福建省莆田市2026届高中毕业班第二次质量调研测试试卷(莆田二检) 数学+答案

1.已知集合A={x1³>1},B={-1,0,1},则AA.B.{1}3.已知椭圆的左、右焦点分别为F,F₂,上顶点为P,则△PFF₂的周长为4.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,bA.若qa₃=4,则a₂=2B.若a<a₂,则q>1A.f(x)=xB.f(x)=√xC.f(x)=InxD.f(x)=e⁻²二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，C.|a|+|a₂|+|a3|+|a4l+|asI+|a₆|=12D.的最小值为-3B.点(0,2)为曲线y=f(x)C.曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程A.当P为棱B₁C的中点时，B.A₁C₁·A₁B=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a=(2,3),b13.有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,从中随机取球一次(至少取一个),则取出 数学试题第2页(共4页)15.(13分)16.(15分)(2)若f(x)≥(2-a)x,求实数a的取值范围.17.(15分)7=总=8.(2)若过点D(4,0)的直线m交CL于A,B两点，且AD|·|BD|=24,求的值.数学试题第3页(共4页)18.(17分)(2)当时，求直线BE与平面BCDF所成角的正弦值；19.(17分)某分布式存储系统中，数据块容量上限为N(NeN,N≥2),数据块的初始数量为(1)直接写出ao,ax的数值，并写出a₋,aA,ak+(≤k≤N-1)的关系式；数学试题第4页(共4页)莆田市2026届高中毕业班第二次质量调研测试试卷数学试题参考解答及评分标准评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分.一、选择题：每小题5分，满分40分.题号12345678BADBCBCD1.【答案】B解析：A={x|3*>1}={x|x>0},A∩B={1},故选B.解法一：z=i(1-2i)=2+i,所以|2|=√5,故选A.解析：依题意可得F(-2,0),F₂(2,0),因为|PF|+|PF₂|=2a=6,|FF₂|=2c=4,所以△PF₁F₂的周长为6+4=10,故选D.解析：由,且B∈(0,π),解得,故选B.解法一：(特殊值检验法)取,则a²<b²,cosa>cosb,故选项A,B,D均错误；由于-1<-b<a<b<1,a+1>0,b+1>0,项A错误.故当a<0,因为故当a<0从而a²-b²=(a+b)(a-b)<0,故选时，上式<0,从而,故选项B错误.考察函数,易知f(x)在区间(-1,1)上单调递增，又-1<-b<a<b<1,所以考察函数g(x)=cosx,可知g(x)为偶函数且在区间(0,1)上单调递减，所以故选C.由于{a}是等比数列，从而当且仅当当q=1时，有aa=a₃a₄=a²,但1+2≠3+4,故选项D错误.故选C.解析：对给定n≥2,且n∈N⁴,取x=0,有f(n×0)=0,nf(0)=对给定n≥2,且n∈N⁴,取x=0,有f(n×0)=0,nf(0)=0,选项B符合题设；对给定n≥2,且n∈N,由f(nx)=nf(x),得In(nx)=nlnx,即Inn+Inx=nlnx,整理得,从而,得,所以选项C符合题设；对于选项D,对给定n≥2,且neN',由f(nx)=nf(x),得因为n≥2,所以(1-n²)x²<0,所以o<e(-²)²<1,又由于n≥2,所以对任意x∈R,都有e-(x²≠ne-ײ,所以选项D不符合题设.故选D.二、选择题：每小题6分，满分18分.(本题为多项选择题，每小题中，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分)题号9解析：由S,=n²-4n,得a₄=2n-5,从而{a,}是等差数列，故A正确；|a|+|a|+la₃|+|a₄|+|as|+|a₆|=3+1+1+3+5+7=20≠12,所以的最小值为-3,故D正确.故选ABD.解析：令f(x)=0,解得所以f(x)有且只有一个零点,故A正确；法一：(特值检验排除法)因为故B错误；法二：(代数判定)只需判定f(x)+f(-x)=4是否恒成立，因为,所以曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线斜率为k=f'(1)=2e,所以曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程为y=2ex+e,故C正确；当-1<x<0或时，f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增，在故D错误.解法一：(空间向量非正交基底法),所以,所以 ,AA在AC上 的投影向量长度为1,从而AC·AĄ=3,所以,故B错误；BP=AP-AB=(x-1)AB+yAC+zA4,平面ACC₁A的一组基底为{AC,A4},,因为直线A如图所示，若A4=√2,则△MAB为等腰直角三角形，由对称性可知球心○在上下底面中心O₁O₂A梯形AOO₂A中，经计算可得AO₁=√3,A4=√2,,所以外接球半径,从而球的表面积为18π,故D正确. 如图，以底面中心为O₁为原点，分别以O₁A,o₁O₂O₁-xy=,设三棱台的高为h,则A(0,√3,0),B对于选项A,当P为棱B₁C₁的中点时，则对于选项C,设n=(x,y,z)为平面ACC₁A₁的法向量，取y=√3,则x=3,,所以是平面BCDF的一个法向量.,由直线BPⅡ平面ACC₁A可知n·BP=0,解得x=-1,故C正确；|OA|=|0A|=r可得3+a²=r²,三、填空题：每小题5分，满分15分.12.【答案】-5解析：依题意得a+b=(3,3+k),因为a⊥(a+b),所以a-(a+b)=0,即2×3+3(3+k)=0,解得k=-5,故填-5.14.