2026中考第一轮复习数学第13课时：二次函数及应用（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第13课时二次函数及应用一、核心知识一、核心知识（一）二次函数的定义与表达式定义：形如______y=ax²+bx+c______（a、b、c为常数，且______a≠0______）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。三种表达式形式：一般式：y=ax²+bx+c（a≠0），适用于已知任意三点坐标；顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点坐标，适用于已知顶点和另一点；交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中x₁、x₂是抛物线与______x轴______交点的横坐标，适用于已知与x轴的两个交点和另一点。（二）二次函数的图象与性质图象形状：二次函数的图象是一条______抛物线______，对称轴为直线x=-b/(2a)（一般式）或x=h（顶点式）。核心性质（由a决定）：开口方向：a>0时，抛物线开口______向上______；a<0时，开口______向下______；开口大小：|a|越大，抛物线开口越______小______；|a|越小，开口越______大______；最值：a>0时，抛物线有最低点（顶点），y有最______小______值，y最小值为4ac-b24a；a<0时，有最高点，y有最大值，y最大值为增减性（以对称轴x=h为例）：当a>0时，x<h，y随x的增大而______减小______；x>h，y随x的增大而增大；当a<0时，x<h，y随x的增大而______增大______；x>h，y随x的增大而减小。抛物线与坐标轴的交点：与y轴交点：令x=0，得y=c，交点坐标为(0,c)；与x轴交点：令y=0，解ax²+bx+c=0，交点个数由判别式Δ=______b²-4ac______决定：Δ>0：有______两个______不重合的交点；Δ=0：有______一个______交点（顶点在x轴上）；Δ<0：______无______交点。（三）二次函数的平移规律（针对顶点式y=a(x-h)²+k）平移原则：“上加下减常数项，左加右减自变量”，平移后a的大小和符号______不变______（即开口方向和大小不变）。具体平移：向上平移m个单位：y=a(x-h)²+(k+m)；向下平移m个单位：y=a(x-h)²+(k-m)；向左平移m个单位：y=a(x-h+m)²+k；向右平移m个单位：y=a(x-h-m)²+k。（四）二次函数的应用核心关联：与一元二次方程：抛物线与x轴的交点横坐标是方程ax²+bx+c=0的解；与一元二次不等式：ax²+bx+c>0（或<0）的解集是抛物线在x轴上方（或下方）对应的x的取值范围。常见应用场景：利润最值问题：总利润=（售价-成本）×销量，设涨价/降价x元，列二次函数求最值；几何面积最值问题：根据图形边长关系列二次函数，结合边长为正数确定自变量范围，求面积最值；增长率问题：连续两次增长（或降低），可通过二次函数表达最终量与增长率的关系；抛体运动问题：竖直上抛物体的高度h与时间t满足二次函数关系（忽略空气阻力）。二、核心能力二、核心能力（一）二次函数解析式求解题型1：已知三点求解析式（一般式）解题思路将三点坐标代入y=ax²+bx+c，列三元一次方程组，求解a、b、c的值。题型2：已知顶点和一点求解析式（顶点式）解题思路设顶点式y=a(x-h)²+k，代入顶点（h,k）和另一点坐标，求解a的值。题型3：已知与x轴交点和一点求解析式（交点式）解题思路设交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，代入两个交点横坐标和另一点坐标，求解a的值。（二）二次函数图象与性质分析题型1：由a、b、c判断抛物线特征（开口、对称轴、交点）解题思路a决定开口方向，对称轴x=-b/(2a)判断左右位置，c判断与y轴交点，Δ判断与x轴交点个数。题型2：由抛物线图象求a、b、c的符号或取值范围解题思路根据开口方向定a，根据对称轴位置定b（“左同右异”：对称轴在y轴左侧，a、b同号；右侧异号），根据与y轴交点定c，根据与x轴交点个数定Δ。（三）二次函数最值与增减性题型1：无范围限制的最值（顶点最值）解题思路直接利用顶点坐标求最值，a>0取最小值，a<0取最大值。题型2：有范围限制的最值（区间最值）解题思路先判断对称轴是否在自变量取值范围内，若在则顶点为最值点；若不在则取区间端点对应的函数值为最值。（四）二次函数实际应用题型1：利润最值问题解题思路设自变量（涨价/降价金额、销量），根据利润公式列二次函数，结合自变量取值范围（如售价≥成本）求最值。题型2：几何面积最值问题解题思路根据图形边长关系（如矩形长和宽的约束）列二次函数，注意自变量需满足边长为正数，再求最值。题型3：综合应用（结合一次函数、不等式）解题思路先列二次函数表达式，再根据题意列不等式确定自变量范围，最后在范围内求最值或筛选符合条件的解。三、易错警示三、易错警示表达式转化错误错误：将一般式y=ax²+bx+c化为顶点式时，配方出错；提醒：配方时需先将二次项系数化为1，再配方，确保等式平衡。平移规律应用错误错误：将y=x²向右平移2个单位化为y=x²-2（正确为y=(x-2)²）；提醒：平移仅针对“自变量x”或“常数项k”，一般式需先化为顶点式再平移，避免直接对一般式变形。忽略自变量取值范围错误：利润问题中解得涨价x=10元，但未考虑售价不能超过定价上限，导致最值无效；提醒：实际应用中自变量需满足实际意义（如销量≥0、边长>0、售价≤上限），需在范围内求最值。混淆“顶点横坐标”与“对称轴”错误：认为顶点式y=a(x+3)²+2的对称轴是x=3（正确为x=-3）；提醒：顶点式中对称轴为x=h，括号内是“x-h”，若为“x+m”则h=-m。误判Δ与最值的关系：错误：认为Δ>0时二次函数有最值（实际最值与Δ无关，仅与a有关）；提醒：Δ仅决定与x轴的交点个数，最值由a和顶点坐标决定。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（25-26·全国模拟）下列函数是二次函数的是（

