《初中数学中考复习代数式与整式》课件

第一单元数与式第4讲代数式与整式第一单元数与式数据聚焦考点梳理1数据剖析题型突破2数据链接真题试做3栏目导航

教材链接人教:七上第二章P53-P75,八上第十四章P94-P125.冀教:七上第三章、第四章P95-P144;七下第八章P68-P92,第十一章P141-P156.北师:七上第三章P77-P104,七下第一章P1-P36,八下第四章P91-P106.数据聚焦考点梳理1代数式与整式代数式整式的运算列代数式代数式求值整式及其相关概念整式加减运算整式乘除运算幂的运算因式分解因式分解的概念因式分解的基本方法因式分解的一般步骤定义1.定义:用运算符号连接数和①

组成的式子叫做代数式.单独的一个数或②

也叫代数式.

2.列代数式:把问题中与数量有关的词语,用含有字母和运算符号的式子表示出来.3.代数式求值(1)直接代入法:把已知字母的值直接代入.(2)整体代入法:a.观察已知条件和所求代数式的关系;b.将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系,一般利用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法.考点

1代数式字母字母1.整式及其相关概念考点

2整式的运算单项式定义:由数与字母(或字母与字母)相乘组成的代数式叫做单项式.单独一个数或③

也叫做单项式.

系数:单项式中的④

因数.

次数:所有字母的⑤

多项式定义:几个单项式的和叫做多项式.项:多项式中每个单项式叫做多项式的项.常数项:不含字母的项叫做常数项.次数:⑥

项的次数叫做这个多项式的次数.

整式单项式与多项式统称为整式一个字母数字指数的和次数最高2.整式加减运算(1)同类项:所含的字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.(2)合并同类项:把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变.(3)去括号法则:a+(b-c)=a+b-c;a-(b-c)=a-b+c(口诀:“-”变,“+”不变).(4)实质:去括号、合并同类项.3.幂的运算类别运算法则同底数幂相乘底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n都是正整数)同底数幂相除底数不变,指数相减,即am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数)幂的乘方底数不变,指数相乘,即(am)n=amn(m,n都是正整数)积的乘方把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=an·bn(n是正整数)零指数和负指数4.整式乘除运算类别运算法则整式乘法单项式乘单项式把它们的系数、相同字母的幂分别相乘.对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘多项式m(a+b)=⑦

多项式乘多项式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb乘法公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;(3)乘法公式的常用恒等变形:a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2abma+mb类别运算法则整式除法单项式除以单项式将系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式把多项式中的每一项都除以这个单项式,再把所得的商相加续表考点

3因式分解1.因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,叫做多项式的因式分解,也叫分解因式.2.因式分解的基本方法(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)公式法:①a2-b2=⑧

(逆用平方差公式);

②a2±2ab+b2=⑨

(逆用完全平方公式).

(a+b)(a-b)(a±b)23.因式分解的一般步骤(1)提:如果多项式各项有公因式,应先提公因式.(2)套:提取公因式后,剩余的式子尝试使用公式法继续分解;如果没有公因式,直接尝试使用公式法来分解因式.(3)检查:最后检查因式分解是否彻底.因式分解必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.数据剖析题型突破2题型

1

列代数式及化简求值题型

2

整式的运算题型

3

因式分解23

1题型

1

列代数式及化简求值8803.（原创题）已知整式M=a2+3a,N=■a-12,其中系数■不小心被墨水被污染了.(1)若■=-7,化简式子M-N.解:(1)M-N=a2+3a-(-7a-12)=a2+3a+7a+12=a2+10a+12.

(1)根据整式的加减混合运算法则计算.思路分析231(2)若a=2时,M+N的值为20.①试求系数■的值;②若添加一个常数Q,使M,N,Q的和为非负数,求Q的最小值.①设■=m,依题意得22+3×2+2m-12=20,解得m=11;②∵M+N=20,∴M,N,Q的和为非负数时,有M+N+Q≥0.即20+Q≥0,解得Q≥-20,所以Q的最小值为-20.(2)①把a的值代入计算即可;②根据M+N的值为20,Q为常数,得M+N+Q≥0,解不等式得到答案.思路分析231拔高追问若■=-7,化简式子M+N,并进行因式分解.解:当■=-7时,M+N=a2+3a-7a-12=a2-4a-12=(a-6)(a+2).231题型

2

整式的运算

B231C3.（2·河北模拟）对于四个整式,A:2x2;B:mx+5;C:-2x;D:n.无论x取何值,B+C+D的值都为0.(1)求m,n的值;(2)计算A-B+C-D;解:(1)∵B:mx+5;C:-2x;D:n,∴B+C+D=mx+5-2x+n=(m-2)x+(n+5)=0,∴m-2=0,n+5=0,解得m=2,n=-5.(2)∵A:2x2;B:mx+5;C:-2x;D:n,且m=2,n=-5,∴A-B+C-D=2x2-mx-5-2x-n=2x2-2x-5-2x+5=2x2-4x.231拔高追问方程A+B-C-D=0是否有解?有则求出解,无则说明理由.解:∵A:2x2；B:mx+5；C:-2x；D:n,且m=2,n=-5，

∴A+B-C-D=0可化为2x2+2x+5+2x+5=0,即x2+2x+5=0.∵Δ=22-4×1×5=-16<0,∴此方程无解.231题型

3

因式分解23411.（原创题）下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(

)A.m(x+y)=mx+my B.x2+4x+4=x(x+4)+4C.(x+2)(x+3)=x2+5x+6 D.x3-x=x(x+1)(x-1)2.（2·河北武安模拟）某同学粗心大意,分解因式时,把等式a4-

※=(a2+9)(a+3)(a-●)中的两个数弄污了,那么你认为式子中的※和●

所对应的一组数是(

)A.9,3 B.81,3 C.81,9 D.27,3DB3.（原创题）将多项式因式分解:x3-6x2+9x=

.

