2026中考第一轮复习数学第25课时：平移与旋转（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第25课时平移与旋转一、核心知识一、核心知识（一）平移的相关概念与性质1.平移的定义在平面内，将一个图形沿着___________移动一定的____________，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的____________和____________，只改变图形的____________。2.平移的核心性质对应线段____________；对应角____________；对应点所连的线段____________；平移前后的图形____________（周长、面积、对应边、对应角均保持不变）。3.平移的作图步骤确定已知图形的____________（如顶点、端点等）；根据平移方向和距离，作出每个关键点的____________（作关键点的平行线段，使线段长度等于平移距离）；顺次连接各对应点，得到平移后的图形。4.平移的相关计算平移距离：对应点之间的为平移距离；图形平移后的坐标变化（平面直角坐标系中）：水平平移：点(x,y)向右平移a个单位得，向左平移a个单位得；垂直平移：点(x,y)向上平移b个单位得，向下平移b个单位得；斜向平移：可分解为水平平移和垂直平移的组合（如向右平移a个单位且向上平移b个单位，坐标变为(x+a,y+b)）。（二）旋转的相关概念与性质1.旋转的定义在平面内，将一个图形绕着某个固定点（旋转中心）按____________角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。旋转不改变图形的____________和______，只改变图形的____________。2.旋转的核心要素旋转中心：图形旋转时围绕的固定点；旋转方向：顺时针或逆时针；旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，旋转角都____________。3.旋转的核心性质对应线段____________；对应角____________；对应点到旋转中心的距离____________；旋转前后的图形____________；旋转中心是对应点所连线段的____________。4.旋转的作图步骤确定已知图形的____________、、旋转方向和旋转角；连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角作出对应线段（使对应线段长度等于原线段，旋转角等于已知角度），得到各关键点的____________；顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。5.旋转的相关计算旋转角计算：通过对应点与旋转中心的连线夹角求解，或利用全等三角形、等腰三角形性质推导；图形旋转后的坐标变化（平面直角坐标系中，绕原点旋转常见角度）：点(x,y)绕原点顺时针旋转90∘得(y,−x)；点(x,y)绕原点逆时针旋转90∘得(−y,x)；点(x,y)绕原点旋转180∘得(−x,−y)。（三）平移与旋转的区别与联系项目平移旋转运动方式沿固定方向移动固定距离绕固定点旋转固定角度核心要素平移方向、平移距离旋转中心、旋转方向、旋转角对应点连线平行（或共线）且相等相等且夹角等于旋转角图形对称性平移前后的图形是____________图形（沿平移方向的垂直平分线对称）旋转前后旋转180∘时的图形是____________图形联系都是____________（不改变图形的形状和大小）；复杂图形的运动可由平移和旋转组合而成（四）平移与旋转的应用（图案设计、几何证明与计算）1.图案设计核心思路：以基本图形为基础，通过平移、旋转的组合，设计出对称、美观的图案；关键步骤：确定基本图形，选择平移方向/距离或旋转中心/方向/角度，重复操作形成图案。2.几何证明与计算平移的应用：通过平移将分散的线段、角集中到一个图形中，方便利用全等三角形、勾股定理等知识求解；旋转的应用：通过旋转构造全等三角形，转化线段长度或角度关系，解决线段相等、角度计算、最值问题等（常见旋转模型：等腰三角形旋转、正方形旋转、等边三角形旋转）。二、核心能力二、核心能力题型1平移的性质与坐标变化解题思路识别平移特征：根据“对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等”判断图形是否为平移变换；坐标计算：平面直角坐标系中，根据平移方向和距离，直接套用坐标变化规律（水平平移变横坐标，垂直平移变纵坐标）；验证结果：通过对应点距离是否等于平移距离、对应线段是否平行且相等验证答案正确性。