2026中考第一轮复习数学第6课时：一元二次方程及其应用（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第6课时一元二次方程及其应用一、核心知识一、核心知识（一）一元二次方程的定义与一般形式定义：只含有______一个______未知数，且未知数的最高次数是______2______的整式方程，叫做一元二次方程。一般形式：ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）。二次项：ax²，二次项系数为______a______；一次项：bx，一次项系数为______b______；常数项：c。注意：若方程中二次项系数含字母，需保证字母取值使二次项系数不为0，否则不是一元二次方程。（二）一元二次方程的解法直接开平方法：适用于形如（x+m）²=n（n≥0）的方程，解得x=-m±n。配方法：将方程ax²+bx+c=0（a≠0）化为（x+h）²=k的形式，步骤为：移项：把常数项移到等号右边，得ax²+bx=-c；化1：两边同时除以______二次项系数a______，得x²+(b/a)x=-c/a；配方：两边加______一次项系数一半的平方______，即b2a2开方：转化为直接开平方法求解。公式法：对于ax²+bx+c=0（a≠0），当Δ≥0时，根为x=-b±b因式分解法：将方程化为（mx+n）（px+q）=0的形式，得解x，核心是“降次”思想。（三）根的判别式（Δ=b²-4ac）当Δ______>0______时，方程有两个不相等的实数根；当Δ______=0______时，方程有两个相等的实数根；当Δ______<0______时，方程没有实数根；逆用：若方程有两个不相等的实数根，则Δ>0；若有两个相等的实数根，则Δ=0；若没有实数根，则Δ<0。（四）根与系数的关系（韦达定理）对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），设两根为x₁、x₂，则：x₁+x₂=-bax₁·x₂=ca常用变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂；1x1+1x2（五）一元二次方程的应用增长率问题：若初始量为m，平均增长率为x，经过n次增长后量为n，则列方程：m(1+x)ⁿ=n；降低率问题则为m(1-x)ⁿ=n。利润问题：利润=（售价-进价）×销量，设涨价或降价x元，根据利润目标列方程。几何问题：围绕图形的边长、面积等关系，结合图形性质列方程，注意检验解的实际意义。握手/比赛问题：n人握手（或单循环比赛）总次数为_____nn-12二、核心能力二、核心能力题型1.定义与一般形式辨析解题思路紧扣“一个未知数、最高次数2、整式方程、a≠0”四个条件，先化简方程再判断，注意含字母系数的情况。题型2.一元二次方程的解法选择解题思路优先选简便方法，能因式分解先因式分解，能直接开平方先开平方；二次项系数为1且一次项系数为偶数时，优先用配方法；所有方程都可用公式法，注意Δ的符号。题型3.根的判别式的应用解题思路先确定方程为一元二次方程（a≠0），再计算Δ，根据根的情况列不等式（或等式）求参数取值范围，注意参数的隐含条件。题型4.韦达定理的应用解题思路先验证Δ≥0，再利用两根和、两根积的关系，结合代数式变形求值，或根据根的特征求参数。题型4.实际应用问题解题思路遵循“审→设→列→解→检→答”步骤，找准等量关系，设合适的未知数，检验解是否符合实际意义（如长度、增长率为正，销量为整数等）。三、易错警示三、易错警示忽略二次项系数不为0错误：判断方程kx²+2x+1=0为一元二次方程时，未强调k≠0；提醒：涉及含字母系数的一元二次方程，首先明确二次项系数≠0。配方时计算错误：错误：将x²-4x-1=0配方时，误写为(x-2)²=1（忘记常数项同步加4）；提醒：配方时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方，保持等式平衡。判别式与韦达定理使用条件混淆：错误：未验证Δ≥0就直接用韦达定理求代数式的值；提醒：韦达定理的使用前提是方程有实数根，即Δ≥0，需先验证再应用。实际应用忽略解的检验：错误：增长率问题解得x=2.5（即250%）未舍去，或几何问题解得边长为负数未排除；提醒：解完方程后，需检验解是否符合实际情境，舍去不合理的解。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·安徽模拟）若关于x的一元二次方程(a-2)x2+4x+a2A.2 B.-2 C.±2 D.0【答案】B【解析】由常数项为0，则a2-4=0，结合一元二次方程的定义，即可求出a【解答】解：根据题意，则∵一元二次方程(a-2)x∴a∴a=∵a∴a∴a=故选：B．2.（23-24·四川中考）若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是A.2 B.-2 C.2或-2【答案】A【解析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知a+2≠0；一根是0，代入(a+2)x2+x+【解答】解：(a+2)x2+x+a2∴a+2≠由一个根x=0，代入(a+2)x可得a2-4=0，解之得由①②得a=2；故选A3.（23-24·山东中考）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0时，将它转化为(x+a)2A.-2024 B.2024 C.-【答案】D【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．

