2026中考第一轮复习数学第23课时：正多边形、扇形、圆锥侧面展开图（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第23课时正多边形、扇形、圆锥侧面展开图一、核心知识一、核心知识（一）正多边形与圆1.正多边形的定义与性质定义：各边____________、各内角____________的多边形叫做正多边形；一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的____________，外接圆的半径叫做正多边形的____________，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的____________，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的____________。性质：正多边形都是____________图形，偶数边的正多边形还是___________图形；正n边形有___________条对称轴，对称轴都经过正多边形的中心；正n边形的中心角为______​，每个内角为​，每个外角为______；正n边形的半径R、边心距r、边长a满足___________（勾股定理）。2.正多边形的有关计算边长公式：an=​（an为正n边形的边长，R为外接圆半径）；边心距公式：rn=；周长公式：Cn=n∙an=；面积公式：Sn==（将正n边形分割为n个全等的等腰三角形）。3.正多边形的作图基本思路：将一个圆n等分，顺次连接各等分点，即可得到正n边形；常用方法：用量角器等分圆：先计算中心角360°n，在圆上依次截取等于该中心角的弧，得到用尺规等分圆：仅能精确作出正3、4、5、6、8、10、12等特殊边数的正多边形。（二）扇形的相关计算1.扇形的定义由____________和经过这条弧的____________所围成的图形叫做扇形（扇形是圆的一部分）。2.扇形的核心计算公式弧长公式：l=（n为圆心角的度数，R为扇形所在圆的半径）；面积公式：公式一：S=（与弧长公式直接关联，n、R含义同上）；公式二：S=（l为扇形的弧长，R为半径，可类比三角形面积公式“底高”，将弧长l看作“底”，半径R注意：公式中n为圆心角的度数，若给出的是圆周角，需先转化为圆心角（同弧所对圆心角=2×圆周角）。3.弓形面积的计算弓形面积=扇形面积±（“+”适用于弓形大于半圆的情况，“-”适用于弓形小于半圆的情况）。（三）圆锥的侧面展开图1.圆锥的基本概念圆锥的组成：由一个____________（圆形）和一个____________（曲面）围成；关键元素：母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，用l表示，圆锥的母线都底面半径：用r表示；高：圆锥顶点到底面圆心的垂直距离叫做圆锥的高，用h表示，满足___________（勾股定理）。2.圆锥侧面展开图的性质圆锥的侧面展开图是一个___________，其相关关系如下：扇形的半径=圆锥的____________；扇形的弧长=圆锥底面圆的____________；扇形的圆心角n满足：nπl180=2πr，化简得____________3.圆锥的相关计算侧面积：；全面积（表面积）：。二、核心能力二、核心能力题型1正多边形的性质与计算解题思路明确核心元素：先确定正多边形的边数n，找出外接圆半径R、边心距r、边长a等关键元素；灵活运用公式：根据已知条件选择合适的公式（勾股定理、内角公式、周长公式、面积公式），优先利用“r2+a22=R2”分割思想应用：将正多边形分割为n个全等的等腰三角形或直角三角形，通过解直角三角形求解边心距、边长等；注意：正多边形的内角与中心角互补（如正六边形的内角为120°，中心角为60°，之和为180°），可作为验证依据。题型2扇形的弧长与面积计算解题思路确定已知条件：明确题目给出的是圆心角n、半径R、弧长l、面积选择对应公式：求弧长：已知n和R用l=nπR180​，已知S和R求面积：已知n和R用S=nπR2360，已知l单位统一：确保圆心角的单位为“度”，半径与弧长的单位一致；综合应用：若扇形与其他图形（如三角形、矩形）组合，需结合图形性质拆分计算，如弓形面积需用扇形面积与三角形面积加减。题型3圆锥侧面展开图的相关计算解题思路紧扣核心关系：牢记“圆锥侧面展开图的弧长=圆锥底面圆的周长”，这是解决此类问题的关键；分解求解目标：求母线长l：已知r和n，用l=360rn​；已知面积侧S侧和r求底面半径r：已知l和n，用r=nl360；已知侧面积S侧和求圆心角n：已知r和l，用n=360求全面积：先求侧面积和底面积，再求和，注意不要遗漏底面积；勾股定理应用：涉及圆锥的高h时，利用l2=r2+h2题型4组合图形的面积计算（正多边形、扇形、圆锥结合）解题思路图形拆分：将组合图形分解为若干个基本图形（正多边形、扇形、三角形、矩形等），明确各基本图形的面积关系（和或差）；分别计算：针对每个基本图形，结合其性质和公式计算面积；整合结果：根据图形组合方式，将各基本图形的面积相加或相减，得到组合图形的总面积；注意：拆分时要确保不重复、不遗漏，涉及重叠部分需准确判断面积的加减关系。三、易错警示三、易错警示正多边形计算中公式混淆错误：混淆正多边形的内角公式与中心角公式（如误将内角公式记为360°提醒：牢记正n边形的内角为(n-2)×180°n，中心角为扇形公式中n的取值错误错误：将圆周角的度数当作圆心角n代入弧长或面积公式；n的单位未统一为“度”（如用弧度制代入）；已知弧长和半径求n时，公式变形错误。提醒：扇形公式中的n是“圆心角”的度数，若题目给出圆周角，需先乘以2转化；公式变形时严格遵循代数运算。圆锥侧面展开图的关系混淆错误：将圆锥底面半径r当作展开扇形的半径；忽略“展开扇形的弧长=底面圆周长”的核心关系，直接用母线长计算弧长；求圆锥全面积时遗漏底面积。提醒：圆锥侧面展开图的扇形半径是圆锥的母线长l，而非底面半径r组合图形面积计算遗漏或重复错误：拆分组合图形时遗漏部分图形（如弓形面积忘记加/减三角形面积）；重复计算重叠部分的面积；未根据图形位置关系（如扇形在正多边形内部、外部）判断面积的加减关系。提醒：拆分组合图形时先画出示意图，标注各部分图形名称；计算前明确各图形的面积关系（和/差）；涉及重叠部分，需先计算整体面积，再减去重叠部分的面积，避免重复计算。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（22-23·辽宁中考）圆心角为90∘，半径为3的扇形弧长为（