题型2旋转的性质与坐标变化解题思路明确旋转要素：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，再分析对应点、对应线段、对应角的关系；坐标计算：绕原点旋转时，直接套用常见角度的坐标变化规律；绕非原点旋转时，先平移至原点，旋转后再平移回原位置；角度与线段计算：利用“对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等”，结合等腰三角形、全等三角形性质求解。题型3平移与旋转的作图解题思路平移作图：标记关键点，按平移方向和距离作出对应点（可借助直尺、三角板画平行线）；顺次连接对应点，标注平移方向和距离。旋转作图：连接关键点与旋转中心，按旋转方向用量角器量出旋转角，作出对应线段；确保对应线段长度相等，顺次连接对应点，标注旋转中心、旋转方向和旋转角。题型4平移与旋转的综合应用（几何证明与计算）解题思路图形转化：通过平移或旋转将不规则图形转化为规则图形（如矩形、三角形），或把分散的条件集中到一个图形中；构造全等：旋转问题中，常构造旋转型全等三角形（如将等腰三角形的腰旋转至另一腰的位置），利用全等性质转化线段和角度；结合其他知识：与勾股定理、等腰三角形性质、平行线性质等结合，求解线段长度、角度或证明线段/角相等；最值问题：利用平移或旋转将动点转化为定点，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”求解最值。题型5平移与旋转的图案设计解题思路确定基本图形：选择简单、对称的图形作为基本图形（如三角形、正方形、线段）；选择变换方式：根据图案需求，确定是单一平移/旋转，还是组合变换（先平移再旋转、先旋转再平移）；规范作图：按平移/旋转的作图步骤操作，确保图形变换准确，图案对称、美观；标注说明：标注基本图形、变换方式（平移方向/距离、旋转中心/方向/角度）。三、易错警示三、易错警示平移性质应用误区错误：认为“平移后的图形与原图形一定关于某条直线对称”（忽略平移方向与对称轴的关系）；平面直角坐标系中，混淆水平与垂直平移的坐标变化（如将向右平移误记为纵坐标变化）；计算平移距离时，误将对应线段的长度当作平移距离（平移距离是对应点之间的线段长度，非对应线段）。提醒：平移后的图形不一定是轴对称图形，仅当平移方向与图形的对称轴垂直时才对称；牢记“水平平移变横、垂直平移变纵”的坐标变化规律；平移距离是对应点连线的长度，与对应线段长度相等，但需注意对应点的正确匹配。旋转要素判断错误错误：旋转角判断错误（误将对应线段的夹角当作旋转角，正确旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）；忽略旋转方向（顺时针与逆时针旋转后的图形位置不同）；绕非原点旋转时，直接套用绕原点旋转的坐标规律。提醒：判断旋转角时，务必连接对应点与旋转中心，夹角即为旋转角；作图时明确标注旋转方向；绕非原点旋转时，需通过“平移—旋转—平移”的步骤转化，再进行坐标计算。作图规范问题错误：平移作图时，未作出平行线段导致对应点位置偏差；旋转作图时，对应线段长度不相等、旋转角不准确；作图后未标注关键信息（平移方向/距离、旋转中心/方向/角度）。提醒：平移作图需借助直尺和三角板保证对应线段平行；旋转作图时，用圆规确保对应线段长度相等，用量角器准确量出旋转角；作图完成后，必须标注变换的关键信息，确保作图规范。综合应用时思路僵化错误：遇到平移或旋转相关的综合题时，无法想到通过变换转化图形，导致条件分散难以求解；旋转问题中，未发现旋转型全等三角形，无法转化线段和角度。提醒：牢记“平移可集中线段，旋转可构造全等”的核心思路，遇到分散的线段或角时，优先考虑通过平移或旋转转化；熟悉常见的旋转模型（如等腰直角三角形绕直角顶点旋转、等边三角形绕顶点旋转），快速找到解题突破口。坐标变化规律混淆错误：绕原点旋转时，混淆顺时针与逆时针旋转90∘的坐标变化（如将(x,y)顺时针旋转90∘误记为(−y,x)）；旋转180∘时，误将坐标变为(x,−y)或(−x,y)。提醒：牢记绕原点旋转的坐标规律：“顺90变(y,−x)，逆90变(−y,x)，180变(−x,−y)”，可通过画图验证或举例记忆（如点(1,0)顺时针旋转90∘后为(0,−1)，符合规律）。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·四川模拟）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（

