专题五第1讲解析几何初步

第1讲解析几何初步微点一圆锥曲线的定义与焦点三角形例1(1)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29+y26=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=A.135 B.302 C.145答案B解析方法一设∠F1PF2=2θ，0<θ<π2所以S△PF1F2=b2tan∠F由cos∠F1PF2=cos2θ=co=1−tan2θ解得tanθ=12由椭圆方程可知，a2=9，b2=6，c2=a2-b2=3，所以S△PF1F2=12×|F1F=12×23×|yP|=6×1解得yP代入椭圆方程得xP2=9×1−3因此|OP|=xP2+yP方法二因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12， 联立①②，解得|PF1||PF2|=152设P(x0，y0)，由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，所以|PF1||PF2|=a2-(ex0)2，解得x02=92，则y02因此|OP|=x02+y0方法三因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12， 联立①②，解得|PF1||PF2|=152，|PF1|2+|PF2|2=21而PO=12(P所以|OP|=|PO|=12|PF1=1=1221+2×方法四因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12， 联立①②，解得|PF1|2+|PF2|2=21，由中线定理可知，2|OP|2+12|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2解得|OP|=302(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，虚轴长为23，过F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A.双曲线C的方程为x23-yB.当MF1⊥MN时，|MF1|=1+7C.若cos∠F1MF2=12，则△MF1F2的面积为3D.当k=-15时，△MF1F2的内切圆半径为15答案BCD解析对于A，由|F1F2|=4，虚轴长为23，得c=2，b=3，所以a=1，故双曲线C的方程为x2-y23=1，故对于B，由MF1⊥MN，则MF1|2+M故(|MF1|-|MF2|)2+2|MF1||MF2|=16，而|MF1|-|MF2|=2，所以|MF1||MF2|=6，故(|MF1|+|MF2|)2=16+2×6=28，所以|MF1|+|MF2|=27，所以|MF1|=1+7，故B正确；对于C，在△MF1F2中，由cos∠F1MF2=12得∠F1MF2=π方法一根据双曲线定义得|MF1|-|MF2|=2，由余弦定理可得cos∠F1MF2=MF1|2+可得|MF1||MF2|=12，所以△MF1F2的面积为12|MF1||MF2|sinπ3=12×12×3方法二S△MF1F2=对于D，F2(2，0)，当k=-15时，直线MN的方程为y=-15(x-2)，联立y=−15(x−2),x2−y23=1,消去y整理得4x2-20x解得x1=32，x2=7由题意得M32所以S△MF1F2=12|F1F2|·152=15，又F1(-2，0所以△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=32+22+设△MF1F2的内切圆半径为r，则S△MF1F2=12×10r=5r=15，解得[规律方法]焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，S△PF1F2=b2tan跟踪演练1(1)(多选)已知双曲线C：x2a2-y26=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=82xA.双曲线C的渐近线方程为y=±2xB.|PF2|=52C.△F1PF2的面积为86D.cos∠F1PF2=6答案BC解析由已知，抛物线的焦点坐标为(22，0)，所以双曲线C的右焦点为F2(22，0)，即c=22.又b2=6，所以a2=c2-b2=2，所以双曲线的方程为x22-对于A项，双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3x，故A对于B项，联立双曲线与抛物线的方程x22−y26=1,y2解得x=32或x=-23(舍去)，所以x=32，代入y2=82x可得，y=±43不妨设P(32，43)，又F2(22，0)，所以|PF2|=(22−32)2对于C项，易知S△F1PF2=12×|F1F2|×43=12×42对于D项，因为|PF1|=|PF2|+2a=72，所以由余弦定理可得，cos∠F1PF2=(72)2+(52)2−(4(2)(多选)已知椭圆C：x24+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A.若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为23B.存在点P，使得∠F1PF2=90°C.若直线PF1交椭圆于另一点Q，则1PF1D.使得△F1PF2为等腰三角形的点P共有4个答案BC解析由题意知，a=2，b=2，c=2，对于A，由焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b2tan∠F1P对于B，当点P位于椭圆的上顶点或下顶点时，∠OPF2=∠OPF1=45°(O为坐标原点)，则∠F1PF2=90°，B正确；对于C，由焦半径性质可得，1PF1|+1QF对于D，焦半径范围为a-c≤|PF1|≤a+c，即2-2≤|PF1|≤2+2.若△F1PF2是以P为顶角顶点的等腰三角形，则点P位于椭圆的上顶点或下顶点，所以满足条件的点P有2个；若△F1PF2是以F1为顶角顶点的等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|=22，则满足条件的点P有2个；同理，若△F1PF2是以F2为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点P有2个；故使得△F1PF2为等腰三角形的点P共有6个，D错误.