专题09数列中的放缩和新情境问题（培优高频考点专练）（解析版）

专题09数列中的放缩和新情境问题目录高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型一等比放缩（数列不等式证明）（）题型二通项放缩（通项结构优化）（）题型三新定义数列（概念转化）（）题型四裂项放缩（求和不等式）（题型五斐波那契型递推新情境（递推创新）（）实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）高考中仍以选择题、填空题、解答题形式考查，解答题大概率作为中档或压轴题，分值占比10-15分。：基础知识必备：数列核心概念：熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，明确数列的单调性、周期性、有界性等性质。放缩法基础：掌握常见放缩工具，如糖水不等式（若a>b>0，m>0，则ba​<b+m​a+m）、二项式定理放缩（如(1+x)n≥1+nx）、裂项放缩公式（如1n(n+k)=1k(1n-1n+k)2026高考预测：核心考向：放缩法应用：聚焦数列不等式证明，重点考查等比放缩、通项放缩、裂项放缩，强调放缩方向与精度控制。新情境创新：新定义数列（如自定义性质、运算）、斐波那契型递推数列仍是热门考点，可能结合实际背景（如兔子繁殖、九连环、行星轨道）命题。跨模块融合：与函数（导数判断单调性辅助放缩）、不等式（充要条件、恒成立问题）、对数指数运算等模块融合，增强综合性。能力要求：突出逻辑推理（放缩合理性证明）、转化与化归（新情境→基础数列）、运算求解（复杂求和与不等式变形）能力考查。重难知识汇总：数列放缩核心类型：等比放缩：将非等比数列通项放缩为等比数列（公比q∈(0,1)），利用等比求和公式证明不等式。通项放缩：针对分式型、根式型、指数型通项，通过裂项、有理化、函数单调性（如x>ln(1+x)）进行放缩。裂项放缩：掌握常见裂项形式，通过“添项”“减项”调整精度，确保裂项后可抵消求和。新情境数列核心：新定义转化：将“速增数列”（an+2​−an+1​>an+1​−an​）、“等比差数列”（an+1​an+2​​−an​an+1​​=d）等定义翻译为数学表达式。斐波那契型递推：掌握an+2​=an+1​+an​的通项推导、前n项和性质及不等式证明。综合应用：数列与不等式结合的恒成立问题、最值问题，需结合放缩法与数列单调性求解。常用技巧方法：放缩技巧：精准把控方向：证明“小于”时需放大通项，证明“大于”时需缩小通项，避免过度放缩导致不等式失效。分段放缩策略：前几项保留原式，从第k项开始放缩，平衡精度与可求和性。工具选择：分式型用裂项放缩，指数型用等比放缩，根式型用有理化放缩，复杂结构结合函数导数放缩。新情境处理：紧扣定义：将新性质、新运算转化为等差、等比数列的通项或前n项和问题。特殊值验证：通过计算前3-5项发现数列周期、单调性等规律，辅助解题。递推转化：斐波那契型数列可通过构造等比数列求通项，或利用数学归纳法证明不等式。求和方法：错位相减法（等差×等比数列）、裂项相消法（分式型数列）、累加法/累乘法（递推数列）。易错避坑提效：新定义类易错点：定义理解偏差：如混淆“速增数列”与“递增数列”的区别（前者是差递增，后者是项递增）。忽略特殊条件：如正项数列需保证各项为正，周期数列需验证周期一致性。题型一等比放缩（数列不等式证明）方法点拨：构造等比数列：通过放缩通项公式，将非等比数列转化为等比数列（公比q∈(0,1)），利用等比数列求和公式求和后证明不等式。关键工具：糖水不等式（若a>b>0，m>0，则、二项式定理放缩（如）。放缩原则：保证放缩后数列可求和，且放缩方向与不等式一致（放大或缩小）【典例01】（2025·天津南开·一模）在正项等比数列中，.(1)求的通项公式：(2)已知函数，数列满足：.（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式（ii）设，证明：，【典例02】（云南大理白族自治州2025高三统一检测）已知首项为3的正项数列的前n项积为.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：.【变式01】（四川德阳中学2024高三高考直击卷）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.（1）求和的通项公式和的前n项和；（2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证：.【变式02】（2025·高三·河南洛阳·期中）已知数列满足，设.（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（II）设，数列的前项和，求证：.【变式03】（2025·天津河西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：；(3)表示不超过x的最大整数，；求（i）；（ii）．题型二通项放缩（通项结构优化）方法点拨：1.结构分析：针对分式型（如）、根式型（如）、指数型（如）通项，采用裂项、有理化、不等式性质放缩。2.函数辅助：构造函数f(x)，利用导数判断单调性，得到通项的不等关系（如x>ln(1+x)用于指数型通项放缩）。3.精度控制：避免过度放缩，必要时可对前几项保留原式，从第k项开始放缩。【典例01】（25-26高三上·江苏·期末）已知数列满足，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和；(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．【典例02】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知．(1)求的通项公式；(2)令，为的前项之积，求证：．【变式01】（2025·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列中，，，．(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）证明：．【变式02】（25-26高三上·浙江温州·期中）已知正项数列满足．(1)求证：是等比数列(2)设，记数列的前项和为，求证：．【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知首项为3的正项数列的前n项积为.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：.题型三新定义数列（概念转化）方法点拨：核心场景：定义新性质（如“速增数列”“受限数列”）、新运算（如行列式定义、生成数列），需转化为熟悉数列问题。方法点拨：紧扣定义：将新定义翻译为数学表达式（如“速增数列”转化为aₙ₊₂-aₙ₊₁>aₙ₊₁-aₙ）。回归基础：转化为等差、等比数列的通项、前n项和问题，或利用单调性、周期性、有界性分析。特殊值验证：通过前3-5项的计算，发现规律（如周期、单调性），辅助解题。【典例01】（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（