【答案】9解法一：依题意可得A(-1,0),F(2,0).因为1的斜率不为零，故可设1:x=ty+2,代入消去x,整理得(3t²-1)y²+12ty+9=0.设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则y₁+y₂,所以AM·AN=(x+1)(x₂+1)+v₁v₂=0,所以AM⊥AN,即△AMN为直角三角形，所以△AMN的外接圆的半径故填9.解法二：先证明一个关于双曲线C:的结论：设点P为双曲线右支上一点，右焦点F,左顶点A,则必有∠PFA=2∠PAF.证明如下：要证明∠PFA=2∠PAF,只需证明tan∠PFA=-tan(2∠PAF),从而(*)式右边左边故(*)式等价于,即为y2-(x。+1)²=2(x₀+1)(x。-2),代入y2=3x²-3,则只需2x²-2x。-4=2(x。+1)(x₀-2),因为上式成立，所以原命题成立.利用上述结论，所以∠PAF+∠QAF=90°,从而以PQ为直径的圆过A,故所求圆的半径为9.(2)当点P在左支，点Q在右支时，只需证明∠PFA=2(∠PAF-90°),即证tan∠PFA=tan2(∠PAF-90°),只需证,下同(*)式的证明.从而以PQ为直径的圆过A,故所求圆的半径为9.综上，从而以PQ为直径的圆过A,故所求圆的半径为9.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.本小题主要考查三角函数的图象及性质，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心素养；体现基础性和综合性.满分13分.解：(1)因为f(x)的图象过点,所以…所以f(x)的单调递增区间是(2)证明：因为所以4sinacosβ=3,…又cosa≠0,cosβ≠0,所以…12分所以tana=4tanβ,证毕.…16.本小题主要考查导数及其应用等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力，创新意识等；考查函数与方程思想，转化与化归思想，分类与整合思想，数形结合思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心素养；体现基础性和综合性.满分15分.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞).………………1分当时，f'(x)>0,f(x)在上单调递增.……5分因此f(x)的极小值为无极大值.…………………6分(2)解法一：由f(x)≥(2-a)x,得ax²-Inx+(a-2)x≥0,②当a>0时，令g'(x)=0,得(舍去),或,………………10分依题意得m(a)≥0.所以a的取值范围为(1,+∞).………15分解法二：由f(x)≥(2-a)x,得(x²+x)a≥2x+Inx,从而g(x)的最大值为g(1)=1,所以a≥1………………14分解得a≥1………………所以当a≥1时，g(x)≥x²-Inx-x………10分令F(x)=x²-nx-x,则只需证F(x)≥0………………11分下面证明F(x)≥0.12分当x∈(1,+∞)时，F'(x)>0,F(x)在(1,+○)上单调递增……………13分因此F(x)≥F(1)=0,证毕………………14分程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心素养；体现基础性和综合性.满分15分.解法一：(1)依题意可知又因为PQ//HF,依题意知直线m的斜率不为0,可设m:x=ty+4,A(x,y1),B(x₂,y₂)……………7分故16(1+t²)=24,得；…………11分又因………………12分所以的值为2或…………………15分解法二：(1)依题意可知……1分所以xp+x₀=2xπ,,,代入y²=2px,得12=3p²,………5分依题意知直线m的斜率不为0,可设m:x=ty+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)……………7分故16(1+t²)=24,得…………11分根据对称性，不妨取,得y²-2√2y-16=0,…………解得y=4√2,或y=-2√2………………13分从而或……………14分所以的值为2或……15分体现基础性、综合性和创新性.满分17分.解法一：(1)AE·BC=AE·(AC-AB)=AE·AC-AE·AB,… 由(1)知AE⊥BC,又AE∩AO=如图所示，以○为原点，分别以OC,OA的方向为x轴、V轴的正方向，并均以1为单位则E(0,√3-cosθ,sinθ),从而AE=(0,-cosθ,sinθ),设n=(x,y,z)为平面BCDF的法向量， 设直线BE与平面BCDF所成角为φ,所以直线BE与平面BCDF所成角的正弦值为·(3)同(2)中的建系方法，可得如图所示，将该多面体补成侧棱长为6的三棱柱ABC-A₁B₁C₁,………12分设该多面体的高为h,则h=6sinθ,所以该多面体的体积,…………13分令f'(t)=0,解得(舍去),当t∈(L,1)时，f'(t)<0,f(t)在(t,所以当t=t₁时，f(t)有最大值，此时V也有最大值，…所以当该五面体的体积取到最大值时，.解法二：(1)取BC中点O,连接EO,AO,EB,EC.………………17分所以EB=EC,…………1分所以BE=√3,AB²=AE²+BE²,从而AE⊥BE………6分又由(1)知AE⊥BC,BE∩BC=B,所以AE⊥平面BCE,所以∠EBO为直线BE与平面BCDF所成的角…………8分又因为BF//CD,所以19.本小题主要考查条件概率与全概率公式，分布列与数学期望，等差数列等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力，应用意识，创新意识等；考查统计与概率思想，转化与化归思想等；考查逻辑推理，数学运算，数学抽象，数学建模等核心素养；体现基础性、综合性和创新性.满分17分.解：(1)由题意可知a%=1,aw=0.……由全概率公式，得a=pa1+(1-p)ak+,I≤k≤N-1.……即ak+1-ak=ak-ak-1,故{