查漏补缺03集合、常用逻辑语、不等式与复数（4大考点+查补知识点+23种题型突破专项训练）（原卷版）

查漏补缺03集合、复数、不等式与常用逻辑语（4大考点+查补知识点+23种题型突破）内容导航漏洞扫描通法锤炼能力强化考点查缺漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础题型突破考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁融会贯通实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合考点01集合知识点一：集合与元素1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2.元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．3.集合的表示法：列举法、描述法、图示法．4.常见数集的记法．集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR知识点二：集合间的基本关系1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A．2.真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．3.相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．知识点三：集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA题型一：集合的含义与表示1．元素与集合关系的判断（1）元素与集合的关系：①一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．②元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．（2）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性2．解决集合含义问题的关键有三点．（1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件．（3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．2．（2026·重庆·一模）已知集合，则下列集合与相等的是（

）A． B．C． D．3．（25-26高三上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（

）A． B．C． D．4．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2026·新疆·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则的值为（

）A． B．0 C． D．1题型二：集合的基本关系1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB．2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．3.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2026·广东·模拟预测）已知集合不为正有理数为无理数，则（

）A． B．C． D．4．（2026高三·上海·专题练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（

）A． B．C． D．题型三：根据集合的关系求参数取值已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．特别要注意考虑空集的情况.1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2026·云南·模拟预测）设集合，若是的子集，则实数（

）A．-1 B．0 C．1 D．3．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则.4．（25-26高三上·安徽·月考）已知集合，，若，则（

）A．－2 B．－1 C．0 D．15．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（）A． B．C． D．题型四：集合的基本运算交、并、补集的混合运算（1）集合交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．（2）集合结合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．（3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．（4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．（5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．（6）集合求补律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝∅．1．（2026高三·北京·专题练习）已知集合，则（）A． B． C． D．2．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．或3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．（2026高三·北京·专题练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，则集合（

）A． B．C． D．6．（2026·重庆九龙坡·一模）已知集合，，，则（

）A． B．C． D．7．（2026·四川宜宾·一模）已知集合，集合，则集合的元素之和等于.8．（2026·四川遂宁·一模）已知集合，，，且，则集合中元素个数有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个题型五：根据集合的运算结果求参数利用集合的运算求参数的值(范围)：（1）对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示．（2）如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．0或12．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．103．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知集合，若，则实数的值为（）A． B．0 C．2 D．2或4．（2026·重庆·模拟预测）集合，则.5．（2026·河北沧州·一模）设全集，集合，若，则（

）A． B． C． D．6．（2026·湖北荆州·一模）集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（25-26高三上·贵州·月考）已知集合或，.(1)若，求，；(2)若，求的取值范围.8．（2026高三·全国·专题练习）全集，集合，若，求实数的取值范围．题型六：子集个数问题已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集。1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，则集合的真子集有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（25-26高三上·贵州·月考）集合的真子集个数为（

）A．2 B．3 C．7 D．153．（2026高三上·山西临汾·专题练习）已知集合，则集合且的子集的个数为（

）A．16 B．8 C．4 D．24．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知集合，则的非空子集个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2026·河北邢台·一模）已知集合，则的子集个数为（

）A．4 B．7 C．8 D．326．（25-26高三上·江苏·月考）已知集合，若集合，，

，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（

）A．15 B．16 C．31 D．327．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（

）

A．7 B．8 C．15 D．168．（2025高三上·江苏·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7题型七：与集合有关的新定义问题1.（1）解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义．（2）结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．新定义问题．（1）看清集合中的元素．（2）对集合进行化简使问题变得简单明了．（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图．1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知集合，，若且，则（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，集合是和定义域的交集，集合，集合，①如果是单调递增的函数，则；②如果都是有限集合，两者元素个数之差一定是偶数；③存在函数，使得是空集，不是空集；④存在函数，使得不是空集，是空集以上4个选项中，正确的是:.3．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（

）A．408 B．409 C．410 D．4114．（2026高三·全国·专题练习）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（

）A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则；C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域．考点02常用逻辑语知识点一．命题的概念及结构（1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。（2）当命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论。知识点二．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p知识点三．全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．知识点四．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，﹁p(x)∀x∈M，﹁p(x)题型一：命题真假性的判断一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。1．（2026高三·全国·专题练习）下列命题为假命题的是（）A．有些实数是无限不循环小数B．每一个末位是0的整数都是5的倍数C．至少有一个整数，使是4的倍数D．对任意负数，的平方是正数2．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知命题，命题，，则（

）A．和都是真命题B．和都是真命题C．和都是真命题D．和都是真命题3．（25-26高三上·广东肇庆·月考）（多选）以下四个命题中，是真命题的有（

）A．∀x∈R，x2－x＋1>0B．“”是“”的充分不必要条件C．若命题：，，则的否定为：，D．若，则4．（2025·广东·模拟预测）（多选）已知，则下列命题一定为真命题的有（