4.（原创题）观察图形,可发现代数式3m2+7mn+2n2可因式分解为

.

(3m+n)(m+2n)x(x-3)2利用面积相等进行求解.思路分析2341证明:如图所示,∵S正方形=a2+ab+b2+ab=a2+2ab+b2,

且S正方形=(a+b)2,∴a2+2ab+b2=(a+b)2.拔高追问请用类似的方法证明a2+2ab+b2=(a+b)2.2341

满分指导(1)在选用公式法进行因式分解时,要根据多项式的项数选择.如果是二项式,考虑使用平方差公式,如果是三项式,考虑使用完全平方公式.(2)分解因式时,一定要分解彻底.2341（3~2）数据链接真题试做3命题点1列代数式命题点2求代数式的值命题点3整式的运算

命题点4因式分解（10年3考）1.（3·河北9题3分）如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏:假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果应为y,则y=(

)A.2

B.3

C.6

D.x+3B命题点1列代数式12返回命题点导航2.（9·河北18题4分）如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.示例:即4+3=7.则(1)用含x的式子表示m=

;

(2)当y=-2时,n的值为

.

3x返回命题点导航112（10年3考）命题点2求代数式的值345

B返回命题点导航A1（10年17考）6.（2·河北1题3分）计算a3÷a得a?,则“?”是(

)A.0 B.1 C.2 D.37.（1·河北2题3分）不一定相等的一组是(

)A.a+b与b+a B.3a与a+a+aC.a3与a·a·a D.3(a+b)与3a+bC命题点3整式的运算171819返回命题点导航D141516131011127896

D返回命题点导航AA171819141516131011127896

B返回命题点导航17181914151613101112789612.（9·河北6题3分）小明总结了以下结论:①a(b+c)=ab+ac;②a(b-c)=ab-ac;③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0).

其中一定成立的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4C返回命题点导航17181914151613101112789613.（8·河北4题3分）将9.52变形正确的是(

)A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52C返回命题点导航17181914151613101112789614.核心素养·空间观念（1·河北17题4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为

;

(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片

块.

a2+b2返回命题点导航417181914151613101112789615.（2·河北22题9分）发现

两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.验证

如,(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和.解:验证10÷2=5,5=12+22.返回命题点导航171819141516131011127896探究

设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.解：探究

(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),∵m,n是正整数,∴m2+n2为正整数∴2(m2+n2)为偶数,∴2(m2+n2)÷2=m2+n2,∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.返回命题点导航17181914151613101112789616.核心素养·空间观念（9·河北21题9分）已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.尝试

化简整式A.发现

A=B2,求整式B.解:尝试

A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.

发现

A=n4+2n2+1=(n2+1)2,∵A=B2,B>0,∴B=n2+1.返回命题点导航171819141516131011127896联想

由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三

边长,如图.填写下表中B的值:返回命题点导航直角三角形三边n2-12nB勾股数组Ⅰ

8

勾股数组Ⅱ35

1737171819141516131011127896

返回命题点导航17181914151613101112789618.（0·河北21题8分）有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.如,第一次按键后,A,B两区分别显示:返回命题点导航A区25+a2B区-16-3a171819141516131011127896(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果.(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断:这个和能为负数吗?说明理由.解:(1)A区:25+a2+a2=25+2a2,B区:-16-3a-3a=-16-6a.(2)不能.理由:∵25+4a2+(-16-12a)=4a2-12a+9,而4a2-12a+9=(2a-3)2≥0,∴不能是负数.返回命题点导航A区25+a2B区-16-3a17181914151613101112789619.（8·河北20题8分）嘉淇准备完成题目:(x2+6x+8)-(6x+5x2+2)发现系数“

”印刷不清楚.(1)他把“

”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2).(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“

”是几.解:(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2=-2x2+6;(2)设“

”是a,则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)=ax2+6x+8-6x-5x2-2=(a-5)x2+6,∵标准答案的结果是常数,∴a-5=0,解得a=5.返回命题点导航171819141516131011127896（10年3考）命题点4因式分解2021返回命题点导航2220.（0·河北3题3分）对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是(

)A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算,②是因式分解C返回命题点导航

BD202122返回命题点导航

提分要点判断变形是否是因式分解:①依据定义,左边是一个多项式,右边是几个整式的积的形式;②等式是否成立;③分解是否彻底.202122

BC综合模拟练基础全练10987654321111213

14

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DD10987654321111213

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BD10987654321111213

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7.(2·山东烟台)下列计算正确的是()

A.2𝒂+𝒂=3𝒂2

B.𝒂3·𝒂2=𝒂6

C.𝒂5-𝒂3=𝒂2

D.𝒂3÷𝒂2=𝒂DA10987654321111213

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151718169.(2·湖北十堰)下列计算正确的是()

A.𝒂6÷𝒂3=𝒂2 B.𝒂2+2𝒂2=3𝒂2C.(2𝒂)3=6𝒂3 D.(𝒂+1)2=𝒂2+1BA

10987654321111213

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1517181611.(2·江苏宿迁)下列运算正确的是()

A.2𝒎-𝒎=1

B.𝒎2·𝒎3=𝒂6

C.(𝒎𝒏)2=𝒎2𝒏2

D.(𝒎3)2=𝒎5CA12.(2·湖南岳阳)下列运算结果正确的是(

)A.𝒂+2𝒂=3𝒂 B.𝒂5÷𝒂=𝒂5C.𝒂2·𝒂3=𝒂6 D.(𝒂4)3=𝒂710987654321111213