2025-2026学年上海市民办欣竹中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2025-2026学年上海市民办欣竹中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组图形一定相似的是（）A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似2．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．3．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A． B． C． D．4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A． B． C． D．5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点，，，，在同一平面内，，，，则点到的距离为（）A． B． C． D．6．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约厘米．8．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于．9．已知点是线段的黄金分割点，，，则．10．若线段，，，成比例线段，且，，，则．11．已知，且，则．12．二次函数的图象的顶点坐标是．13．有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为米．14．如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为．15．如图，△中，，点在上，，若，，则的长度为．16．如图，矩形内接于△，点、分别在、上，点、分别在上，如果，，且，则．17．如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，△的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是．18．如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（11分）计算：．20．（11分）如图，，相交于点，，，，在一条直线上，，，．（1）求的长；（2）设，，用向量、表示．21．（11分）已知：如图，在中，，，是边上一点，且．（1）试求的值；（2）试求的面积．22．（11分）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹正好在试管靠近开口的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点．点，，均在一条直线上．（1），并求管口的高度；（2）若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取23．（11分）如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点．（1）求证：；（2）联结，求证：．24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．25．（12分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．（1）如图，当点与点重合时，求的长；（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）连接，当△与△相似时，求线段的长．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组图形一定相似的是（）A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误；任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，正确；任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，错误；任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误；故选：．2．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．解：，，，．．故选：．3．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A． B． C． D．解：、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．、，计算正确，故本选项符合题意．、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．故选：．4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A． B． C． D．解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为．故选：．5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点，，，，在同一平面内，，，，则点到的距离为（）A． B． C． D．解：作于点，作于点，，，四边形是矩形，，四边形是矩形，，，，，，，，在△中，，在△中，，，点到的距离等于，故选：．6．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①由条件可知，即，①正确；②抛物线开口向上，，对称轴在轴的右侧，，抛物线与轴交于负半轴，，，②正确；③，，③错误；④时，，，④正确；⑤当时，，，⑤正确，正确的有①②④⑤共4个，故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约4厘米．解：设上海与杭州的图上距离为厘米．200千米厘米，，解得．故答案为4．8．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于．解：两个相似三角形对应边上的高之比是，这两个相似三角形的相似比为，它们的对应中线之比等于．故答案为：．9．已知点是线段的黄金分割点，，，则．解：点是线段的黄金分割点，，．故答案为．10．若线段，，，成比例线段，且，，，则6．解：线段，，，成比例线段，根据比例线段的定义，有，即．．代入，，，得，即，，故答案为：6．11．已知，且，则．解：，，，，．故答案为：．12．二次函数的图象的顶点坐标是．解：二次函数的图象的顶点坐标是．故答案为：．13．有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为2.6米．解：设水平距离为米，斜边长为米，根据题意可得：，，．故答案为：2.6．14．如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为．解：连接，如图所示：、是的中线，，，，，，，，，，．故答案为：．15．如图，△中，，点在上，，若，，则的长度为．解：，，，，，．，，故答案为：．16．如图，矩形内接于△，点、分别在、上，点、分别在上，如果，，且，则．解：作于点，交于点，则，矩形的顶点、分别在、上，顶点、在上，，△△，，于点，，，，，，，四边形是矩形，，，，，解得，的长是，故答案为：．17．如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，△的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是5．解：如图，过点作直线于点，交直线于点，过点作直线于点．，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，，．故答案为：5．18．如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为．解：在中，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，平分，，，，，，四边形是平行四边形，，，，解得，，故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（11分）计算：．解：．20．（11分）如图，，相交于点，，，，在一条直线上，，，．（1）求的长；（2）设，，用向量、表示．解：（1），，，，相交于点，△△，，，，，，在一条直线上，，，，△△，，，；（2）△△，，，．21．（11分）已知：如图，在中，，，是边上一点，且．（1）试求的值；（2）试求的面积．解：（1）作于，如图，，，在中，；（2）作于，如图，在中，，设，则，在中，，，在中，，而，，，即，解得，，．22．（11分）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹正好在试管靠近开口的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点．点，，均在一条直线上．（1）9，并求管口的高度；（2）若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取解：（1）固定夹正好在试管靠近开口的三等分点上，，，过作于，则，，又，管口的高度为；故答案为：9；（2）过作于，过作于，则四边形、都是矩形，，，，，，，，，，，，由（1）知，又，，，，即铁架与水槽之间的距离为．23．（11分）如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点．（1）求证：；（2）联结，求证：．【解答】证明：（1）设与交于点，如图，四边形为平行四边形，，．，，，，，．，，，，，，，，，；（2）由（1）知：，，，，．四边形为平行四边形，，．，，，．由（1）知：，，．24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．解：（1）将点和点代入抛物线，可得，解得：抛物线的解析式为，当时，，；（2）如图1，过作交延长线于，，点，，，，，，，，，，，；（3）如图2，过点作轴于，设，，，，，，，或（舍去），．25．（12分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交