用配方法把x2-2x-2023=0【解答】解：∵x2-移项得，x2配方得，x2即(x-∴a=-1∴a故选：D．

4.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程x2-3x-x--012x5----A.-2<x<-1 B.-1<x<0【答案】A【解析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当x=-2时，x2-3x-5的值大于0，当x=-1时，x【解答】解：由表格数据可知当x=-2时，x2-3x当x=-1时，x2因此x2-3x故选：A．5.（25-26·河南月考）关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法判断根的情况【答案】A【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当b2-时，方程有两个不相等的实数根；当b2b2通过计算一元二次方程的判别式Δ，即可判断方程根的情况．【解答】解：x2-3x+1=0a=1,b=-∴Δ=∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．6.（25-26·全国同步）若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根，则实数A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a【答案】C【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式Δ=b2-【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a-1)x∴二次项系数a-1≠Δ=22-4解得a≤∴a≤故选：C．7.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A.(x-2)2=-【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【解答】解：A、(x-2)B、(x-2)C、(x-2)2=1D、(x-2)2=2故选：B．8.（23-24·贵州中考）一元二次方程x2-2x=0的解是（A.x1=3，x2=1 B.x1=2，x2=0【答案】B【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【解答】解∶x2-2x=0∴x(x∴x=0或x∴x1=2故选∶B．9.（25-26·广东期中）若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．【解答】解：原方程x(x+2)-3=0展开并整理为标准形式：x其中a=1，b=2，c=-∴m=-b∴点(m,n)即(-2,故选：C．10.（25-26·贵州期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（

）

A.x(24-2x)=40 B.C.2x(24-2x)=40【答案】A【解析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.【解答】解：设矩形的宽为xm，则矩形的宽为(24-2x)m，∴x(24故选：A.11.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（

）A.12元 B.10元 C.11元 D.9元【答案】B【解析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．【解答】设应降价x元则根据题意，等量方程为：(65-x解得：x=4或x=10∵要尽快较少库存，∴x=4故此题答案为B．12.（25-26·辽宁月考）若关于x的方程x2-mx+3=0的一个根是x1=1，则另一个根x2A.x2=3，C.x2=2【答案】D【解析】本题考查了一元二次方程的解，把x1=1代入方程先求出m的值，从而确定出方程，再解方程即可求出x2【解答】解：∵x1=1是方程x∴1∴m=4∴方程为x2解得x1=1，∴另一个根x2为3，m的值为4故选：D．13.（25-26·内蒙古复习）若关于x的方程x2-2(m-2)x+m2-A.-1 B.1 C.-2m【答案】D【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识．根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出m的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题．【解答】解：∵关于x的方程x2-2(m∴-2(m-2)4m2-16m+16m≤∵两根之和不小于-6∴2(m解得m≥-综上-1∴-3≤m-∴(m+2=m2-4m+4=|m-=-2m+1，

故选：D．

14.（24-25·甘肃模拟）对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”：aΔb=a2-2ab-b2，例如：2Δ3=2A.27 B.-3 C.-【答案】A【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由(x+3)Δ2=0得：x2+2x-【解答】解：∵(x+3)Δ2=0∴(x+3)整理得：x2∵m，n是方程(x+3)即m，n是方程x2∴m+n=∴1故选：A．

15.（23-24·湖北模拟）方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x=A.-1<x<-12 C.-13<x<-【答案】B【解析】按照提示方法，方程x3+2x=-1的根可视为函数y=x2+2【解答】解：发现x3+2x=-1的根不为方程两边同除以x，得到x2方程的根可视为函数y=x2+2在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图象看出，两个函数的图象交点在点-12，∴方程x3+2x=-1的实数根故选B

（二）填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·安徽模拟）一元二次方程(1+3x)(x-3)=2x2+1化为一般形式为___【答案】x2-【解析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可．【解答】(1+3x)(x-3)=2x可化为：x-化为一元二次方程的一般形式为x2故答案为x2-8x-17.（24-25·广东中考）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为【答案】-1【解析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x=0代入原方程得到m2-1=0，解得m=±1，再根据二次项系数不为0得到m【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+∴m解得m=±又∵m∴m∴m=故答案为：-1．18.（25-26·安徽月考）已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)【答案】-4【解析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程x2+4x-1=0的一个根，可得出m2+4m=1，再化简代数式，整体代入即可求解．【解答】解：∵m∴m2+4m=1=m2-m+5m-5