A.2π B.3π C.32.（25-26·甘肃模拟）边长为2的正三角形的外接圆的半径是（

）A.23 B.2 C.233.（24-25·黑龙江中考）在⊙O中，如果75∘的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙OA.6cm B.8cm C.10cm D.12cm4.（24-25·云南中考）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90∘，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（

）A.9cm B.10cm C.11cm D.12cm5.（24-25·陕西模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB⌢上，点Q是DE⌢的中点，则∠CPQ的度数为（）

A.30∘ B.45∘ C.366.（23-24·内蒙古中考）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（

）

A.26∘ B.27∘ C.287.（24-25·广东模拟）在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F'处，如图，此时边AD'与对角线ACA.52π B.3π C.8.（23-24·云南模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，∠C=70∘，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则DE⌢的长度为（

）

A.π9 B.5π9 C.9.（24-25·广东中考）如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）

A.π B.2π C.4π10.（24-25·山西中考）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘,AB=AC，分别以点B、C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、A.2π-4 B.4π-411.（24-25·福建模拟）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90∘的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（

）

A.54 B.53 C.512.（24-25·江苏模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=35∘,CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB=2，则DE⌢的长为（A.19π B.29π13.（24-25·湖南中考）如图，北京市某处A位于北纬40∘（即∠AOC=40∘），东经116∘，三沙市海域某处B位于北纬15∘（即∠BOC=15∘），东经116∘；设地球的半径约为R千米，则在东经116∘所在经线圈上的点A.572πR（千米） B.112πR（千米）

C.536π14.（24-25·广东中考）如图，在直径BC为22的圆内有一个圆心角为90∘的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（

）

A.15 B.14 C.115.（24-25·新疆模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点DA.53-33π B.53-4

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·黑龙江模拟）若扇形的圆心角为40∘，半径为 18 ，则它的弧长为

17.（24-25·四川模拟）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是____________．18.（23-24·黑龙江中考）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______________​∘．19.（24-25·四川中考）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_____________．

20.（24-25·湖北模拟）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是

．

21.（24-25·陕西模拟）如图，正八边形的边长为2，对角线AB，CD相交于点E，则线段BE的长为

．

22.（24-25·江苏模拟）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF⌢的长度为__________（结果保留π）．

23.（23-24·江苏中考）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB⌢所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB=23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）=

．（结果保留π24.（24-25·山东中考）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120∘的扇形，则图中阴影部分的面积为___________．

25.（22-23·江苏中考）如图，在▱ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足为H,AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E,F,G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25·黑龙江模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(1,-3),C(3,（1）将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1（2）画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转（3）在(2)的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长（结果保留27.（23-24·江苏中考）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

（1）求图中阴影部分的面积；（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．28.（24-25·云南模拟）Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．且（1）求证：AB是⊙O（2）连接OB交⊙O于点F，若AD=3,AE=129.（22-23·黑龙江中考）如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F（1）求证：BC是⊙O（2）若BD=5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．30.（22-23·辽宁中考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若∠ABC=60∘31.（23-24·达州模拟）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，OC=2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP=60∘．过点P作⊙O的切线，切点为E，交CO（1）求CD⌢（2）求∠DAB（3）求cos∠32.（24-25·山东模拟）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，PN⌢所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线AP与PN⌢所在⊙O相切于点P．此时测得∠PAO=45∘；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与PN⌢所在⊙O相切于点Q，此时测得∠（1）求圆心角∠PON（2）求PN⌢的弧长（结果精确到0.133.（22-23·山东中考）如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E（1）求证：直线AC是⊙O（2）若点E为AO的中点，AD=3，求阴影部分的面积；（3）连接DE，若sin∠DBA=534.（24-25·山东中考）【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