）A. B. C. D.2.（24-25·江苏模拟）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（

）

A.①③ B.①② C.②③ D.①②③3.（22-23·广东模拟）已知点A坐标为A(5,4)，将点A向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到A'，则A'点的坐标为（

）A.(2,0) B.(9,1) C.(1,1) D.4.（23-24·河北中考）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（

）A.平行四边形 B.等腰梯形 C.正六边形 D.圆5.（24-25·吉林模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（

）

A.22.5∘ B.30∘ C.456.（24-25·四川中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE=（A.3 B.2 C.1 D.17.（23-24·广东中考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（

）

A.35×20-35x-20x+2x2=6008.（24-25·吉林模拟）如图为建造楼梯的设计图，虚线AC为楼梯的倾斜线，AC与地面的夹角∠ACB=θ．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点C铺到点A），已知CB=d米，则所铺地毯的总长度为（

）

A.d+dtanθ米 B.dsinθ米 C.d+dsinθ9.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若点A，C的坐标分别为(-2,4),(-1,1)，平移后点A1，C1的坐标分别为A.6 B.5 C.4 D.310.（23-24·甘肃模拟）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移6cm到ΔDEF的位置，若AB=12cm，DH=5cm，则阴影面积等于（

）

A.90cm2 B.57cm211.（24-25·西藏模拟）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（

）

A.把△ABC向右平移6B.把△ABC向右平移4格，再向上平移1C.把△ABC绕着点A顺时针旋转90∘，再向右平移D.把△ABC绕着点A逆时针旋转90∘，再向右平移12.（24-25·贵州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45∘．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（

A.2α B.90∘-213.（23-24·四川中考）如图，在△ABC中,AB=32,AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC=BD,点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（

A.2+32 B.6+22 C.5 D.814.（24-25·安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90∘得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（A.EC-ED的最大值是25 B.FB的最小值是10

C.EC+ED的最小值是4215.（23-24·四川中考）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB=10．下列三个结论：①若tan∠ADF=34，则EF=2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90∘得到△ADG'，则A.①② B.①③ C.②③ D.①②③（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（22-23·广东模拟）如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移__________个单位，再向右平移____________个单位得到．

17.（24-25·四川模拟）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120∘，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'18.（22-23·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A6,3,B6,0,O0,0．若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是

19.（23-24·江苏中考）直线l1:y=x-1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15∘，得到直线l2，则直线l20.（24-25·四川中考）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为__________．

21.（24-25·北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(4,1)．将线段AB沿某一方向平移后得到A'B'，若点A的对应点A'的坐标为(-1,0)．则点B的对应点B'的坐标为22.（22-23·河南模拟）两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC=2，则AD23.（22-23·内蒙古中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,AC=3,BC=1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90∘，得到△AB'C'．连接BB24.（22-23·辽宁中考）如图，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，连接AM，将△ADM绕点A顺时针旋转90∘得到△ABN，在AM, AN上分别截取AE, AF，使AE=AF=BC，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG并延长交BC于点H．若AM=253，CH=2，则AG25.（22-23·四川中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转90∘到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·河南模拟）如图，菱形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，AC与BD相交于点E．若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点E，一次函数的图象经过(0,8)和CE的中点F．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）①将菱形ABCD向下平移_________个单位长度，可使反比例函数的图象经过点C；

②将菱形ABCD向右平移_______个单位长度，可使一次函数的图象经过点B．27.（24-25·福建中考）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．

（1）求∠DCE（2）求证：△CEG28.（24-25·湖南月考）函数y=kx+a的图象可以由函数y=k（1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x+a（2）下列关于函数y=1x+a的性质：①图象关于点-a,0对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y=-x+a对称；④y（3）根据(1)中a的值，写出不等式1x+a>1x的解集:

．29.（22-23·湖南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC>BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90∘得到DA'，线段DA'交AB于点E，作A'F（1）求证：△ADE（2）求证：AF⋅（3）若AC=8，tanA=12，当A'G平分四边形30.（23-24·广西模拟）综合与实践

主题任务：“我的校园我做主”草坪设计

任务背景：学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九(2)班参加校园美化设计任务：校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，

具体要求：(1)矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；(2)两条小路必须设计成平行四边形；

驱动任务一：九(2)班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：

（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系S甲与S乙，S甲与S丙纵向小路面积横向小路面积纵横交叉面积小路总面积甲方案31x40x乙方案31x40x丙方案31x40x（2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积：______________；

驱动任务三：（3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？

驱动任务四：为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角∠BGF=∠AEF=θ．若x=1时，请用含θ的三角函数表示两条路重叠部分四边形FHPQ的面积，并直接写出sin31.（23-24·广西中考）如图1，△ABC中，∠B=90∘，AB=6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．（1）求证：△ABC（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α(0∘<a<360∘)．连接A'32.（23-24·江苏中考）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．

（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE=4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4)，以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F（23-24·四川中考）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45∘，BD=3，CE=4，求DE的长．

解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90∘得到△ACD'，连接ED'．

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．

∵∠BAC=90∘，∠DAE=45∘，

∴∠BAD+∠EAC=45∘．

∵∠BAD=∠CAD'，

∴∠CAD'+∠EA