）A.y=1x2 B.y=x2-(x【答案】D【解析】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)【解答】解：A．y=1x2不是二次函数，故该选项不符合题意；

B．y=x2-(x-2)2=4x-4，不是二次函数，故该选项不符合题意；

C．y=2x+3是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；

D2.（25-26·全国模拟）如图是抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数且a>0)的图象，则双曲线y=a-b+cx和直线y=(bA. B.

C. D.

【答案】A【解析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知-b2a>-1【解答】解：根据抛物线图象可得，当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故双曲线y=a-b+cx分别位于第二、四象限；

由抛物线图象可知-b2a>-1，a>0，则b-2a<0，

∵抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，

3.（24-25·山东中考）已知点-2,y1,3,y2,A.y1>y2>y3

【答案】C【解析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．【解答】解：∵二次函数解析式为y=-(x-2)2+c，

∴二次函数y=-(x-2)2+c的图象开口向下，对称轴为x=2，

∴离对称轴越近，函数值越大，

点-2,y1的横坐标-2与2的距离为|-2-2|=4；点3,y2的横坐标3与24.（25-26·安徽模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则（

）A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0【答案】C【解析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与y轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中a（开口方向）、b（对称轴与a共同决定）、c（与y轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象中，开口向上，

∴a>0．

对称轴x=-b2a>0，又a>0，

∴-b>0，即b<0．

抛物线与y轴交点在负半轴，

∴c<0．

选项A:a>0，b<0，c<0，

∵两负一正相乘得正，

∴abc>0，该选项错误．

选项B：对称轴x=-b2a，由图象知对称轴x<1，即-b2a<1，

又a>0，两边乘2a得-b<2a，∴2a+b>0，该选项错误．

选项C：当x=-1时，y=a-b+c>0，即4a-4b+4c>0；当x=2时，y=4a+2b+c=0，

∴(4a+2b+c)5.（24-25·福建模拟）若二次函数y=x2+23x+2m-A.m>12 B.m<2C.m<-2【答案】D【解析】根据二次函数的图象只经过第一、二、三象限，得到当x=0时，y≥0，顶点的纵坐标小于0，列出不等式组进行求解即可．【解答】解：∵y=x2+23x+2m-1对称轴为：x=-232=-3<0，在y轴的左侧，又二次函数y=x2+236.（25-26·全国模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是（x…-0123…y…30m3…A.当x<2时，y随x增大而增大B.抛物线y=axC.m=2D.当y<0时，x的取值范围是0<x<2【答案】D【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据x=-1和x=3对应的函数值相等，可得对称轴对直线x=1；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得x=0和x=2对应的函数值相等，进而可得m的值；根据抛物线与x轴的交点情况及开口方向，可得y<0时，x的取值范围．【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线x=-1+32=1，