微点二圆锥曲线的第二定义与焦半径公式例2(1)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cosθ=14.若|A.4 B.15 C.32 答案D解析|AF2|=b2a−ccosθ，|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒b2a+14c=2a⇒2e2-e-6=(2e+3)(e-2)(2)(多选)(2025·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x=-32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点EA.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6D.|AE|·|BE|≥18答案ACD解析方法一易知l为抛物线的准线，点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知A选项正确；设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，则∠DAE=∠EAF=θ2因为|AF|=|AD|=|AF|·cosθ+p，所以|AF|=p1−cosθ，同理|BF|=所以|AE|=|AF|cosθ2则|AB|=|AF|+|BF|=p1−cosθ+p1+cosθ=2psin|AB|=2psin2θ≥2由∠DAE=∠EAF=θ2，则AE为抛物线C的切线，同理BE也为抛物线C由阿基米德三角形可知AE⊥BE，|AE||BE|=|AB|·|EF|=2psin2θ·psin方法二对于A，抛物线C：y2=6x，则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F3则|AD|为抛物线上的点A到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2p=6；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx−32(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，联立y=kx−32,y2=6x,消去y，得k2x2-(易知Δ>0，则x1+x2=3+6k2，x1x2=所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+=1+k2×3+6k综上，|AB|≥6，故C正确；对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则|AE||AB|=|AF||AE|，即|AE|2=|AF|·|AB同理|BE|2=|BF|·|AB|，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|=12|AB|=3所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；当直线AB的斜率存在时，|AB|=61+1|AF|·|BF|=x1+32x2+32=x1x2+3=94+323+6k所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=91+1k2×则|AE|·|BE|=31+1k212×6综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确.方法三对于A，抛物线C：y2=6x，则p=3，其准线为l：x=-32，焦点F3因为点A在抛物线C上，由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，垂足为P，如图，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，显然AB为Rt△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+32，A(x1，y1)，B(x2，y2联立x=my+32,y2=6易知Δ>0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，又x1=my1+32，x2=my2+3所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，当且仅当m=0时取等号，故C正确；对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则|AE||AB|=|AF||AE|，即|AE|2=|AF|·|AB同理|BE|2=|BF|·|AB|，又|AF|·|BF|=x1+32x2+32==m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1)，|AB|=6m2+6=6(m2+1)，所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(m2+1)×36(m则|AE|·|BE|=3(m2+1)12×6(m2+1)=18(m2+1[规律方法](1)椭圆①通径：2b②椭圆上点到焦点的距离：[a-c，a+c].③焦半径(ⅰ)坐标式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(ⅱ)角度式：长焦半径|AF1|=b2a−ccosα=ep1−ecosα，短焦半径|BF(其中α为焦半径所在直线与焦点所在轴所成的较小的角，p为焦点到对应准线的距离b2c④焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep(2)双曲线①通径：2b②双曲线上点到焦点的距离：[c-a，+∞).③焦半径(ⅰ)坐标式：|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|；(ⅱ)角度式：若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=ep1+ecosα，|BF1|=ep1−若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=epecosα+1，|BF1|=图1图2④焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=2ep(3)抛物线①通径：2p.