=m2+4m-5

=1-19.（24-25·山东模拟）把方程x2-2x-3=0化成(x-m)2【答案】5【解析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可．【解答】解：∵x2-∴x∴x∴(x∴m=1,n=4∴m+n=1+4=5故答案为：5

20.（24-25·河南模拟）定义运算：a※b=a2+ab-2b2，例如【答案】有两个不等实数根【解析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键．

先利用新定义得到(x+1)2+2(x+1)【解答】解：∵(x+1)※2=0∴(x+1即x2∵a=1,b=4,c=-5

∴Δ=b2故答案为：有两个不等实数根．

21.（25-26·福建期中）已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b，则代数式a2【答案】29【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b，可得：a+b=5，a2-【解答】解：∵方程x2-5x-24=0的两根分别为a∴a+b=5，a∴a∴a=a2-5a+a+b

=a2-5a+(a+b)

=24+5

=2922.（24-25·黑龙江中考）已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1)(n+1)=______2027__【答案】2027【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-∴m+n=∴(m+1)(n+1)=m+n+mn+1=2025+1+1=2027故答案为：2027．

23.（24-25·山西模拟）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔4km到4.8km的高山环境下，其叶片长度dmm与海拔hkm满足关系式：若d=20mm，则硬叶柳生长的海拔h为______4.5______km．

【答案】4.5【解析】本题考查了二次函数的应用，将d=20mm代入解析式，求得h，即可求解．【解答】解：依题意，当d=20mm时，20=8h2解得：h=4.5故答案为：4.524.（25-26·四川期中）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为____30%________．【答案】30%【解析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．

设该种药品平均每场降价的百分率为x，根据原价为200元可以表示出两次降价后的价格200(1-x)2，结合现在仅卖98元/瓶，列出关于【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为x，根据题意得200(1-解得x=0.3或x=1.7，由于x是平均每次降价的百分率，所以0<x<1，故x=1.7舍去，即x=0.3=30%．故答案为30%．25.（24-25·浙江模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c，-x2+qx+c（其中p二次多项式对二次多项式进行因式分解对二次多项式使用配方法2(2x+a)(x+b)2-(x+a)(-

（说明：a，b，m，n，k1，k有学生探究得到以下四个结论：①若p+q=12，则2m+6=n；②若p=q=2，则c=-83；③若有且只有一个x的值，使代数式2x2+px+c的值为0，则p-4q=0；④若m-【答案】①④/④①【解析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得p=a+2b,c=ab,q=b-a,m=-【解答】解：∵2x2(2x+a)(x+b)=2x-x(x+a)(-∴p=a+2b,c=ab,q=b①∵m=∴2m+6=2∵p+q=12∴q=12∴q∴2m+6=n②∵p=q=2∴a+2b=2

解得：a=-∴c=ab=③由题意可知：当2x∴Δ=∴a=2b∴p=4b,q=∴p④当m-n=2，即∴p+2q=∴a+2b+2(b∴a=4b+8∴c=ab=b(4b+8)=4∵4(b+1∴c=4(b+1)2-4综上所述：正确的结论有①④；故答案为①④．（三）解答题（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25·安徽模拟）解方程：（1）x（2）3x(x【答案】x1=1+2，x2=1-x1=2,【解析】（1）方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．（2）移项后分解因式得出(x-2)(3x+2)=0，推出方程【解答】（1）解：配方得：x2-2x+1=2，即(x开方得：x-1=±则x1=1+2，x2移项得3x(x分解因式得：(x∴x解得：x1=2,x

27.（25-26·福建期中）设x1，x2是关于x的方程(x-1)(x-（1）当x1=-1时，求（2）求证：(x【答案】x2=4，m=±详见解答．【解析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当(1)把x1=-(2)利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．【解答】（1）解：把x1=-1代入方程(x-∴m=±∴(x-1)(x解方程得，x1=-故x2=4，证明：方程(x-1)(x-∵Δ=4∴原方程有两个不相同实数根，由根与系数的关系得x1+x∵x∵-m∴x1-128.（25-26·内蒙古复习）关于x的方程mx2（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由．【答案】m>-12且不存在，见解析【解析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；（2）假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，根据根与系数的关系结合1x1+1x2=0【解答】（1）∵关于x的方程mx2+(m+2)x+∴m≠解得：m>-12解：不存在，理由如下：假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，则x1∵1x∴m=∵m>-1∴m=∴假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于