∴x=0和x=2对应的函数值相等，

∴m=0，故选项C错误，不符合题意；

∵x<1时，y随x的增大而减小，

∴抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，故选项B错误，不符合题意；

∵对称轴为直线x=1，开口向上，

∴x>1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意；

当y<0时，x的取值范围是0<x<2，故选项D7.（25-26·全国模拟）在平面直角坐标系xOy中，Px1,y1,Qx2,y2是拋物线A.-1<t<0 B.-1≤t≤0 C.t<【答案】D【解析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得抛物线与x轴的交点的横坐标分别为-a,a+2，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点Px1,y1关于对称轴的对称点为【解答】解：∵y=(x+a)(x-a-2)，

∴抛物线与x轴的交点的横坐标分别为-a,a+2，

∴抛物线的对称轴为直线为x=-a+a+22=1，

∵对于t<x1<t+1,t+2<x2<t+3，都有y1≠y2，

∴点Px1,y1关于对称轴的对称点为2-x1,y1与点8.（24-25·江苏模拟）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a-b)，例如4⊗3=(4+2A.-21 B.-9 C.-【答案】B【解析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．【解答】解：由题意得，y=(x+1)⊗2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)(x-1)，

即y=x2+4x-5=(x+2)2-9，

∴9.（24-25·四川模拟）如图，抛物线y=-12x2+x+4与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为-43，C为抛物线对称轴上一动点，连接AC，PC，当PC+AC取得最小值时，A.13 B.33 C.1【答案】A【解析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得P-43,169，A(-2,0),B(4,0)，连接PB，BC，当P、B、C三点共线时，【解答】解：当x=-43时，则有y=-12×-432-43+4=169，

∴P-43,169，

由y=-12x2+x+4可知：对称轴为直线x=1，当y=0时，则有-12x2+x+4=0，

解得：x1=-2,x2=4，

∴A(-2,0),B(4,0)，

连接PB，BC，如图所示：

由轴对称可知：AC=BC，所以PC+AC=PC+BC≥PB，

∴当P、B、C三点共线时，PC+AC取得最小值，

10.（24-25·甘肃中考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+74(x>0)A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m【答案】B【解析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．【解答】解：y=-x2+2x+74=-(x-1)2+1+74=-(x-1)2+114，11.（24-25·天津模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论：

①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出(300+20x)件；

②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元；

③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大．

其中，正确结论的个数是（

）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键．

根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断①；根据总利润=单件利润×销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③．【解答】解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出(300+20x)件；故①正确；

②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润(61-40)×(300-10)=6090元；故②正确；

③设每件降价m元，每星期售出商品的利润为w，

则w=(60-40-m)(300+20m)=-20m2+100m+6000．

∵-20<0，

∴m=-b2a=2.5时，售价为57.5元时利润最大，最大利润6125元，

设每件涨价n元，涨价后的利润为y元．

y=(60-40+n)(300-10n)=-12.（25-26·全国模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在AC上，CD=2，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3t1<t2<t3对应的正方形DPEFA.1个B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，S=DP2=6，由此求出BC=2，当t=1时，点P的运动路程为1，即此时点P在BC上，求出CP=1，再利用勾股定理求出DP=3，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在AB上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2)，可设S关于t的函数解析式为S=a(t-4)2+2，利用待定系数法求出S=t2-8t+18，据此可判断②；求出当S=t2-8t+18=18时，t的值，可得AB的长，再利用勾股定理求出AC的长，据此可判断③；可求出P在BC上时，S=DP2=t2+2；函数S=(t【解答】解：由图2可知当点P运动到B点时，S=DP2=6，