②焦半径(ⅰ)坐标式：|AF|=x0+p2(ⅱ)角度式：|AF|=ep1−ecosα=p1−cosα，|BF|=ep1+ecos③抛物线焦点弦弦长公式：|AB|=|AF|+|BF|=2ep1−e(4)焦点弦定理已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，AF=λFB，则曲线的离心率e满足等式|ecosα|=λ−1跟踪演练2已知椭圆C：x24+y22=1的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，若|AF|=3，则|AB答案18解析设|AF|>|BF|，∠AFO=α，则由焦半径公式，|AF|=b2a−c解得cosα=22由焦点弦公式|AB|=2ab2微点三垂径定理例3(多选)已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有A.b2a2 B.-b2a2 答案BD解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Mx1kOM=y1+y2x1+x2，kAB=y∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得x12a2+y12b两式相减得x12−x整理得y12−∴kAB·kOM=-b2a2=[规律方法]双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM跟踪演练3(多选)(2025·泸州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别是F1，F2，其中F1F2A.弦AB的最小值为2B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4aC.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k=bD.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)答案ABC解析对于A，弦AB的最小值为通径2b2a对于B，由双曲线的定义得AF1-AFBF1-BF所以AF1=AF2+2a，BFAF1+BF1=AF2+2a+BF则△F1AB的周长=AF1+BF1+|AB|=2|AB|+4a=2m+4对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=b2a2对于D，若直线AB的斜率为3，所以ba<3所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以e=ca∈1，2，故D错误微点四离心率例4(1)已知P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|A.0，13 C.0，12 答案D解析由P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，得|PF1又|PF1|=3|PF2|，所以|PF2|=a2又a−c得a2≤c，即12≤(2)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F1PF2=π3，设∠PF1F2=θ，当双曲线C的离心率取值范围为62，A.0，π12 C.π6，π答案B解析在△F1PF2中，e=ca=2c2a=|=32因为62<e<3所以12<cosπ6+所以π4<π6+θ<所以θ的取值范围为π12[规律方法]关于圆锥曲线离心率(范围)问题处理的主体思想是：建立一个关于a，b，c的方程(或不等式).一般建立方程(或不等式)有两种方法：(1)利用圆锥曲线的定义解决；(2)利用题中的几何关系来解决问题.另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件.跟踪演练4(1)已知直线l：y=x+2，若椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)上的点到直线l的距离的最大值与最小值之和为22A.0，63 C.0，22 答案A解析将l：y=x+2代入椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)，消去y，可得(1+a2)x2+4a2x+3a由已知直线与椭圆相离或相切，即Δ=16a4-4(1+a2)·3a2≤0，解得a2≤3，即1<a≤3，设椭圆上任意一点P(acosθ，sinθ)，则点P到直线l的距离d=acosθ−sin∵1<a≤3，∴a2+1+2+2−则椭圆C的离心率e=ca=a2−1∵1<a≤3，∴13≤1a∴e的取值范围为0，6(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点A.(1，1+2) B.(1，1+3)C.(1，1+2] D.(1，1+3]答案A解析由题意得点P不是双曲线的顶点，在△PF1F2中，由正弦定理得PF1|又asin∠PF1F2=c即|PF1|=ca·|PF2|，∴点P由双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a，∴ca|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=2由双曲线的几何性质，知|PF2|>c-a，∴2a2c−a>c-a，即c2-2ac∴e2-2e-1<0，解得-2+1<e<2+1，又e>1，∴双曲线离心率的取值范围是(1，1+2).专题强化练[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·温州模拟)双曲线y2a2-x2=1(aA.3 B.33 C.3 D.答案A解析由题意得c2=a2+1=4，所以a=3.2.(2025·江苏七市调研)已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>0)的右顶点与抛物线y2=8xA.12 B.34 C.34答案D解析由题意得y2=8x的焦点为(2，0)，则a=2，而b=1，得到c=3，离心率为323.设直线y=kx与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则A.3 B.1 C.2 D.3答案B解析由题意可知点A，B关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1，又由e=2，则k1·k2=1.4.