）A．62 B．63 C．64 D．65【典例02】（2025·天津·模拟预测）数列an各项均为实数，对任意n∈N*满足an+3=anA．a1=1，c=1 B．aC．a1=1，c=0 D．a【变式01】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为ann≤9,n∈N*，已知a1=1,a

A．4 B．7 C．16 D．31【变式02】（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（

）A． B． C． D．【变式03】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；(2)已知的差分数列为，求的通项公式．题型四裂项放缩（求和不等式）方法点拨：常见裂项形式：、。放缩技巧：裂项后保证剩余项可抵消，或通过“添项”“减项”调整放缩精度（如）。求和验证：先求和再放缩，或先放缩再求和，确保步骤可逆且不等式成立。【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式：(2)证明：．【典例02】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．【变式01】（24-25高三上·辽宁·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．(1)求数列和的通项公式；(2)证明：；(3)求使得成立的最大整数．【变式02】（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．(1)证明：为等比数列；(2)设，证明：；(3)设，且数列的前项和为，证明：．【变式03】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.(1)求双曲线的方程；(2)求；(3)证明：.题型五斐波那契型递推新情境（递推创新）方法点拨：核心场景：以实际背景（如兔子繁殖、九连环）或递推关系（aₙ₊₂=aₙ₊₁+aₙ）定义新数列，考查通项、求和或不等式。方法点拨：递推转化：利用递推关系推导通项性质（如aₙ₊₂-aₙ₊₁=aₙ），或构造等比数列求通项。归纳证明：对与n相关的不等式，采用数学归纳法证明，结合放缩技巧优化步骤。性质应用：利用斐波那契数列的单调性、有界性辅助解题。【典例01】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2A．a2023 B．a2024 C．a2025【典例02】（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设an为斐波那契数列，a1=1，a2=1，an=an-1+an-2A．5 B．6 C．7 D．8【变式01】（2025·湖南长沙·一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（

）A． B．C． D．【变式02】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以AU为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则．【变式03】（2025·江苏淮安·模拟预测）斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似地得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为.（限时训练：15分钟）1．（2025·高三·浙江·期中）已知数列满足，且，，则（

）A． B．C． D．2．（多选题）（2025·辽宁铁岭·一模）设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（

）．A． B．是递增数列C． D．3.（24-25高三上·湖北·月考）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．23034.（2025·云南昆明·一模）数列Fn:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{Fn}A．S2019=FC．S2019=F5.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数fx零点时给出一个数列xn:xn+1=xn-fxnf'xn，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数fx=ax2+bx+ca>0有两