在Rt△PCD中，由勾股定理得DP2=DC2+BC2，

∴BC2+22=6，

∴BC=2或BC=-2（舍去）；

∵动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，

∴当t=1时，点P的运动路程为1，即此时点P在BC上，

∴此时CP=1，

在Rt△PCD中，由勾股定理得DP=CP2+CD2=12+22=3，

∴S=DP2=3，

∴当t=1时，S=3，故①正确；

当点P在AB上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2)，

∴可设S关于t的函数解析式为S=a(t-4)2+2，

把(2,6)代入S=a(t-4)2+2中得：6=a(2-4)2+2，

解得a=1，

∴S关于t的函数解析式为S=(t-4)2+2=t2-8t+18，故②错误

在S=t2-8t+18中，当S=t2-8t+18=18时，解得t=8或t=0，

∴AB=8-2=6，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2-B13.（25-26·全国模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0,m)且2<m<3．有下列结论：①abc<0；②9a-3b+c>0；③94<y最大值<278；④关于x的一元二次方程axA.2个 B.3个 C.4个 D.5个【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则-b2a=1

∴b=-2a>0，

又∵抛物线与y轴交点坐标是(0,m)，即c=m，

∵2<m<3，即c>0，

∴abc<0，故①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，对称轴为直线x=1，

∴另一个交点坐标为(-2,0)，

∴当x=-3时，y=9a-3b+c<0，故②错误；

∵(-2,0)，(4,0)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，

∴4a-2b+c=0，

又∵b=-2a，

∴4a+4a+c=0，

∴8a+c=0即c=-8a，

∵2<m<3，即2<c<3，

∴2<-8a<3，

∴2×98<-8a×98<3×98即94<-9a<278，

当x=1时，y取得最大值，最大值为a+b+c=a-2a-8a=-9a，

∴y最大值=-9a，

∴94<y最大值<278，故③正确；

∵ax2+(b-1)x+c-2=0，b=-2a，c=-8a，

即ax14.（25-26·全国同步）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4, 0)，其对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：①ac<0；

②4a-2b+c>0；

③当x>2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．【解答】解：抛物线开口向上，因此a>0，与y轴交于负半轴，因此c<0，故ac<0，所以①正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4, 0)，则另一个交点为(-2, 0)，于是有4a-2b+c=0，所以②不正确；

x>1时，y随x的增大而增大，所以③正确；

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax215.（25-26·山东模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cosB=45，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO-OC-CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t(s)，△BPQ的面积为Scm2，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．下列说法正确的是（

）

①点Q的运动速度为3cm/s；②点B的坐标为(9,18)；③线段EF段的函数解析式为S=9t2；④曲线FG段的函数解析式为A.①②③④⑤ B.①③④ C.①③⑤ D.①③④⑤【答案】B【解析】结合函数图象可得当t=3时，BP=3cm，此时△BPQ的面积为13.5cm2，进而求出AO为9cm，即可得出点Q的速度，进而求出AB的长，由此即可判断①②；当点Q在OC上时，过点Q作QM⊥AB于点M，根据三角形的面积公式可求出此时的S，由此即可判断③；过点Q作QN⊥AB于点N，从而可得PB=tcm，BQ=(30-3t)cm，再解直角三角形可得QN=18-95【解答】解：由函数图象可知，当t=3时，△BPQ的面积的函数关系式改变，则Q在AO上运动3秒，