设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x24+y23=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=A.94 B.74 C.2 答案A解析记∠F1PF2=θ，由焦点三角形公式变形得|PF1||PF2|=2b即|PF1||PF2|=154则PF1·PF2=|PF1||PF2|cos∠F5.(2025·沈阳模拟)过椭圆C：x25+y24=1的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则A.54 B.45 C.52答案C解析方法一由焦点弦的性质1|AF|+1|BF|=2ep方法二由x25+y得a2=5，b2=4，c2=a2-b2=1，左焦点为(-1，0).则过左焦点F，倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+1.代入x25+y得9x2+10x-15=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=-53，x1+x2=-10又y1y2=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-169根据弦长公式得|AB|=1+1×−1092且|AF||BF|=(x1+1)2+y12·所以1|AF|+1|BF|=|AB||AF||BF|6.已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，且AB，A.12，3C.14，3答案A解析由题意，D，B关于原点对称，设D(x0，y0)，B(-x0，-y0)，A(x，y)，∴kAD·kAB=y−y0x−x0∴-b2a2=c2∴14<c2a∴e的取值范围为127.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若BA=4BF，则△AOB的面积为()A.833 B.433 C.答案B解析设直线l的倾斜角为θ(0<θ<π)，由题意知|AF||BF|=3，|AF|=p|BF|=p1+cos∴1+cosθ1−cosθ=3，解得cosθ=12，则sin又抛物线焦点弦弦长|AB|=2p∴S=12|OF|·|AB|·sinθ=p22sinθ=8.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10答案A解析设l1的倾斜角为θ，不妨设θ∈0，π那么|AB|=2psin因为l1⊥l2，所以l2的倾斜角为θ+π2则|DE|=4sin2求|AB|+|DE|的最小值，即求41sin2令f(θ)=41sin2θ+1cos2当sin22θ=1，即θ=π4时，f(θ)取得最小值16，即|AB|+|DE|的最小值为二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.下列与双曲线有关的结论，正确的是()A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数bB.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数abC.双曲线上任意一点P到两条渐近线的距离乘积为定值D.过双曲线x2-y2=2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为2mn答案ABC解析对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B正确；对于C，设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设P(x0，y0)，则|PA|=bx|PB|=bx|PA|·|PB|=b=b2又点P(x0，y0)在双曲线上，所以x02a2-y02b2=1，b2x02即|PA|·|PB|=a2b2对于D，双曲线x2-y2=2的渐近线方程为x+y=0和x-y=0，直线x+y=0与x-y=0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为|PA|·|PB|=a2b2c210.已知椭圆Γ1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，将Γ1上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的k(k>0，A.若t>0，则ba<B.若Γ1，Γ2的离心率分别为e1，e2，则e1=e2C.若Γ1，Γ2的周长分别为C1，C2，则C2=CD.若Γ1的四个顶点构成的四边形的面积为|F1F2|2答案AB解析因为a>b>0，t>0，所以ba<b+t设点(x'，y')为椭圆Γ2上任意一点，则由题意知x'即x代入椭圆Γ1的方程得x'2k2a所以椭圆Γ2的方程为x'2k2a2+y'2k则e1=a2−b2a，e2=ka由已知得，Γ1∽Γ2，其相似比为1∶k，所以C1C2=1k，所以C2因为k>0，k≠1，所以C错误；设c=a2−b2，因为Γ所以12·2a·2b=(2c)24，所以2所以2aa2−c2=c2，所以e4+4所以e2=−4+42−4×(−4)2=2(11.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，若直线AB过抛物线的焦点F且倾斜角为θ，则下列命题正确的是()A.x1x2=pB.|AB|=x1+x2+p=2C.1|AF|+1|BF|D.y1y2=-2x1x2答案ABC解析对于选项A，D，设直线AB的方程为x=my+p2，代入y2=2px可得y2-2pmy-p2=0，Δ>0，所以y1y2=-p2，x1x2=y12y224p对于选项B，因为AB是过抛物线y2=2px的焦点的弦，所以由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+由选项A知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，所以y12+y22=(y1+y2)2-2y1即y12+y22=2p(x1+x2)=4p2m2解得x1+x2=2pm2+p，当θ=π2时，m=0，所以|AB|=2p当θ≠π2时，m=1所以|AB|=2ptan2θ+2=2pcos2θ当θ=π2时，sinθ=1也适合上式，所以|AB|=x1+x2+p=2psi对于选项C，不妨设θ∈0，π2，点A在x轴上方，设A'，B'分别是A，B在准线上的射影，C是A在x轴上