）A．B．若，则C．D．若，则5．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（

）．A．， B．，C．， D．，6．（2026高三·全国·专题练习）给出下列三个命题：①；②；③；其中真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．0题型二：充分条件与必要条件的判断1．充分条件与必要条件（1）判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件（2）充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．2．充分条件、必要条件的判定方法．（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．1．（2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题）已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（25-26高三上·天津南开·期末）已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（

）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（25-26高三上·天津和平·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2026·山东枣庄·一模）已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知、，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型三：根据充分性和必要性求参数1．充分、必要条件与对应集合之间的关系若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p（x）}，q：B={x|q（x）}，则（1）若A⊆B，则p是q的充分条件．（2）若B⊆A，则p是q的必要条件．（3）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件．（4）若B⫋A，则p是q的必要不充分条件．（5）若A=B，则p是q的充要条件．2．求参数问题的解题策略．（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．（2）要注意区间端点值的检验．1．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·河北唐山·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．3．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知集合，(1)当时，求，；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.4．（25-26高三上·新疆·月考）已知函数（且）的图象过点，．(1)求的值；(2)记，在区间上的值域分别为集合，，若是的必要条件，求实数的取值范围．题型四：命题的否定形式（1）全称命题，它的否定，全称命题的否定是特称命题；（2）特称命题，它的否定，特称命题的否定是全称命题。1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）若命题，，则p的否定是（

）A．, B．，C．， D．，2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（

）A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题4．（25-26高三上·河北·月考）命题“”的否定为.题型五：根据命题的真假求参数取值1.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．2.求解含有量词的命题中参数范围的策略（1）对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．（2）对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．1．（25-26高三上·山东威海·期中）已知命题“”是假命题，则的取值范围为．2．（25-26高三上·北京·月考）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2025高三上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知命题p：“，”为假命题，记实数t的所有取值组成集合A．(1)求集合A；(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．5．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根．(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若，中一真一假，求实数的取值范围．考点03不等式知识点一：不等式的性质（1）对称性：a>b⇔b<a．（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c．（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc．（5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．知识点二：两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(a，b∈R)．知识点三：基本不等式（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)．（2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0．（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．（4）其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．知识点四：几个重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．（3）ab≤(a，b∈R)．（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．知识点五：三个“二次”的关系5．三个“二次”的关系判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根不等式的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R知识点六：分式不等式与绝对值不等式（1）eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．（2）eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．（3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．题型一：不等式的性质应用1.判断不等式的常用方法．（1）利用不等式的性质逐个验证．（2）利用特殊值法排除错误选项．（3）作差法．（4）构造函数，利用函数的单调性．2.不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）．（3）分析法．（4）平方法．（5）分子（或分母）有理化．（6）利用函数的单调性．（7）寻找中间量或放缩法．（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．1．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围．2．（2026高三·全国·专题练习）（1）设，为实数，比较与的值的大小．（2）已知，，，求证：.3．（2025高三·全国·专题练习）已知且，求的取值范围．题型二：求解一元二次不等式含参一元二次不等式的解法（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类．（2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．1．（25-26高三上·北京·月考）关于的不等式的解集不可能是（

）A．或 B．C． D．2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（

）．A． B．不等式的解集为C． D．4.（25-26高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于的不等式：；①当时，解不等式；②当时，解不等式.（2）已知函数，求函数的值域.题型三：求解其他类型的不等式1、分式不等式（1）解法：①移项,让不等式的右边为0；②通分；③化除为乘。（2）注意事项若不等式为≥或者≤时,在化除为乘这一步,一定要加上分母不等于0这个条件2、高次不等式（1）高次不等式解法:分解因式后使用“穿针引线法”求解(只需掌握能分解因式的高次不等式).（2）穿针引线法:①从右往左穿,从上往下穿,奇穿偶不穿；②当x的最高次项系数为正数时,则从数轴的右上方向左穿根,当x的最高次项系数为负数时,先变为正数,再进行穿根.3、单绝对值不等式（1）fx（2）fx>gx（3）f4、双绝对值不等式零点分段法:一共分三段分类讨论。5、简单的指数不等式（1）指数函数fx=axa>0且a≠1的当0<a<1时,函数fx（2）化成同底数,利用单调性解不等式。6、简单的对数不等式（1）指数函数fx=logax当0<a<1时,函数fx（2）化成同底数,利用单调性解不等式。1．（25-26高三上·辽宁·期末）的解集为2．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式：．4．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集．5．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集．6．（25-26高三上·山东淄博·期末）已知函数，若，则的取值范围是．题型四：利用基本不等式求最值1．基本不等式（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)．（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．2．几个重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．（3）ab≤(a，b∈R)．（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．3．基本不等式求最值（1）前提：“一正”“二定”“三相等”．（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．1．（2026高三·全国·专题练习）已知正数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．2．（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．12 D．163．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．24．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）（多选）下列结论正确的是（

