵AB⊥x轴，OB=m+2，AB=m，

∴A(m+2,m)，

∵k=3，

∴反比例函数解析式为y=3x，

∵A(m+2,m)在反比例函数y=3（2）解：由(1)可得AB=1，

∵ABOP的值为“黄金比”，

∴ABOP=5-12，

∴OP=2AB532.（24-25·山东模拟）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．

如图①，点C把线段AB分成两部分，如果CBAC=5-12≈0.618，那么称点（1）特例感知：在图①中，若AB=100，求AC的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：

①作两条相互垂直的直径MN、AI；

②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；

③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，连接AE；

则五边形ABCDE为正五边形．

在该正五边形作法中，点Q是否为线段（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．

延长题(2)中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72【答案】61.8是，理由见解析5-【解析】（1）根据黄金分割的定义求解即可；（2）设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，继而求出OQ，MQ（3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA=∠PAE=180∘-108【解答】（1）∵CBAC=5-12≈0.618，

∴（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：

设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，

∴OP=12ON=12a，

∴PA=OP2+OA2=（3）正五边形的每个内角为：(5-2)×180∘5=108∘，

∴∠PEA=∠PAE=180∘-108∘=72∘，

∴cos72∘33.（24-25·全国模拟）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．（1）如图，点P是线段MN的中外比点，MP>PN，MN=2，求PN的长．

（2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）

（3）如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，【答案】PN=3-见解答当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB【解析】（1）设PN=x，根据题意MNMP=MP（2）①作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D；②过点B作BF⊥AB，且BF=BD；③连接AF；④以点F为圆心，BF为半径，画弧，交AF于点G；⑤以点A为圆心，AG为半径，画弧，交AB于点C，点C即为线段AB的中外比点．

设BD=x，根据勾股定理求得AF=x5，继而求得AG=AC=5-1x，BC=3-（3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，分三种情况讨论：①当△OED=90∘时，证得△COE≅△BED，设点E(m,n)，则D(m+n,n-m)，根据点D、E在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，可构建方程n2-mn-m2=0，解得n=1+52m，分别求得BE、CE、BC、BD、AD、AB的值，即可求证．设直线OB的函数解析式为y=ax(a≠0)，利用待定系数法求得直线OB的函数解析式为y=5-【解答】（1）解：设PN=x，则MP=MN-PN=2-x，

根据题意，得：MNMP=MPPN，即22-x=2-xx，

整理，得：x2-6x+4=0，解得：（2）解：如图所示，点C为所求．

设BD=x，

∴根据题意，得：AD=BD=BF=FG=x，AB=2x，

∴AF=AB2+BF2=(2x)2+x2=x5，

∴AG=AC=x5-x=5-1x，（3）解：当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下：

第一种情况：当△OED=90∘，则OE=ED，

∴∠OEC+∠DEB=90∘，

∵四边形OABC是矩形，

∴∠OCE=∠EBD=90∘，

∴∠COE+∠OEC=90∘，

∴∠COE=∠DEB，

∴△COE≅△BEDAAS，

设点E(m,n)，

∴OC=EB=n，CE=BD=m，则D(m+n,n-m)，

∵点D、E在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，

∴得：km=n①km+n=n-m② ，

由①得：k=mn，将其代入②，得：mnm+n=n-m，

整理，得：n2-mn-m2=0，

解得：n=m±(-m)2-4×1×-m22=m±m52，

∴n1=1+52m，n2=1-52m（舍去），

∴Em,1+52m，D3+52m,5-12m，B3+52m,1+52m，

∴BE=1+52m，CE=m，BC=3+52m，

BD=m，AD=5-12m，AB=1+52m，

∵BE2=1+52m2=3+52m2，BC⋅CE=3+52m⋅m=3+52m2，

BD2=m2，AB⋅AD=1+52m⋅5-12m=m2，

∴BCBE=BECE，ABBD=BDAD，

∴点E、D为BC、AB的中外比点．

∵点E在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，Em,1+52m，

∴k=mn=1+52m2，

∴反比例函数为y=1+52m2x，

∵B3+52m,1+52m，

设直线OB的函数解析式为y=ax(a≠0)，

将点B3+52m,1+52m，O(0,0)代入，得：a=5-12，

∴直线OB的函数解析式为y=5-12x，

联立方程组y=5-12xy=1+52m2x 

34.（24-25·甘肃中考）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上．

（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在(2)的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．【答案】BF=DG，理由见解答AE=DG，理由见解答BF=5【解析】（1）根据正方形的性质，证明△ADG（2）根据正方形的性质，证明△PAE（3）作FH⊥AB，得到AE∥FH，平行线分线段成比例得到AP=AH，进而得到AE为△PHF的中位线，得到FH=2AE，根据