∴当t=3时，BP=3cm，此时△BPQ的面积为13.5cm2，

∴12×3AO=13.5，

∴AO=9cm，

∴点Q的运动速度为9÷3=3cm/s，则说法①正确；

当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO=3×(5-3)=6cm，

如图，过C作CP⊥AB于点P，

∴四边形AOCP是矩形，

∴OA=CP=9cm，AP=OC=6cm，

∵cosB=BPBC=45，

∴设BP=4kcm(k>0)，则BC=5kcm，

∴CP=BC2-BP2=3k=9，

∴k=3，

∴BP=12cm，BC=15cm，

∴AB=AP+BP=6+12=18cm，

∴B(18,9)，则说法②错误；

如图，当点Q在OC上时，过点Q作QM⊥AB于点M，

∵BP=tcm，QM=AO=9cm，

∴线段EF段的函数解析式为S=12BP⋅QM=9t2，则说法③正确；

∵点P从点B运动到点A所需时间为AB1=18s，点Q沿线段AO-OC-CB匀速运动到终点时，所需时间为AO+OC+BC3=9+6+153=10(s)，

∴0≤t≤10，

当5≤t≤10时，如图，过点Q作QN⊥AB于点N，

则PB=tcm，BQ=OA+OC+BC-3t=30-3tcm，

∵cosB=BNBQ=45，

∴设BN=4acm(a>0)，则BQ=5acm，

∴QN=填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（24-25·浙江模拟）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____y=【答案】y=-x2【解析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0)，得到0=-c2+bc+c，再由二次函数y=-x2【解答】解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0)，

∴0=-c2+bc+c，

∵二次函数y=-x2+bx+c的图象不经过原点，

∴c≠0，

则c-b=1，

若取b=117.（23-24·浙江中考）已知点Px1,y1，Qx2,y2为二次函数y=x2-mx+m+2图象上两点，当x<1时，二次函数y随x【答案】2≤m【解析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴x=12m，再根据二次函数的性质得到m2≥1，即得m≥2，又根据二次函数的性质可得当x=-2时，y有最大值，最大值为y=3m+6，当x=12m【解答】解：∵y=x2-mx+m+2，

∴抛物线的对称轴为直线x=12m，

∵a=1>0，

∴抛物线开口向上，当x<m2时，y随x增大而减小，

又∵当x<1时，二次函数y随x增大而减小，

∴m2≥1，

∴m≥2，

当x=-2时，y=4+2m+m+2=3m+6，

∵12m<m+1，

∴在-2≤x≤m+1中，

当x=-2时，y有最大值，最大值为y=3m+6，

当x=12m时，y有最小值，最小值为y=12m2-m⋅12m+m+2=-14m18.（24-25·甘肃中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x与相交于点A，B，点B的坐标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为______4______．

【答案】4【解析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线y=-x2+2x+3，再令y=0，得0=-x2【解答】解：把点B(3,0)，点C(2,3)代入抛物线y=ax2+bx+3得，

0=9a+3b+33=4a+2b+3 ，

解得a=-1b=2 ，

∴抛物线y=-x2+2x+3，

令y=0，得0=-x2+2x+3，

19.（24-25·广东模拟）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为______________m【答案】8【解析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得A(0,1.6)，代入y=a(x-3)2+2.5，得出抛物线的解析式为y=【解答】解：由题意，OA=1.6m，

得A(0,1.6)，

将A(0,1.6)代入y=a(x-3)2+2.5，

得：1.6=a(0-3)2+2.5，

解得：a=-110，

∴y=-110(x-3)2+2.5，

令y=020.（24-25·重庆模拟）如图，二次函数y=14x2-32x-4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点（1）∠ACB的度数是_____90∘（2）若点M是二次函数在第四象限内图象上的一点，作MQ // y轴交BC于点Q，则MQ的长的最大值是【答案】90∘/90度4【解析】（1）先分别求解A，B，C的坐标，再利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90∘（2）求解直线BC为y=12x-4，设Mx,【解答】（1）解：∵二次函数y=14x2-32x-4，

当y=0时，则14x2-32x-4=0，

解得：x1=8，x2=-2，

∴A(-2,0)，B(8,0)，

当x=0时，则y=-4，

∴C(0,-4)，

∴AC2+BC2=22+42+42+82=100=A21.（23-24·四川中考）若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为____①③④________．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）

①ba=2

②当32≤a≤52时，代数式a2+b2-5b+8的最小值为3

【答案】①③④【解析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键．

由二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．可得-b2a+1=0，可得①符合题意；由b=2a，可得a2+b2-5b+8=5(a-1)2+3，结合3【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴为直线x=-b2a，

而二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．

∴-b2a+1=0，

∴ba=2，故①符合题意；

∴b=2a，

∴a2+b2-5b+8

=5a2-10a+8，

=5(a-1)2+3，

∵32≤a≤52，

∴当a=32时，a2+b2-5b+8取最小值174，故②不符合题意；

∵-b2a+1=0，

∴对称轴为直线x=-1，

∵a>0，

当x=-1时，函数取最小值a-22.（24-25·山东月考）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x---15y0595-

