鲁教版七年级数学下册11.6角平分线（第2课时）课件

6角平分线第十一章

三角形的证明及其应用学习目标1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）角平分线的性质与判定的内容是什么？定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？结论：三角形的三条角平分线相交于一点.活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明以上两个结论吗？角平分线的性质例1.求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

ABCPEFMDN已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.

求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即∠A的平分线经过点P.证明：BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为D，E，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).ABCPEFMDN比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等典例精析例2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.

ACBED∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角对等边）.12在等腰直角三角形BDE中，

cm（勾股定理），∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E，

∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.ACBED（2）证明：由（1）的求解过程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED典例精析例2.如图，在△ABC

中，已知

AC

=

BC，∠C

=

90°，AD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为

E.(1)如果

CD

=

4

cm，求AC

的长；EDABC解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为

E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC.∵∠C

=

90°，∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰Rt△BDE中，(2)求证：AB＝AC＋CD.证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.EDABC典例精析例3.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：（1）OC=OD；（2）OP是CD的垂直平分线.OCDBPA证明：（1）P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）.∴OC=OD（全等三角形对应边相等）.OCDBPA（2）∵OP是∠AOB的角平分线，OC=OD，∴OP是CD的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.OCDBPA随堂练习1.如图，已知

△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是(

)A.P为∠A，∠B两角平分线的交点B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点B2.已知：OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____.5AOEBPC3.如图，在△ABC中，点O