）A．最小值是4B．当时，的最小值是3C．已知，且的取值范围是D．设，且，则的最小值是95．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）若，且，则的最大值（

）A． B． C． D．6．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为．7．（25-26高三上·海南·月考）已知，，完成下列问题：(1)若，求取得最小值时m，n的值；(2)若，求的最小值．8．（25-26高三上·江西·月考）已知正数，满足．(1)求的最大值；(2)求的最小值．题型五：不等式的成立性问题一元二次不等式恒成立问题（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．1．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·天津和平·期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为.3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为．4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为．5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为.(1)求a，b的值并求解不等式的解集；(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.题型六：基本不等式的综合应用问题在有关求最值的综合问题中，常常会用到不等式的相关知识，需要融会贯通.1．（25-26高三上·广东潮州·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过点作的切线，交轴于点，过点作的平行线交轴于点，则的最小值是（

）A．8 B．6 C．5 D．42．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在中，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·安徽·期末）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线的焦点为F，点A，B在C上，若，则的最小值为（

）A．4 B．9 C．16 D．254．（25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且．(1)求角；(2)若，求的面积的最大值．考点04复数知识点一：复数的有关概念1.复数的相关概念（1）复数的定义：形如（）的数叫做复数，其中叫做虚数单位，实部是，虚部是。（2）虚数单位：把平方等于的数用符号表示，规定，我们把叫作虚数单位。（3）表示方法：复数通常用字母表示，代数形式为（）。（4）复数集：①定义：全体复数所成的集合；②表示：通常用大写字母表示。2.复数的分类（1）；（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：3.复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，()，我们规定：当且仅当且时，复数与复数相等。4.共轭复数（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（2）复数的共轭复数用表示，即如果，那么。（3）虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。■注意：（1）当复数的虚部时，有，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于实轴对称，并且它们的模相等。知识点二：复数的几何意义1.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数。2.复数的两种几何意义（1）复数eq\o(←→,\s\up7(一一对应))复平面内的点（2）复数eq\o(←→,\s\up7(一一对应))平面向量3.复数的模（1）定义：向量的模叫做复数的模或绝对值。（2）记法：复数的模记为或。（3）公式：。知识点三：复数的四则运算1.复数的加法（1）设，（），则。注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即，，，，则。（2）加法运算律：对任意的，都有，①交换律：；②结合律：。2.复数的减法设，（），则。3.复数加法与减法的几何意义（1）复数可以用向量来表示，已知复数（），（）其对应的向量，，如图1，且和不共线，以和为两条邻边作平行四边形，根据向量的加法法则，对角线所对应的向量，而所对应的坐标是，这正是两个复数之和所对应的有序实数对。（2）复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义。4.复数的乘法（1）设，（），则。（2）复数乘法的运算律：对于任意，有交换律结合律乘法对加法的分配律（3）复数的乘方：，，，；。（4）虚数单位的乘方①有如下性质：，，，，即以4为周期进行循环；②，，，，。5.复数的除法（1）设，，则.6.求复数标准代数式形式的两种方法（1）直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；（2）待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。知识点四：复数的三角表示1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线eq\o(OZ,\s\up6(→)))为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2.复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1（cosθ1＋isinθ1）,r2（cosθ2＋isinθ2）)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．题型一：复数的定义及分类1.复数的定义：形如（）的数叫做复数，其中叫做虚数单位，实部是，虚部是。2.1．（25-26高三上·上海·期中）已知复数，为纯虚数，则实数.2．（25-26高三上·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（

）A． B．1 C． D．23．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2025高三上·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（

）A． B． C． D．5．（2025·河北沧州·模拟预测）若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（

）A． B．C． D．6．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）若复数为纯虚数，则（

）A．2 B．1 C．0 D．1或2题型二：复数的运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z1(1)z1±z(3)z1关键记住一点:分数形式中,分母最简形式中有i,则分子和分母同时乘以分母的共轭复数2.注意:i2=−11．（2026·河北·模拟预测）（）A． B． C． D．2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（

）A． B．6 C．－6 D．3．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知i为虚数单位，则（

）A． B．1 C． D．i4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知为纯虚数，则实数的值为（

）A． B．C．1 D．25．（25-26高三上·安徽·期末）设复数满足，则的实部为（

）A． B． C． D．6．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知复数，则z的虚部为（）A． B． C． D．7．（25-26高三上·辽宁·期末）的虚部为（）A． B．C． D．8．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．39．（2026·湖北孝感·一模）下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（