下列结论：①abc>0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当-4<x<1时，y的取值范围为0<y<5；④若点m,y1，-m-2,y2均在二次函数图象上，则y1=y【答案】①②④【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断【解答】解：把(-4,0)，(-1,9)，(1,5)代入y=ax2+bx+c得，

16a-4b+c=0a-b+c=9a+b+c=5 ，

解得a=-1b=-2c=8 ，

∴abc>0，故①正确；

∵a=-1，b=-2，c=8，

∴y=-x2-2x+8，

当y=9时，-x2-2x+8=9，

∴x2+2x+1=0，

∵Δ=22-4×1×1=0，

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根，故②正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-3+12=-1，

∴抛物线的顶点坐标为(-1,9)，

又∵a<0，

∴当x<-1时，y随x的增大而增大，当x>-1时，y随x的增大而减小，当x=-1时，函数取最大值9，

∵x=-3与x=1时函数值相等，等于5，

∴当-4<x<1时，y的取值范围为0<y≤9，故③错误；23.（23-24·湖北模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)经过点(m+1,n)和(2-m,n)，有如下结论：①抛物线对称轴为x=32；②abc>0；③若(3,y1),(4,【答案】①③④【解析】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出对称轴判断①，无法确定a,b,c的符号，判断②，根据对称性确定抛物线与x轴的另一个交点的位置判断③；设直线的解析式为y=k(x-2)+c-2a，当k≠0时，联立抛物线，根据直线与抛物线只有一个交点，得到判别式为【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(m+1,n)和(2-m,n)，

∴对称轴为直线x=m+1+2-m2=32；故①正确；

无法确定a,b,c的符号，故②错误；

若(3,y1),(4,y2)两点在抛物线上，且y1y2<0，则抛物线与x轴的一个交点的横坐标的范围为3<x<4，

∵对称轴为直线x=32，

∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标的范围为：-1<x<0，

∴方程ax2+bx+c=0有一根满足-1<x1<0；故③正确；

设过点(2,c-2a)的直线的解析式为：y=k(x-2)+c-2a，

当k≠0时，令k(x-2)+c-2a=ax2+bx+c，

整理，得：ax24.（25-26·全国模拟）如图是二次函数y=ax²+bx+c图像的一部分，图像过点A(-3, 0)，对称轴为直线x=-1，给出以下五个结论:

①abc<0;②b²-4ac>0;③4b+c<0;

④若B(-52, y1)，C(-12y2)，y1，【答案】②③⑤.【解析】此题暂无解析【解答】由图象可知，a<0，b<0，c>0，

∴abc>0，故①错误．

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2-4ac>0，故②正确．

∵抛物线对称轴为x=-1，与x轴交于A(-3, 0)，

∴抛物线与x轴的另一个交点为(1, 0)，

∴a+b+c=0，-b2a=-1，

∴b=2a，c=-3a，

∴4b+c=8a-3a=5a<0，故③正确．

∵B(-52,y1)25.（24-25·广东模拟）如图，已知抛物线y=x2-2x-3，抛物线与x轴从左到右分别交于A、B．点M在抛物线的对称轴上，点N为抛物线上位于第四象限一点，满足ON=3OM．点P在抛物线上，且满足∠CAP=∠【答案】154,【解析】在AP上取一点Q，使得∠ACQ=45∘，过点Q作QH⊥CA延长线于H，分别过点Q、C作y轴的垂线，分别与过点H平行于y轴的直线交于点E、F，EF交x轴于点D，根据点M在抛物线的对称轴上，ON=3OM，求出点N的坐标，求出直线ON的解析式，进而求出点M的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明△ACQ∽△MCO，得出ACMC=AQMO=QCOC，结合图形与坐标，求出AQ、QC，利用AAS证明△EQH≅△【解答】解：如图，在AP上取一点Q，使得∠ACQ=45∘，过点Q作QH⊥CA延长线于H，分别过点Q、C作y轴的垂线，分别与过点H平行于y轴的直线交于点E、F，EF交x轴于点D，