29.（25-26·甘肃模拟）已知关于x的方程x2+|a|+1x+（1）x=1是这个方程的解吗？请说明理由；（2）x1与x【答案】不是，理由见解答负数，理由见解答【解析】（1）根据方程解的含义，将x=1代入方程，验证是否成立即可；（2）根据根与系数的关系，得到x1+x2=-|a|+1【解答】（1）解：不是，理由如下：根据方根解的含义，将x=1代入方程可得，|a|+b∵|a|≥0∴|a|+显然|a|+b∴x=1解：x1与x关于x的方程x2+|a|+1由根与系数的关系可得，x1+x∵-|a|+1<0，∴x1+∴x1<0∴x1与x2是负数．30.（23-24·山东模拟）2023年7月28日至8月8日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在7月初以20元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售．（1）据统计，7月份该直播间共销售蓉宝玩偶3750件，8月8日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，9月份共计销售2400件，8月和9月这两个月销售量的月平均下降率是多少？（2）十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价30元，每天可销售80件，若单价每下降0.5元，每天可多售出10件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？【答案】月均下降率为20%当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大【解析】（1）此题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意列出利润关于售价的函数关系是关键．(1)依据题意，设月均下降率为x，可列方程3750(1-x)（2）依据题意，设每件玩偶定价为x元时，所获利润为w元，进而可得w=(x-【解答】（1）解：设月均下降率为x，根据题意可得3750(1-x)2=2400，

所以，月均下降率为20%．设每件玩偶定价为x元时，所获利润为w元，则w=x当x=-b2a所以，当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大．31.（25-26·全国模拟）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）：

（1）设垂直于墙的边长AC为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式；（2）结合二次函数性质，求S的最大值；（3）（变式）若分隔篱笆长度EF为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化．【答案】S=-x36平方米S=-【解析】（1）设垂直于墙的边长AD为x米，则菜地的平行于墙的边AB的长为24-2x2=12-（2）直接运用配方法求最值即可；（3）若分隔篱笆EF长度为x米，则垂直于墙的边长AD为12(24-0<x<12，然后根据题意列出函数关系式并求最值，然后再比较即可．【解答】（1）解：由垂直于围墙的边长AD为x米，则平行于围墙的边长AB为12(24-所以菜地面积S与x的函数关系式为：S=x(12-x)=x<12)．（2）解：∵S=-x∴当x=6时，菜地的最大面积为36平方米．（3）解：若分隔篱笆EF长度为x米，则垂直于围墙的边长AD为12(24-2x)，即所以菜地面积S与x的函数关系式为S=x(12-x)=-x2+12x=-(x-32.（24-25·江苏模拟）【方法学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“a2问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．例如：求a2解：a2∵(a+2∴(a+2)2+1≥1，所以当最小值为1．【问题解决】（1）当x为何值时，代数式x2（2）如图1，是一组邻边长分别为7，2a+5的长方形，其面积为S1；图2是边长为a+6的正方形，面积为S2，a>0，请比较S1与S2【答案】x=3时，代数式x2-6x+7有最小值，最小值为当a=1时，S2=S1【解析】（1）利用配方法解答即可求解；(2)利用长方形和正方形的面积公式分别表示出S1、S2，进而求出断即可求解；本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键．【解答】（1）解：x2-6x+7=∵(x∴(x∴当(x-3)2=0，即x=3（2）解：由题意得，S1=7(2a+5)=14a+35，∴S当a=1时，(a-1)∴当a=1时，S2当a≠1时，(a-∴当a≠1时，综上所述，当a=1时，S2=S1；当a≠133.（24-25·福建模拟）我们规定：当a≥0，b≥0时，由(a-b)2=a-2ab+b≥0，得a+b≥2ab当且仅当a=b时，取到等号．已知（1）2+3___>___22×3（用“=”“>（2）当x>0，式子x+9x的最小值为__6（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和14，求四边形

【答案】>622+87【解析】（1）根据题意可知2+3>22×3（2）令a=x>0，b=9x>0（3）设S△BOC=x，根据题意可得出S△AOD=112x，即可得出当且仅当【解答】（1）解：∵2>0，3>0，∴2+3>2故答案为：>（2）解：令a=x>0，b=9x>0得x+当且仅当x=9x时，即正数x=3时，式子有最小值，最小值为故答案为：6；解：设S△BOC=x，已知S则由等高三角形可知：S△∴x:14=8:∴S∴四边形ABCD的面积=8+14+x+当且仅当x=112x，即∴四边形ABCD面积的最小值为2