∴∠QEH=∠HFC=90∘，

∵抛物线y=x2-2x-3，抛物线与x轴从左到右分别交于A、B，

∴当y=0时，x2-2x-3=0，

x+1x-3=0，

解得：x1=-1，x2=3，

当x=0时，y=-3，

∴A-1,0，B3,0，C0,-3，

∴OA=1，OB=OC=3，AC=OA2+OC2=10，

∴∠BCO=∠ACQ=45∘，

设直线BC解析式为y=kx，则3k+b=0b=-3，

解得：k=1b=-3，

∴直线BC解析式为y=x-3，

∵点M在抛物线的对称轴上，ON=3OM，

∴点M的横坐标=-b2a=--22=1，点N的横坐标:点M的横坐标=ON:OM=3OM:OM=3，

∴点N的横坐标=3，

∵当x=3时，y=32-2×3-3=-23，

∴N3,-23，

∴设直线ON解析式为y=kx，则3k=-23，

解得：k=-2，

∴直线ON解析式为y=-2x，当x=1时，y=-2，

∴M1,-2，

∴MO=1-02+-2-02=5，MC=1-02+-2--32=2，

∵直线BC解析式为y=x-3，当x=1时，y=-2，

∴点M也在线段BC上，

∴∠ACQ=∠MCO=45∘，

∵∠CAP=∠CMO，

∴△ACQ∽△MCO，

∴ACMC=AQMO（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（2025・江苏扬州中考）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(0,1)、B(1,3)、C-1,1。（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴。【答案】（1）y=x²+x+1；（2）顶点-0.5,0.75，对称轴【解析】（1）考点：待定系数法求二次函数解析式（一般式）。将三点坐标代入一般式，列三元一次方程组求解a、b、c；（2）考点：二次函数顶点坐标与对称轴，用公式或配方求解。【解答】解：（1）将A(0,1)、B(1,3)、C-1,1代入c，得：c=1a+b+c=3a-b+c=1​，将c=1代入后两式，得,a+b=22a-b=0，两式相加得2a=2，解得a=1，代入a+b=2∴解析式为y=x²+x+1；（2）方法一：公式法，对称轴x=-b/(2a)=-1/(2×1)=-0.5，顶点纵坐标y=4ac=(4-1)/4=0.75，∴顶点坐标为-0.5,0.75，对称轴为x=-0.5配方，y=x²+x+1=x²+x+0.25+0.75=x+0.5²+0.75，∴点坐标为-0.5,0.75，对称轴为x=-0.5。27.（2025・重庆中考）将抛物线y=x²-2x-3先向上平移2个单位，再向右平移1个单位。（1）求平移后的抛物线解析式；（2）求平移后的抛物线与y轴的交点坐标。【答案】（1）y=(x-2)²-2；（2）(0,2)【解析】（1）考点：二次函数平移规律，先将一般式化为顶点式，再按“上加下减、左加右减”平移；（2）考点：抛物线与y轴交点，令x=0，代入平移后解析式求y值。【解答】解：（1）先将y=x²-2x-3化为顶点式：y=x²-2x+1-4=(x-1)²-4，向上平移2个单位：y=(x-1)²-4+2=(x-1)²-2，向右平移1个单位：y=(x-1-1)²-2=(x-2)²-2，∴平移后的解析式为y=(x-2)²-2；（2）令x=0，代入y=(x-2)²-2，得：y=(0-2)²-2=4-2=2，∴与y轴的交点坐标为(0,2)。28.（25-26·全国同步）在二次函数y=ax2+bx-2x…-01…y…--1…

（1）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为【答案】y=x2(-1+5或【解析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；（3）分两种情况解答，即可求解．【解答】（1）解：把点(-2,-2),(1,1)代入得：

a+b-2=14a-2b-2=-（2）解：y=x2+2x-2=(x+1)2-3，

∴二次函数图象的顶点坐标为(-1,-3)，对称轴为直线x=-（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为y=(x+1-n)2-3，

∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=n-1，

当平移后抛物线的对称轴在直线x=32左侧时，此时最小值为-3，n-1<32，即n<52，

当x=3时，取得最大值，最大值为(3+1-n)2-3=n2-8n+13，

∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，

∴n2-8n+13-(-3)=5，

解得：n=4-5或4+5（舍去）；

当平移后抛物线对称轴在直线x=32右侧时，此时最小值为29.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0,与y轴交于点B，且关于直线（1）求该抛物线的解析式；（2）当-1≤x≤t时,y（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，【答案】y=-xt=5存在点以B，C，D【解析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分t≤1和（3）分BD为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0,与y轴交于点B，且关于直线x=1对称，∴-b2a（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1,∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，

∵-1≤x≤t时,0≤y≤2t-1,

①当t≤1时，则：当x=t时，函数有最大值，即：2t-1=-t2+2t+3,

（3）存在；当y=-x2+2x+3=0时，解得x1=3,x2=-1,当x=0时,y=3,

∴A3,0,B0,3,

设直线AB的解析式为y=kx+3,把A3,0代入，得k=-1,

∴y=-x+3,

设Cm,-m2+2m+30<m<3,则：Dm,-m+3,

∴CD=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m,BD=m30.（25-26·全国同步）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y=x2中，当x=1时，y=1，则我们称函数y=x（1）对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：

①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；

②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是12,0；

③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点．（2）若一次函数y=kx+b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；

探究（3）对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y=x2-2bx+c（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12-x)件，获得利润y元．请写出y关于【答案】③当k≠1且k≠0时，bb=c-该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．【解析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点(m,m)，计算即可判断；（2）根据“不动点函数”的定义，代入点(m,m)，计算即可得解；（3）先求得顶点坐标为b,c-b2（4）根据题意得，y=(x-6)(12-【解答】（1）①对于y=x+2，

由于m≠m+2，

所以y=x+2不是“不动点函数”，原说法错误；

②对于y=-3x+2，代入点(m,m)，

得m=-3m+2，

解得m=12，

所以y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是（2）∵一次函数y=kx+b(k≠0)是“不动点函数”，

∴代入点(m,m)，

得m=mk+b，

整理得(1-k)m=b，

当1-k≠0即k≠1且k≠（3）由抛物线y=x2-2bx+c=(x-b)2+c-b2得，（4）根据题意得，y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72，

∴令x=-x2+18x-72，

整理得x231.（24-25·山东中考）综合与实践

【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．

【研究条件】

条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；

条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．

【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y=-x2（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为___18x______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为___w=-x2（2）在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？（3）已知该演出主办方要求：

①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；

②尽量少安排安检通道，以节省开支．

若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?

【总结反思】

函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．

【答案】18x；w=-x当x=21时，Wmax=541最少开7条通道【解析】（1）根据题意得安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，w与x的函数表达式为w=y-18x=-（2）根据二次函数的性质可得出结论；（3）运用二次函数的性质解答即可【解答】（1）解：若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w=y-18x=（2）w=-x2+42x+100=-(x-（3）设开了m条通道则：w=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100

∴对称轴为x=3(10-m)

∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少

∴0≤3(10-m)≤10，即：203≤m32.（24-25·贵州中考）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1:y=ax2+bx+c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且（1）如图②，当a=-12,b=12时，若点（2）在(1)的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C2（3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点），其中M12,1,N(1,1),Q【答案】y=-1不能，理由见解析-3【解析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先得到G(6,0)，然后求出C2:y=-（3）首先求出P1,32，然后由|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点(4,0)时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点(3,0)【解答】（1）解：∵当a=-12,b=12时，C1:y=-12x2+12x+c

∵点F（2）不能，理由如下：

∵FG=4，点F坐标为(2,0)

∴G(6,0)

∴C2:y=-15(x-4)(x-6)=-15x2+2x-245（3）∵正方形MNPQ，M12,1,N(1,1),Q12,32

∴P1,32

∴如图所示，

∵抛物线开口向下

∴a<0

∵|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点）

∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点(4,0)时，开口最大，此时a最大

∴设C1的表达式为y=ax-122+1

将(4,0)代入得，0=a4-122+1

解得a=-449；

∴33.（23-24·山东中考）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：

A樱桃园

第x天的单价、销售量与x的关系如下表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640